概述#

本章在课程中的标题是 Chapter 5 Dimensional Analysis and Similarity Principle（量纲分析与相似原理），对应教材第 7 章。

这一章解决两类问题：

方程还不知道时，怎样先判断它可能具有怎样的结构？
原型太大、太贵或无法直接实验时，怎样用小模型预测原型？

完整思路是：

量纲与量纲和谐原理 → 瑞利法 / Buckingham $\pi$ 定理 → 相似条件与相似准数 → 选择主导力 → 建立模型比尺 → 将模型数据换算到原型。

本章最重要的三条主线：

量纲分析只能确定函数结构，通常不能给出无量纲常数或具体函数形式；
模型和原型要先几何相似，再根据主导力选择相似准则；
所有比尺均先明确“原型 / 模型”的方向，再进行计算。

TIP
本笔记统一规定
$\lambda_X=\frac{X_p}{X_m},$
其中下标 $p$ 表示原型（prototype），下标 $m$ 表示模型（model）。
例如：
$\lambda_L=\frac{L_p}{L_m}=50$
表示原型长度是模型的 50 倍。

教学范围判断#

课件完整覆盖了教材第 7 章的四部分：

Dimension（量纲）
Method of dimensional analysis（量纲分析方法）
Basics of flow similarity theory（流动相似理论基础）
Model experiment（模型实验）

课件中没有明确说明哪一节不考，因此本笔记保留全部课堂内容。

其中 Cauchy number（柯西数） 和 Mach number（马赫数） 在课件中以 Extension 单列，建议作为低优先级拓展掌握：知道定义、物理意义和适用场景即可；其余内容均属于本章核心范围。

历年卷显示，本章常见考法集中在：

量纲与单位；
$Re$ 、 $Fr$ 的物理意义；
重力相似下 $\lambda_v,\lambda_Q,\lambda_t$ 与 $\lambda_L$ 的关系；
模型与原型之间的流量、速度、力和功率换算。

第一部分：课程笔记#

1 量纲#

1.1 Unit 与 Dimension#

Unit（单位）#

单位是测量某个物理量时选定的标准大小。

例如长度可以用：

单位改变后，物理量的数值会改变。

Dimension（量纲）#

量纲表示物理量所属的类别和性质，不考虑采用什么单位。

例如长度的量纲始终为：

[L].

无论长度用 m、cm 还是 km 表示，其量纲都不会改变。

简单区分：

单位回答“用什么尺子量”；
量纲回答“它属于哪一类物理量”。

1.2 Fundamental dimension 与 Derived dimension#

Fundamental dimension（基本量纲）#

基本量纲彼此独立，无法由其他量纲推导出来。

流体力学通常采用 $M-L-T$ 系统：

$[M]$ ：质量 mass
$[L]$ ：长度 length
$[T]$ ：时间 time

Derived dimension（导出量纲）#

导出量纲由基本量纲组合得到。

一般写成：

[q]=M^aL^bT^c.

课件也使用 $L^\alpha T^\beta M^\gamma$ 的排列方式，含义完全相同。

1.3 常见物理量的量纲#

物理量	符号	定义或关系	量纲
长度	$L$	—	$L$
面积	$A$	$L^2$	$L^2$
体积	$V$	$L^3$	$L^3$
时间	$t$	—	$T$
速度	$v$	$L/t$	$LT^{-1}$
加速度	$a$	$v/t$	$LT^{-2}$
质量	$m$	—	$M$
密度	$\rho$	$m/V$	$ML^{-3}$
力	$F$	$ma$	$MLT^{-2}$
压强 / 应力	$p,\tau$	$F/A$	$ML^{-1}T^{-2}$
动力黏度	$\mu$	$\tau /(du/dy)$	$ML^{-1}T^{-1}$
运动黏度	$\nu$	$\mu/\rho$	$L^2T^{-1}$
体积流量	$Q$	$vA$	$L^3T^{-1}$
质量流量	$\dot m$	$\rho Q$	$MT^{-1}$
功 / 能量	$E$	$FL$	$ML^2T^{-2}$
功率	$N$ 或 $P$	$E/t$	$ML^2T^{-3}$
表面张力系数	$\sigma$	$F/L$	$MT^{-2}$
体积模量	$K$	压强量纲	$ML^{-1}T^{-2}$

WARNING
$\mu$ 与 $\nu$ 很容易混淆：
$[\mu]=ML^{-1}T^{-1},\qquad [\nu]=L^2T^{-1}.$
$\nu$ 中没有质量量纲。

1.4 几何量纲、运动量纲与动力量纲#

按照是否含有 $M,L,T$ ，可作如下分类：

几何量纲（geometric dimension）：只含长度 $L$ ；
运动量纲（kinematic dimension）：含 $L,T$ ，不含 $M$ ；
动力量纲（dynamic dimension）：含 $M,L,T$ 。

例如：

面积 $[A]=L^2$ ：几何量纲；
速度 $[v]=LT^{-1}$ ：运动量纲；
压强 $[p]=ML^{-1}T^{-2}$ ：动力量纲。

1.5 Dimensionless quantity（量纲一的量）#

若

[q]=M^0L^0T^0=1,

则 $q$ 是量纲一的量，也称：

dimensionless quantity
dimensionless number
pure number

例如：

Re=\frac{vL}{\nu},

其量纲为：

[Re]=\frac{LT^{-1}\cdot L}{L^2T^{-1}}=1.

量纲一的量有三个重要特点：

数值不随单位制改变；
没有普通物理量的尺度效应，可作为相似准数；
可以作为对数、指数、三角函数等超越函数的自变量。

例如 $\ln Re$ 合法，因为 $Re$ 无量纲； $\ln L$ 单独出现通常没有明确物理意义，因为换单位会改变其数值。

1.6 Principle of dimensional homogeneity（量纲和谐原理）#

正确反映客观物理规律的方程，等号两边以及所有可相加减的项必须具有相同量纲。

例如伯努利方程：

z_1+\frac{p_1}{\rho g}+\frac{\alpha_1v_1^2}{2g} = z_2+\frac{p_2}{\rho g}+\frac{\alpha_2v_2^2}{2g}+h_w.

其中每一项的量纲都是长度：

[z]=L,

\left[\frac{p}{\rho g}\right] =\frac{ML^{-1}T^{-2}}{ML^{-3}\cdot LT^{-2}} =L,

\left[\frac{v^2}{g}\right] =\frac{L^2T^{-2}}{LT^{-2}} =L.

因此这些项可以相加。

量纲和谐原理的作用#

检查公式是否可能正确；
检查公式是否漏项；
求未知指数；
建立物理方程的基本结构；
为模型实验和实验数据整理提供依据。

能检查什么，不能检查什么#

量纲正确是公式正确的必要条件，无法作为充分条件。

例如：

s=vt

和

s=100vt

在量纲上都成立，但具体问题中只有其中一个可能符合真实规律。

量纲分析通常无法确定：

无量纲常数；
加法形式；
具体函数形式；
正负号；
变量是否遗漏。

WARNING
课件提到“经验公式一般不满足量纲和谐”。更严谨的理解是：

物理规律最终仍应量纲一致；

某些经验公式中的数值系数带有隐含单位，仅在指定单位制下有效；

若把该系数误当成纯数，公式表面上会显得量纲不一致。

因此使用经验公式时必须同时检查其适用单位。

2 量纲分析方法#

2.1 Dimensional analysis（量纲分析）的目的#

研究一个复杂流动时，常常知道结果与哪些变量有关，却暂时写不出完整方程。

量纲分析可以把

F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0

压缩成较少的无量纲变量关系，从而：

减少实验变量数量；
建立经验公式的基本结构；
指导模型实验；
便于比较不同尺度下的流动。

本课程介绍两种方法：

Rayleigh method（瑞利法）
Buckingham $\pi$ theorem（白金汉 $\pi$ 定理）

2.2 Rayleigh method（瑞利法）#

瑞利法直接使用量纲和谐原理。

假设待求量 $Y$ 与若干变量 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 有关，写成幂函数乘积：

Y=kx_1^{a_1}x_2^{a_2}\cdots x_n^{a_n},

其中：

$k$ ：无量纲常数，量纲分析无法确定；
$a_1,a_2,\cdots,a_n$ ：待求指数。

计算步骤#

判断影响现象的物理量；
写出幂函数乘积；
将每个物理量写成基本量纲；
比较 $M,L,T$ 的指数；
解指数方程；
整理成有物理意义的表达式。

适用范围#

当相关变量较少，且指数方程能够唯一确定各指数时，瑞利法最方便。

若变量很多，指数方程中会出现多个自由参数，此时整理过程容易混乱，通常改用 Buckingham $\pi$ 定理。

2.3 课堂例题：Pitot tube（皮托管）测速公式#

已知皮托管测得的动压孔与静压孔压强差为 $\Delta p$ ，流体密度为 $\rho$ ，求速度 $u$ 的结构形式。

课件还列出了重力加速度 $g$ ：

u=f(\Delta p,\rho,g).

假设：

u=k(\Delta p)^a\rho^bg^c.

各量量纲为：

[u]=LT^{-1},

[\Delta p]=ML^{-1}T^{-2},

[\rho]=ML^{-3},

[g]=LT^{-2}.

代入：

LT^{-1} = (ML^{-1}T^{-2})^a(ML^{-3})^b(LT^{-2})^c.

比较指数：

\begin{cases} M:\quad a+b=0,\\ L:\quad -a-3b+c=1,\\ T:\quad -2a-2c=-1. \end{cases}

解得：

a=\frac12,\qquad b=-\frac12,\qquad c=0.

因此：

\boxed{u=k\sqrt{\frac{\Delta p}{\rho}}}.

若

\Delta p=\rho g\Delta h,

则：

\boxed{u=c\sqrt{2g\Delta h}}.

其中：

$u$ ：流速；
$\Delta p$ ：总压与静压之差；
$\rho$ ：流体密度；
$\Delta h$ ：压强差对应的液柱高度；
$c$ ：皮托管系数，由实验确定，通常接近 1。

**关键结论：**重力加速度 $g$ 的指数为 0，说明当速度直接由 $\Delta p$ 和 $\rho$ 决定时， $g$ 不进入最终公式；只有把压强差改写成液柱高度后， $g$ 才重新出现。

[图片占位符：插入课件第 12 页的 Pitot tube 结构图，标出动压孔 A、静压孔 B 和液柱差 $\Delta h$ 。]

2.4 课堂例题：圆管壁面切应力#

设圆管壁面切应力 $\tau_0$ 与下列变量有关：

密度 $\rho$ ；
动力黏度 $\mu$ ；
管径 $D$ ；
绝对粗糙度 $\Delta$ ；
断面平均流速 $v$ 。

写成：

\tau_0=K\rho^a\mu^bD^c\Delta^dv^e.

量纲：

[\tau_0]=ML^{-1}T^{-2}.

代入各物理量量纲后：

ML^{-1}T^{-2} = (ML^{-3})^a(ML^{-1}T^{-1})^bL^cL^d(LT^{-1})^e.

比较指数：

\begin{cases} a+b=1,\\ -3a-b+c+d+e=-1,\\ -b-e=-2. \end{cases}

解得：

b=1-a,

c=a-d-1,

e=a+1.

由于未知指数多于独立方程， $a,d$ 无法被唯一确定。将结果整理为无量纲组合：

\tau_0 = \rho v^2K \left(\frac{\rho vD}{\mu}\right)^{a-1} \left(\frac{\Delta}{D}\right)^d.

因此：

\boxed{ \frac{\tau_0}{\rho v^2} =f\left(Re,\frac{\Delta}{D}\right) }.

其中：

Re=\frac{\rho vD}{\mu}=\frac{vD}{\nu}.

若采用 Darcy 阻力系数 $\lambda$ 的定义：

\boxed{ \tau_0=\frac{\lambda}{8}\rho v^2 },

则：

\boxed{ \lambda=f\left(Re,\frac{\Delta}{D}\right) }.

这个结果正是圆管沿程阻力规律的基础：阻力系数由雷诺数和相对粗糙度决定。

[图片占位符：插入课件第 13 页的圆管速度分布与壁面粗糙度示意图。]

TIP
这个例子也说明了瑞利法的局限：
指数方程无法唯一确定所有指数时，最终结果应整理成若干无量纲组合，Buckingham $\pi$ 定理会更直接。

2.5 Buckingham $\pi$ theorem#

定理内容#

若一个物理现象由 $n$ 个相互关联的物理量描述：

F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0,

这些物理量涉及 $m$ 个相互独立的基本量纲，则可将原关系改写为：

\Phi(\pi_1,\pi_2,\cdots,\pi_{n-m})=0,

其中每个 $\pi_i$ 都是无量纲量。

因此：

\boxed{N_\pi=n-m}.

在普通不可压缩流体力学中，通常采用 $M,L,T$ 三个基本量纲，因此常有：

m=3.

计算步骤#

写出变量关系：

F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0.

选择 $m$ 个重复变量（repeating variables）；
计算无量纲项个数 $n-m$ ；
将每个剩余变量分别与重复变量组成一个 $\pi$ 项；
比较量纲，求各指数；
写出 $\pi$ 项之间的函数关系；
根据物理规律进一步整理。

重复变量的选择原则#

重复变量合起来必须包含问题涉及的全部基本量纲；
重复变量之间应量纲独立；
优先选择重要、典型、容易测量的变量；
避免把待求量选为重复变量；
避免选择彼此能够组成无量纲量的一组变量。

课程中的常见选择：

管流： $d,v,\rho$ ；
明渠流： $H,v,\rho$ 。

2.6 课堂例题：等直径圆管压降#

水平等直径圆管中，压强差 $\Delta p$ 与下列变量有关：

\Delta p=f(d,\rho,v,l,\mu,\Delta).

即：

F(d,\rho,v,l,\mu,\Delta,\Delta p)=0.

共有：

n=7.

采用 $M,L,T$ 三个基本量纲：

m=3.

所以：

N_\pi=7-3=4.

选择重复变量：

d,\rho,v.

剩余变量为：

\mu,\,l,\,\Delta,\,\Delta p.

分别组成无量纲项：

\pi_1=d^{a_1}v^{b_1}\rho^{c_1}\mu,

\pi_2=d^{a_2}v^{b_2}\rho^{c_2}l,

\pi_3=d^{a_3}v^{b_3}\rho^{c_3}\Delta,

\pi_4=d^{a_4}v^{b_4}\rho^{c_4}\Delta p.

求得：

\pi_1=\frac{\mu}{\rho vd}=\frac1{Re},

\pi_2=\frac ld,

\pi_3=\frac{\Delta}{d},

\pi_4=\frac{\Delta p}{\rho v^2}.

因此：

\boxed{ \frac{\Delta p}{\rho v^2} =\Phi\left(Re,\frac ld,\frac{\Delta}{d}\right) }.

对于充分发展等直径管流，压降与管长成正比，因此可进一步写为：

\boxed{ \Delta p = \rho v^2\frac ld f\left(Re,\frac{\Delta}{d}\right) }.

若把常用的 $1/2$ 放入定义中：

\boxed{ \Delta p = \lambda\frac ld\frac{\rho v^2}{2} },

即 Darcy–Weisbach 公式。

对应水头损失：

\boxed{ h_f=\lambda\frac ld\frac{v^2}{2g}}.

这个例子体现了量纲分析的价值：即使还不知道 $\lambda$ 的具体公式，也能先确定它只可能依赖于

Re,\qquad \frac{\Delta}{d}.

2.7 课堂例题：单位长度圆柱绕流阻力#

设竖直长圆柱单位长度所受阻力 $F_D$ 与：

D,U,\rho,\mu

有关：

F_D=f(D,U,\rho,\mu).

这里 $F_D=F/L$ ，量纲为：

[F_D]=MT^{-2}.

选择重复变量：

\rho,U,D.

共有 $n=5,m=3$ ，得到两个 $\pi$ 项：

\pi_1=\frac{F_D}{\rho DU^2},

\pi_2=\frac{\mu}{\rho DU}=\frac1{Re}.

所以：

\boxed{ \frac{F_D}{\rho DU^2}=f(Re) }.

或写成：

\boxed{ F_D=C_D(Re)\rho DU^2 }.

其中 $C_D$ 是阻力系数，由实验确定。

2.8 课堂例题：Venturi flowmeter（文丘里流量计）#

课件采用的简化变量为：

q=f(\rho,D_1,\mu,D_2,\Delta p).

连同待求量 $q$ ，共有 $n=6$ 个变量。选择：

\rho,q,D_1

作为重复变量，得到三个无量纲项：

\pi_1=\frac{\rho q^2}{D_1^4\Delta p},

\pi_2=\frac{\rho q}{D_1\mu},

\pi_3=\frac{D_2}{D_1}.

整理后：

\boxed{ q=D_1^2\sqrt{\frac{\Delta p}{\rho}} \,f\left(Re,\frac{D_2}{D_1}\right) }.

其中可用流量构造雷诺数：

Re\sim \frac{\rho q}{\mu D_1}.

WARNING
课件题干还提到流量计长度 $L$ 和粗糙度 $\Delta$ ，但后续推导中将它们省略了。
这相当于采用了简化假设：长度与粗糙度影响可忽略，或结构已经固定。若完整保留，则函数中还应出现：
$\frac{L}{D_1},\qquad \frac{\Delta}{D_1}.$
考试时应以题目明确给出的变量集合为准。

2.9 课堂例题：用 $\pi$ 定理求壁面切应力#

设：

F(D,v,\rho,\tau_0,\mu,\Delta)=0.

选择重复变量：

D,v,\rho.

有：

n=6,\qquad m=3,\qquad N_\pi=3.

得到：

\pi_1=\frac{\tau_0}{\rho v^2},

\pi_2=\frac{\mu}{\rho vD}=\frac1{Re},

\pi_3=\frac{\Delta}{D}.

因此：

\boxed{ \frac{\tau_0}{\rho v^2} =f\left(Re,\frac{\Delta}{D}\right) }.

与瑞利法得到的结果一致。

两种方法的比较#

方法	优点	局限
Rayleigh method	简单、直接，变量少时很快	变量多时自由指数较多，整理困难
Buckingham $\pi$ theorem	系统、通用，直接得到 $n-m$ 个无量纲项	重复变量选择不当会使计算复杂

3 流动相似理论基础#

3.1 Prototype 与 Model#

Prototype（原型）：真实工程对象或真实流动；
Model（模型）：按一定比例缩小或放大的实验对象。

模型实验的目标是：

通过模型中的可测结果，预测原型中的流动现象和受力。

这要求模型和原型满足相似关系。

3.2 Flow similarity（流动相似）的四类条件#

完整流动相似通常包括：

Geometric similarity（几何相似）
Kinematic similarity（运动相似）
Dynamic similarity（动力相似）
Similarity of initial and boundary conditions（初始条件与边界条件相似）

3.3 Geometric similarity（几何相似）#

原型与模型中所有对应线段的比值相同，对应角相等。

长度比尺：

\boxed{ \lambda_L=\frac{L_p}{L_m} }.

面积比尺：

\boxed{ \lambda_A=\frac{A_p}{A_m}=\lambda_L^2 }.

体积比尺：

\boxed{ \lambda_V=\frac{V_p}{V_m}=\lambda_L^3 }.

几何相似还要求：

对应边界形状相似；
对应粗糙度应按比例缩放；
相对粗糙度相等：

\left(\frac{\Delta}{L}\right)_p = \left(\frac{\Delta}{L}\right)_m.

3.4 Kinematic similarity（运动相似）#

原型和模型对应点的速度、加速度方向相同，大小保持固定比例。

速度比尺：

\lambda_v = \frac{v_p}{v_m} = \frac{L_p/t_p}{L_m/t_m} = \boxed{\frac{\lambda_L}{\lambda_t}}.

因此：

\boxed{ \lambda_t=\frac{\lambda_L}{\lambda_v} }.

加速度比尺：

\lambda_a = \frac{a_p}{a_m} = \frac{v_p/t_p}{v_m/t_m} = \boxed{\frac{\lambda_v}{\lambda_t}} = \boxed{\frac{\lambda_L}{\lambda_t^2}}.

流量比尺：

Q=vA,

所以：

\boxed{ \lambda_Q=\lambda_v\lambda_A =\lambda_v\lambda_L^2 }.

3.5 Dynamic similarity（动力相似）#

原型和模型对应点上同类力的方向相同，大小保持固定比例。

力比尺：

\boxed{ \lambda_F=\frac{F_p}{F_m} }.

常见作用力包括：

惯性力；
重力；
压力；
黏性力；
弹性力；
表面张力。

完全动力相似要求所有重要力之间的比例均一致。

实际工程中通常难以同时满足所有力的相似，因此需要识别主导力，优先满足对应的相似准则。

3.6 初始条件与边界条件相似#

初始条件#

非恒定流中，需要保证模型与原型在对应初始时刻的：

水位；
速度场；
压力场；
其他初始状态

具有相似关系。

边界条件#

模型和原型的：

入口流量或速度分布；
出口条件；
固壁形状；
自由液面；
压力边界

均应相似。

几何相似是运动相似和动力相似的基础；动力相似决定流动运动规律是否能够正确复现；运动相似是几何相似与动力相似在速度场中的表现。

3.7 相似准数的来源#

在仅考虑重力的不可压缩黏性流体中，Navier–Stokes 方程可写成：

\mathbf f- \frac1\rho\nabla p +\nu\nabla^2\mathbf u = \frac{\partial\mathbf u}{\partial t} +(\mathbf u\cdot\nabla)\mathbf u.

各项分别代表：

重力；
压力；
黏性力；
当地加速度惯性力；
迁移加速度惯性力。

将各项与迁移惯性项比较并无量纲化，可得到：

Froude number $Fr$ ；
Euler number $Eu$ ；
Reynolds number $Re$ ；
Strouhal number $St$ 。

[图片占位符：插入课件第 33 或第 36 页，将 N–S 方程中的 gravity、pressure、viscous force、time-varying inertia 和 convective inertia 对应标出。]

3.8 Froude number（弗劳德数）#

课件采用：

\boxed{ Fr=\frac{v}{\sqrt{gL}} }.

其物理意义与惯性力和重力的相对大小有关。

严格按力的数量级：

\frac{F_I}{F_G} \sim \frac{\rho L^2v^2}{\rho gL^3} = \frac{v^2}{gL} =Fr^2.

因此：

$Fr$ 越大，惯性作用相对重力越强；
$Fr$ 越小，重力作用相对更显著；
两流动 $Fr$ 相等，等价于惯性力与重力的比例相同。

常见应用：

明渠流；
堰流；
孔口出流；
船舶兴波与波浪阻力；
波浪冲击；
桥墩绕流中受自由液面影响的流动。

Froude 相似条件：

(Fr)_p=(Fr)_m.

即：

\frac{v_p}{\sqrt{g_pL_p}} = \frac{v_m}{\sqrt{g_mL_m}}.

得到：

\boxed{ \lambda_v=(\lambda_g\lambda_L)^{1/2} }.

若模型和原型都在地球重力场中：

\lambda_g=1,

则：

\boxed{ \lambda_v=\lambda_L^{1/2} }.

3.9 Euler number（欧拉数）#

\boxed{ Eu=\frac{\Delta p}{\rho v^2} }.

物理意义：

Eu\sim\frac{\text{pressure force}}{\text{inertia force}}.

Euler 相似：

(Eu)_p=(Eu)_m.

因此：

\boxed{ \lambda_p=\lambda_\rho\lambda_v^2 }.

其中 $\lambda_p=\Delta p_p/\Delta p_m$ 。

在几何相似、运动相似且主要作用力已经相似时，压力相似往往随动力相似自动满足。

3.10 Reynolds number（雷诺数）#

\boxed{ Re=\frac{vL}{\nu}=\frac{\rho vL}{\mu} }.

物理意义：

Re\sim\frac{\text{inertia force}}{\text{viscous force}}.

$Re$ 大：惯性作用相对较强；
$Re$ 小：黏性作用相对显著。

Reynolds 相似条件：

(Re)_p=(Re)_m.

即：

\frac{v_pL_p}{\nu_p} = \frac{v_mL_m}{\nu_m}.

得到：

\boxed{ \lambda_v\lambda_L=\lambda_\nu },

或：

\boxed{ \lambda_v=\frac{\lambda_\nu}{\lambda_L} }.

常见应用：

有压管流；
黏性主导的低 $Re$ 绕流；
边界层与阻力问题；
小尺度黏性流动。

3.11 Strouhal number（斯特劳哈尔数）#

课件使用：

\boxed{ St=\frac{L}{vt} }.

若以频率 $f=1/t$ 表示：

\boxed{ St=\frac{fL}{v} }.

物理意义：

St\sim \frac{\text{time-varying acceleration inertia}} {\text{convective acceleration inertia}}.

用于描述：

非恒定流；
周期性涡脱落；
脉动流；
振荡和波动问题。

Strouhal 相似条件：

(St)_p=(St)_m.

即：

\boxed{ \lambda_t=\frac{\lambda_L}{\lambda_v} }.

这与运动相似的时间比尺关系一致。

3.12 四个主要相似准数总结#

准数	定义	反映的力比	相等时保证
$Fr$	$v/\sqrt{gL}$	惯性力 / 重力的平方根形式	重力相似
$Eu$	$\Delta p/(\rho v^2)$	压力 / 惯性力	压力相似
$Re$	$vL/\nu$	惯性力 / 黏性力	黏性力相似
$St$	$L/(vt)$	当地惯性 / 迁移惯性	非恒定特征相似

TIP
为什么每个相似准数都和惯性力比较？
流体运动状态的改变由各种外力共同造成。惯性项描述流体维持或改变运动状态的响应，因此将重力、压力、黏性力等分别与惯性力比较，可以直接判断哪一种作用主导流动。

3.13 Complete dynamic similarity 为什么难以实现#

假设模型和原型使用同一种流体，且都处于相同重力场：

\lambda_\nu=1, \qquad \lambda_g=1.

若同时要求 Reynolds 相似：

\lambda_v\lambda_L=1,

所以：

\lambda_v=\lambda_L^{-1}.

若同时要求 Froude 相似：

\lambda_v=\lambda_L^{1/2}.

因此必须：

\lambda_L^{-1}=\lambda_L^{1/2}.

得到：

\lambda_L=1.

这意味着模型与原型一样大，模型实验失去意义。

所以工程中通常采用：

找出控制流动的主要作用力，只满足对应的单项相似准则。

重力主导：采用 $Fr$ 相似；
黏性力主导：采用 $Re$ 相似；
压力效应为主：采用 $Eu$ 相似；
强非恒定效应：还需考虑 $St$ 相似。

若使用不同流体，理论上可以同时满足 $Fr$ 和 $Re$ 相似。

由 $Fr$ 相似：

\lambda_v=(\lambda_g\lambda_L)^{1/2}.

由 $Re$ 相似：

\lambda_\nu=\lambda_v\lambda_L.

所以：

\boxed{ \lambda_\nu=\lambda_g^{1/2}\lambda_L^{3/2} }.

若 $\lambda_g=1$ ：

\boxed{ \lambda_\nu=\lambda_L^{3/2} }.

实际困难在于很难找到恰好具有所需运动黏度、密度和其他物性的模型流体。

3.14 Extension：Cauchy number 与 Mach number#

Cauchy number（柯西数）#

对于可压缩流体，弹性力可能很重要。

定义：

\boxed{ Ca=\frac{\rho v^2}{K} }.

其中：

$K$ ：体积模量；
$\rho v^2$ ：惯性作用的特征量。

物理意义：

Ca\sim\frac{\text{inertia force}}{\text{elastic force}}.

应用：

水击；
液体管道瞬变；
流体弹性显著的问题。

这里的 $Ca$ 表示 Cauchy number，部分文献也用 $Ca$ 表示 capillary number，阅读时必须结合定义判断。

Mach number（马赫数）#

流体中的声速：

c=\sqrt{\frac{K}{\rho}}.

因此：

Ca=\frac{\rho v^2}{K}=\frac{v^2}{c^2}=Ma^2.

Mach number：

\boxed{ Ma=\frac vc }.

当气流速度接近或超过声速时，可压缩性和弹性效应显著，需要满足：

(Ma)_p=(Ma)_m.

4 模型实验#

4.1 如何选择模型相似准则#

选择准则的核心是判断主导力。

Reynolds similarity criterion#

适用于黏性力对流动起主要作用的问题：

有压管流；
低 $Re$ 的浸没物体绕流；
黏性边界层；
层流阻力问题。

Froude similarity criterion#

适用于重力和自由液面作用显著的问题：

明渠流；
堰流；
桥墩附近带自由液面的流动；
船舶兴波；
波浪冲击；
有明显漩涡和自由液面的局部有压流动。

Automatic model zone（自动模型区）#

当流动进入阻力平方区，阻力系数基本不再随 $Re$ 变化。

若模型和原型都处在这一流动区域，则即使 $Re_p\ne Re_m$ ，阻力系数仍可能近似相同。此时可按 Froude 相似设计，同时近似实现阻力相似。

需要满足的前提：

模型与原型均已进入阻力系数对 $Re$ 不敏感的区域；
相对粗糙度和主要边界条件合理相似。

不能只凭“流动是湍流”就直接忽略 Reynolds 数影响。

4.2 Model design（模型设计）的步骤#

确定长度比尺 $\lambda_L$
- 根据实验场地、测量精度、模型加工和原型范围确定。
确定模型几何尺寸
- 所有对应长度除以 $\lambda_L$ 。
选择相似准则
- 根据主导力选 $Re$ 、 $Fr$ 或其他准则。
计算各物理量比尺
- 速度、时间、流量、压强、力、功率等。
计算模型运行条件
- 给定原型流量、速度或水位，换算模型值。
保证边界条件相似
- 入口速度分布、水位、粗糙度、出口条件等。

4.3 Froude 相似的常用比尺#

由：

\lambda_v=(\lambda_g\lambda_L)^{1/2}

可得：

时间比尺#

\lambda_t = \frac{\lambda_L}{\lambda_v} = \boxed{ \left(\frac{\lambda_L}{\lambda_g}\right)^{1/2} }.

流量比尺#

\lambda_Q = \lambda_v\lambda_L^2 = \boxed{ \lambda_g^{1/2}\lambda_L^{5/2} }.

加速度比尺#

\lambda_a = \frac{\lambda_v}{\lambda_t} = \boxed{\lambda_g}.

压强比尺#

由 Euler 相似：

\lambda_p = \lambda_\rho\lambda_v^2 = \boxed{ \lambda_\rho\lambda_g\lambda_L }.

力比尺#

F\sim pL^2,

所以：

\boxed{ \lambda_F = \lambda_\rho\lambda_g\lambda_L^3 }.

功率比尺#

N=Fv,

所以：

\boxed{ \lambda_N = \lambda_\rho\lambda_g^{3/2}\lambda_L^{7/2} }.

若模型与原型使用同种液体，且 $g_p=g_m$ ：

物理量	比尺
长度	$\lambda_L$
面积	$\lambda_L^2$
体积	$\lambda_L^3$
速度	$\lambda_L^{1/2}$
时间	$\lambda_L^{1/2}$
流量	$\lambda_L^{5/2}$
压强	$\lambda_L$
力	$\lambda_L^3$
功率	$\lambda_L^{7/2}$

WARNING
Froude 相似中：
$\lambda_v=\lambda_t=\lambda_L^{1/2}$
数值相同，但物理意义不同：

$\lambda_v=v_p/v_m$ ；

$\lambda_t=t_p/t_m$ 。

4.4 Reynolds 相似的常用比尺#

由：

\lambda_v\lambda_L=\lambda_\nu

得到：

\boxed{ \lambda_v=\frac{\lambda_\nu}{\lambda_L} }.

时间比尺#

\lambda_t = \frac{\lambda_L}{\lambda_v} = \boxed{ \frac{\lambda_L^2}{\lambda_\nu} }.

流量比尺#

\lambda_Q = \lambda_v\lambda_L^2 = \boxed{ \lambda_\nu\lambda_L }.

加速度比尺#

\lambda_a = \frac{\lambda_v}{\lambda_t} = \boxed{ \frac{\lambda_\nu^2}{\lambda_L^3} }.

若模型与原型使用同一种流体：

\lambda_\nu=1.

则：

物理量	比尺
速度	$\lambda_L^{-1}$
时间	$\lambda_L^2$
流量	$\lambda_L$
加速度	$\lambda_L^{-3}$

这意味着：模型越小，为保持相同 $Re$ ，模型中的速度往往要更大。

4.5 模型实验数据如何处理#

模型实验得到的量分为两类。

Dimensionless quantity（无量纲量）#

例如：

阻力系数 $C_D$ ；
沿程阻力系数 $\lambda$ ；
流量系数；
压力系数。

流动相似时：

\boxed{C_p=C_m}.

无量纲量通常可以直接由模型用于原型，无需按长度比尺换算。

Dimensional quantity（有量纲量）#

例如：

速度；
流量；
压强；
阻力；
功率。

必须利用对应比尺进行换算：

X_p=\lambda_X X_m.

或：

X_m=\frac{X_p}{\lambda_X}.

4.6 课堂例题：油管的 Reynolds 相似模型#

原型输油管：

直径 $d_p=0.15\ \mathrm{m}$ ；
长度 $L_p=5\ \mathrm{m}$ ；
流量 $Q_p=0.18\ \mathrm{m^3/s}$ ；
油的运动黏度 $\nu_p=0.13\ \mathrm{cm^2/s}$ 。

模型使用 $10^\circ\mathrm C$ 的水：

\nu_m=0.0131\ \mathrm{cm^2/s}.

模型管径与原型相同：

d_m=d_p.

（1）求模型流量#

管流由黏性作用控制，满足：

(Re)_p=(Re)_m.

即：

\frac{v_pd_p}{\nu_p} = \frac{v_md_m}{\nu_m}.

由于 $d_p=d_m$ ：

\frac{v_m}{v_p}=\frac{\nu_m}{\nu_p}.

面积相同，所以流量比等于速度比：

\frac{Q_m}{Q_p} = \frac{\nu_m}{\nu_p}.

代入：

Q_m =0.18\times\frac{0.0131}{0.13} =0.0181\ \mathrm{m^3/s}.

所以：

\boxed{Q_m\approx0.0181\ \mathrm{m^3/s}}.

（2）由模型压差求原型压差水头#

模型 5 m 管段测得压差对应水柱高度：

h_m=0.03\ \mathrm m.

在 Reynolds 相似和几何相似下，Euler 数相同：

\left(\frac{\Delta p}{\rho v^2}\right)_p = \left(\frac{\Delta p}{\rho v^2}\right)_m.

用各自流体的压强水头表示：

h=\frac{\Delta p}{\rho g}.

若 $g_p=g_m$ ：

\frac{h_p}{h_m} = \frac{v_p^2}{v_m^2}.

由于同直径：

\frac{v_p}{v_m}=\frac{Q_p}{Q_m}.

所以：

h_p =h_m\left(\frac{Q_p}{Q_m}\right)^2.

代入：

h_p =0.03\left(\frac{0.18}{0.0181}\right)^2 \approx2.97\ \mathrm m.

课件因中间数值取整给出约 $2.95\ \mathrm m$ ，二者差异来自舍入。

4.7 课堂例题：船模试验#

船模长度比尺：

\lambda_L=50.

模型速度：

v_m=1\ \mathrm{m/s}.

测得模型波浪阻力：

F_m=0.02\ \mathrm N.

原型与模型均在水中，且 $g_p=g_m$ 。

波浪问题由重力控制，采用 Froude 相似。

（1）原型航速#

\lambda_v=\lambda_L^{1/2}=\sqrt{50}.

因此：

v_p=\sqrt{50}\times1 =7.07\ \mathrm{m/s}.

（2）原型波浪阻力#

同流体、同重力下：

\lambda_F=\lambda_L^3.

因此：

F_p=50^3\times0.02 =2500\ \mathrm N.

（3）原型所需功率#

N_p=F_pv_p.

所以：

N_p=2500\times7.07 \approx1.77\times10^4\ \mathrm W.

\boxed{N_p\approx17.7\ \mathrm{kW}}.

[图片占位符：插入课件第 53 页船模例题中的模型—原型示意或比尺计算截图。]

4.8 课堂例题：同时满足 Reynolds 与 Froude 相似#

原型油的运动黏度：

\nu_p=0.74\ \mathrm{cm^2/s}.

初步取长度比尺：

\lambda_L=4.

油从容器经管道流出，重力和黏性作用都重要，因此希望同时满足：

Re_p=Re_m,

Fr_p=Fr_m.

在相同重力场中：

\lambda_\nu=\lambda_L^{3/2}.

因此：

\lambda_\nu=4^{3/2}=8.

所需模型流体运动黏度：

\nu_m=\frac{\nu_p}{\lambda_\nu} =\frac{0.74}{8} =0.0925\ \mathrm{cm^2/s}.

实际很难找到恰好为该黏度的流体。课件选择 $20^\circ\mathrm C$ 、质量分数约 59% 的甘油溶液：

\nu_m=0.0892\ \mathrm{cm^2/s}.

此时应修正长度比尺：

\lambda_L = \left(\frac{\nu_p}{\nu_m}\right)^{2/3}.

代入：

\lambda_L = \left(\frac{0.74}{0.0892}\right)^{2/3} \approx4.10.

若原型尺寸为：

容器直径 $D_p=4\ \mathrm m$ ；
液深 $h_p=8\ \mathrm m$ ；
管径 $d_p=0.5\ \mathrm m$ ；
管长 $l_p=1.5\ \mathrm m$ ；

则模型尺寸：

D_m=\frac{4}{4.10}=0.976\ \mathrm m,

h_m=\frac{8}{4.10}=1.95\ \mathrm m,

d_m=\frac{0.5}{4.10}=0.122\ \mathrm m,

l_m=\frac{1.5}{4.10}=0.366\ \mathrm m.

速度比尺：

\lambda_v=\sqrt{\lambda_L}=2.02.

时间比尺：

\lambda_t=\frac{\lambda_L}{\lambda_v} =\sqrt{\lambda_L} =2.02.

加速度比尺：

\lambda_a=1.

[图片占位符：插入课件第 54 页油箱、出流管及主要尺寸示意图。]

WARNING
课件最后写到“模型流量约为原型的一半”，从公式看应理解为模型流速约为原型的一半：
$\frac{v_m}{v_p}=\frac1{\lambda_v}\approx0.494.$
流量还包含面积比：
$\lambda_Q=\lambda_v\lambda_L^2,$
因此不能只按速度比换算流量。

5 本章速记#

5.1 一张逻辑图#

\text{找变量} \longrightarrow \text{写量纲} \longrightarrow \text{组成无量纲项} \longrightarrow \text{识别主导力} \longrightarrow \text{选相似准则} \longrightarrow \text{求比尺} \longrightarrow \text{模型值与原型值换算}.

5.2 必背定义#

Re=\frac{vL}{\nu} \quad\text{惯性力 / 黏性力},

Fr=\frac{v}{\sqrt{gL}} \quad\text{惯性作用与重力作用的相对大小},

Eu=\frac{\Delta p}{\rho v^2} \quad\text{压力 / 惯性力},

St=\frac{L}{vt}=\frac{fL}{v} \quad\text{当地惯性 / 迁移惯性}.

5.3 必背比尺#

Froude 相似，同流体、同重力#

\boxed{\lambda_v=\lambda_L^{1/2}},

\boxed{\lambda_t=\lambda_L^{1/2}},

\boxed{\lambda_Q=\lambda_L^{5/2}},

\boxed{\lambda_F=\lambda_L^3},

\boxed{\lambda_N=\lambda_L^{7/2}}.

Reynolds 相似，同一种流体#

\boxed{\lambda_v=\lambda_L^{-1}},

\boxed{\lambda_t=\lambda_L^2},

\boxed{\lambda_Q=\lambda_L}.

5.4 解模型题的固定流程#

写明：

\lambda_X=\frac{X_p}{X_m}.

判断主导力；
写相似准数相等；
推导目标比尺；
判断题目给的是原型量还是模型量；
使用：

X_p=\lambda_XX_m

或：

X_m=\frac{X_p}{\lambda_X}.

WARNING
最后排雷

$Fr$ 在本课程中定义为 $v/\sqrt{gL}$ ，惯性力与重力的严格力比为 $Fr^2$ ；

比尺方向固定为原型 / 模型，不能中途倒置；

面积比尺是 $\lambda_L^2$ ，流量比尺还要乘速度比尺；

无量纲量在相似流动中数值相等，有量纲量必须按比尺换算；

同流体、同重力时， $Re$ 相似和 $Fr$ 相似无法同时满足，除非 $\lambda_L=1$ ；

量纲分析得到的是关系结构，常数和具体函数仍需理论或实验确定；

变量选漏后，即使推导过程量纲完全正确，结果仍可能不完整。

第二部分：练习题#

A 量纲与基本概念#

A1 常见物理量的量纲#

【教材基础题改编】

English: Determine the dimensions of dynamic viscosity $\mu$ , kinematic viscosity $\nu$ , pressure $p$ , surface tension coefficient $\sigma$ , and power $N$ in the $M-L-T$ system.

**中文：**在 $M-L-T$ 基本量纲系统中，写出动力黏度 $\mu$ 、运动黏度 $\nu$ 、压强 $p$ 、表面张力系数 $\sigma$ 和功率 $N$ 的量纲。

答案与讲解

\boxed{[\mu]=ML^{-1}T^{-1}},

\boxed{[\nu]=L^2T^{-1}},

\boxed{[p]=ML^{-1}T^{-2}},

\boxed{[\sigma]=MT^{-2}},

\boxed{[N]=ML^2T^{-3}}.

推导：

\tau=\mu\frac{du}{dy} \quad\Rightarrow\quad [\mu]=\frac{ML^{-1}T^{-2}}{T^{-1}} =ML^{-1}T^{-1}.

\nu=\frac\mu\rho \quad\Rightarrow\quad [\nu]=\frac{ML^{-1}T^{-1}}{ML^{-3}} =L^2T^{-1}.

p=\frac FA \quad\Rightarrow\quad [p]=\frac{MLT^{-2}}{L^2} =ML^{-1}T^{-2}.

\sigma=\frac FL \quad\Rightarrow\quad [\sigma]=MT^{-2}.

N=Fv \quad\Rightarrow\quad [N]=MLT^{-2}\cdot LT^{-1} =ML^2T^{-3}.

A2 Reynolds number 的物理意义#

【24–25 真题】

English: The Reynolds number represents the ratio of the ______ force to the ______ force in a fluid flow.

**中文：**雷诺数表示流体流动中 ______ 力与 ______ 力之比。

答案与讲解

\boxed{\text{inertial force（惯性力）}}, \qquad \boxed{\text{viscous force（黏性力）}}.

因为：

Re=\frac{vL}{\nu}=\frac{\rho vL}{\mu}.

惯性力数量级：

F_I\sim \rho L^2v^2.

黏性力数量级：

F_\mu\sim \mu\frac vL L^2=\mu vL.

所以：

\frac{F_I}{F_\mu} \sim \frac{\rho L^2v^2}{\mu vL} = \frac{\rho vL}{\mu} =Re.

A3 量纲和谐检验#

【教材习题 7-1 改编】

English: Verify that the following two equations are dimensionally homogeneous:

\tau=\mu\frac{du}{dy},

z+\frac{p}{\rho g}+\frac{u^2}{2g}=H.

**中文：**验证下列两个方程满足量纲和谐原理：

\tau=\mu\frac{du}{dy},

z+\frac{p}{\rho g}+\frac{u^2}{2g}=H.

答案与讲解

第一式：

\left[\mu\frac{du}{dy}\right] = ML^{-1}T^{-1} \cdot \frac{LT^{-1}}L = ML^{-1}T^{-2} =[\tau].

第二式：

[z]=L,

\left[\frac{p}{\rho g}\right] = \frac{ML^{-1}T^{-2}}{ML^{-3}\cdot LT^{-2}} =L,

\left[\frac{u^2}{2g}\right] = \frac{L^2T^{-2}}{LT^{-2}} =L,

[H]=L.

所有可相加项均为长度量纲，因此两式量纲和谐。

A4 判断量纲正确能否证明公式正确#

【概念综合题】

English: A proposed formula is dimensionally homogeneous. Can one conclude that the formula is physically correct? Explain briefly.

**中文：**某公式满足量纲和谐，能否据此断定该公式在物理上正确？请简要说明。

答案与讲解

不能直接断定。

量纲和谐是公式正确的必要条件。它只能排除量纲明显错误的表达式，无法检验：

无量纲常数；
正负号；
加法结构；
具体函数形式；
是否遗漏重要变量。

例如：

s=vt,

s=100vt

量纲均正确，但具体物理规律不可能同时成立。

B 量纲分析方法#

B1 Pitot tube 速度公式#

【课堂例题改编】

English: The velocity $u$ measured by a Pitot tube depends on the pressure difference $\Delta p$ , fluid density $\rho$ , and gravitational acceleration $g$ . Use the Rayleigh method to determine the form of $u$ .

**中文：**皮托管测得的流速 $u$ 与压强差 $\Delta p$ 、流体密度 $\rho$ 和重力加速度 $g$ 有关。用瑞利法确定 $u$ 的结构形式。

答案与讲解

设：

u=k(\Delta p)^a\rho^bg^c.

代入量纲：

LT^{-1} = (ML^{-1}T^{-2})^a(ML^{-3})^b(LT^{-2})^c.

比较指数：

\begin{cases} a+b=0,\\ -a-3b+c=1,\\ -2a-2c=-1. \end{cases}

解得：

a=\frac12, \quad b=-\frac12, \quad c=0.

因此：

\boxed{u=k\sqrt{\frac{\Delta p}{\rho}}}.

重力指数为 0，说明以压强差为自变量时， $g$ 不直接进入公式。

B2 水泵轴功率的结构形式#

【教材习题 7-3】

English: The shaft power $N$ delivered by a pump depends on the discharge $Q$ , fluid density $\rho$ , gravitational acceleration $g$ , and pump head $H$ . Use the Rayleigh method to establish the functional form of $N$ .

**中文：**水泵输出轴功率 $N$ 取决于流量 $Q$ 、流体密度 $\rho$ 、重力加速度 $g$ 和扬程 $H$ 。用瑞利法建立 $N$ 的关系式。

答案与讲解

设：

N=kQ^a\rho^bg^cH^d.

各量量纲：

[N]=ML^2T^{-3},

[Q]=L^3T^{-1}, \quad [\rho]=ML^{-3}, \quad [g]=LT^{-2}, \quad [H]=L.

代入：

ML^2T^{-3} = (L^3T^{-1})^a(ML^{-3})^b(LT^{-2})^cL^d.

比较指数：

\begin{cases} M:\quad b=1,\\ T:\quad -a-2c=-3,\\ L:\quad 3a-3b+c+d=2. \end{cases}

只靠这三个方程无法唯一确定四个指数，说明变量之间还存在一个无量纲自由组合。

使用 Buckingham $\pi$ 定理，选择 $\rho,g,H$ 为重复变量，可得：

\pi_1=\frac{N}{\rho g^{3/2}H^{7/2}},

\pi_2=\frac{Q}{\sqrt g\,H^{5/2}}.

因此量纲分析能够严格给出的关系为：

\boxed{ N=\rho g^{3/2}H^{7/2} \Phi\left(\frac{Q}{\sqrt g\,H^{5/2}}\right) }.

也可等价写成：

\boxed{ N=\rho gQH \Psi\left(\frac{Q}{\sqrt g\,H^{5/2}}\right) }.

若 $H$ 表示泵实际传给流体的扬程，则水力功率由能量定义直接给出：

N_h=\rho gQH.

若题目求轴功率，并给定效率 $\eta$ ：

N_{shaft}=\frac{\rho gQH}{\eta}.

**审题提醒：**仅靠量纲分析会得到一个无量纲函数； $N_h=\rho gQH$ 还使用了扬程的能量定义。

B3 矩形薄壁堰流量公式#

【教材习题 7-4】

English: The discharge $Q$ over a rectangular sharp-crested weir depends on the weir width $b$ , head over the crest $H$ , and gravitational acceleration $g$ . Use the Rayleigh method to determine the form of the discharge equation.

**中文：**矩形薄壁堰的过堰流量 $Q$ 与堰宽 $b$ 、堰上水头 $H$ 和重力加速度 $g$ 有关。用瑞利法确定流量公式的结构。

答案与讲解

设：

Q=kb^aH^cg^d.

代入量纲：

L^3T^{-1} = L^aL^c(LT^{-2})^d.

比较时间指数：

-2d=-1 \quad\Rightarrow\quad d=\frac12.

比较长度指数：

a+c+d=3.

因此：

a+c=\frac52.

仅凭量纲无法分别确定 $a,c$ 。若考虑流量与堰宽成正比，即 $a=1$ ，则：

c=\frac32.

所以：

\boxed{Q=C b\sqrt g\,H^{3/2}}.

常见理论形式可写为：

Q=\frac23C_d b\sqrt{2g}\,H^{3/2}.

量纲分析无法确定 $2/3$ 、 $\sqrt2$ 和流量系数 $C_d$ 。

B4 球体绕流阻力#

【教材习题 7-5】

English: The drag force $F$ on a submerged sphere depends on fluid density $\rho$ , dynamic viscosity $\mu$ , flow velocity $v$ , and sphere diameter $d$ . Use the Buckingham $\pi$ theorem to obtain the dimensionless relationship.

**中文：**球形潜体所受绕流阻力 $F$ 与流体密度 $\rho$ 、动力黏度 $\mu$ 、流速 $v$ 和球径 $d$ 有关。用 Buckingham $\pi$ 定理建立无量纲关系。

答案与讲解

变量：

F,\rho,\mu,v,d.

有：

n=5, \qquad m=3, \qquad N_\pi=2.

选择重复变量：

\rho,v,d.

可得：

\pi_1=\frac{F}{\rho v^2d^2},

\pi_2=\frac{\mu}{\rho vd}=\frac1{Re}.

因此：

\boxed{ \frac{F}{\rho v^2d^2}=f(Re) }.

通常把阻力系数定义为：

C_D=\frac{F}{\tfrac12\rho v^2A},

球的迎流面积：

A=\frac{\pi d^2}{4}.

所以：

\boxed{C_D=f(Re)}.

B5 圆管压降的无量纲关系#

【课堂例题 / 教材例题改编】

English: For a horizontal pipe of constant diameter, the pressure drop $\Delta p$ depends on pipe diameter $d$ , pipe length $l$ , average velocity $v$ , fluid density $\rho$ , dynamic viscosity $\mu$ , and wall roughness $\Delta$ . Use the Buckingham $\pi$ theorem to establish the dimensionless relation.

**中文：**水平等直径圆管中的压降 $\Delta p$ 与管径 $d$ 、管长 $l$ 、平均流速 $v$ 、密度 $\rho$ 、动力黏度 $\mu$ 和壁面粗糙度 $\Delta$ 有关。用 Buckingham $\pi$ 定理建立无量纲关系。

答案与讲解

变量总数：

n=7.

基本量纲数：

m=3.

所以：

N_\pi=4.

选择重复变量：

d,v,\rho.

得到：

\pi_1=\frac{\mu}{\rho vd}=\frac1{Re},

\pi_2=\frac ld,

\pi_3=\frac{\Delta}{d},

\pi_4=\frac{\Delta p}{\rho v^2}.

因此：

\boxed{ \frac{\Delta p}{\rho v^2} =\Phi\left(Re,\frac ld,\frac{\Delta}{d}\right) }.

充分发展管流中 $\Delta p\propto l$ ，进一步得到：

\boxed{ \Delta p =\lambda\frac ld\frac{\rho v^2}{2} },

其中：

\boxed{ \lambda=f\left(Re,\frac{\Delta}{d}\right) }.

C 相似理论与模型实验#

C1 重力相似的三个基本比尺#

【24–25 真题】

English: A flow satisfies the gravity similarity law. Express the velocity scale $\lambda_v$ , discharge scale $\lambda_Q$ , and time scale $\lambda_t$ in terms of the length scale $\lambda_L$ . Assume the same gravitational acceleration in the prototype and model.

**中文：**某流动满足重力相似法则。在原型与模型重力加速度相同的条件下，用长度比尺 $\lambda_L$ 表示流速比尺 $\lambda_v$ 、流量比尺 $\lambda_Q$ 和时间比尺 $\lambda_t$ 。

答案与讲解

Froude 相似：

\frac{v_p}{\sqrt{gL_p}} = \frac{v_m}{\sqrt{gL_m}}.

由于 $g_p=g_m$ ：

\boxed{\lambda_v=\lambda_L^{1/2}}.

流量比尺：

\lambda_Q=\lambda_v\lambda_L^2,

所以：

\boxed{\lambda_Q=\lambda_L^{5/2}}.

时间比尺：

\lambda_t=\frac{\lambda_L}{\lambda_v},

所以：

\boxed{\lambda_t=\lambda_L^{1/2}}.

C2 溢洪道模型流量#

【21–22 真题】

English: A prototype spillway has a height of $12\ \mathrm m$ and a maximum discharge of $60\ \mathrm{m^3/s}$ . A model has a height of $0.48\ \mathrm m$ . Determine the maximum discharge in the model according to Froude similarity.

**中文：**某原型溢洪道高 $12\ \mathrm m$ ，最大泄流量为 $60\ \mathrm{m^3/s}$ 。模型高度为 $0.48\ \mathrm m$ 。按 Froude 相似求模型最大流量。

答案与讲解

长度比尺：

\lambda_L=\frac{12}{0.48}=25.

Froude 相似下：

\lambda_Q=\lambda_L^{5/2}.

因此：

Q_m=\frac{Q_p}{\lambda_Q} =\frac{60}{25^{5/2}}.

因为：

25^{5/2}=25^2\sqrt{25}=625\times5=3125,

所以：

\boxed{Q_m=0.0192\ \mathrm{m^3/s}}.

C3 文丘里流量计模型的流量比#

【教材习题 7-7】

English: A $1{:}10$ geometrically similar model is used to determine the discharge coefficient of a large Venturi meter. The same fluid is used in the prototype and model. Determine the ratio of model discharge to prototype discharge required for dynamic similarity.

**中文：**为测定大型文丘里流量计的流量系数，采用几何比尺为 $1{:}10$ 的模型，并使用相同流体。为保证动力相似，求模型流量与原型流量之比。

答案与讲解

“模型 : 原型 $=1:10$ ”表示：

\lambda_L=\frac{L_p}{L_m}=10.

有压管流主要按 Reynolds 相似：

\lambda_v=\lambda_L^{-1}

因为使用同一种流体。

流量比尺：

\lambda_Q=\lambda_v\lambda_L^2 =\lambda_L.

所以：

\frac{Q_p}{Q_m}=10.

因此：

\boxed{ rac{Q_m}{Q_p}=\frac1{10}}.

模型截面积只有原型的 $1/100$ ，但模型速度是原型的 10 倍，所以模型流量为原型的 $1/10$ 。

C4 船模的阻力、速度与功率#

【教材习题 7-9 / 课堂例题】

English: A ship model has a length scale $\lambda_L=50$ and moves at $1\ \mathrm{m/s}$ in a towing tank. The measured wave resistance is $0.02\ \mathrm N$ . Assuming Froude similarity and the same fluid, determine: (1) prototype speed; (2) prototype wave resistance; (3) prototype power.

**中文：**船模长度比尺为 $\lambda_L=50$ ，模型在水池中以 $1\ \mathrm{m/s}$ 航行，测得波浪阻力为 $0.02\ \mathrm N$ 。采用 Froude 相似且原型、模型均使用水，求：（1）原型航速；（2）原型波浪阻力；（3）原型功率。

答案与讲解

速度比尺：

\lambda_v=\lambda_L^{1/2}=\sqrt{50}.

所以：

\boxed{v_p=7.07\ \mathrm{m/s}}.

力比尺：

\lambda_F=\lambda_L^3=50^3.

所以：

F_p=50^3\times0.02 =2500\ \mathrm N.

\boxed{F_p=2500\ \mathrm N}.

功率：

N_p=F_pv_p =2500\times7.07 =1.77\times10^4\ \mathrm W.

\boxed{N_p\approx17.7\ \mathrm{kW}}.

也可以直接使用：

\lambda_N=\lambda_L^{7/2}.

C5 桥墩水工模型#

【教材习题 7-10】

English: A bridge pier in the prototype has length $l_p=24\ \mathrm m$ , width $b_p=4.3\ \mathrm m$ , water depth $h_p=8.2\ \mathrm m$ , mean velocity $v_p=2.3\ \mathrm{m/s}$ , and a distance of $B_p=90\ \mathrm m$ between the two abutments. A model is designed with $\lambda_L=50$ . Determine the model dimensions, model velocity, and model discharge. Assume a rectangular flow section and Froude similarity.

**中文：**原型桥墩长 $l_p=24\ \mathrm m$ 、宽 $b_p=4.3\ \mathrm m$ ，水深 $h_p=8.2\ \mathrm m$ ，桥下平均流速 $v_p=2.3\ \mathrm{m/s}$ ，两桥台间距离 $B_p=90\ \mathrm m$ 。取 $\lambda_L=50$ 设计模型。假定过流断面为矩形并满足 Froude 相似，求模型几何尺寸、模型流速和模型流量。

答案与讲解

模型尺寸均为原型尺寸除以 $\lambda_L$ ：

l_m=\frac{24}{50}=0.48\ \mathrm m,

b_m=\frac{4.3}{50}=0.086\ \mathrm m,

h_m=\frac{8.2}{50}=0.164\ \mathrm m,

B_m=\frac{90}{50}=1.80\ \mathrm m.

速度比尺：

\lambda_v=\sqrt{50}.

所以：

v_m=\frac{2.3}{\sqrt{50}} =0.325\ \mathrm{m/s}.

模型流量：

Q_m=B_mh_mv_m.

代入：

Q_m=1.80\times0.164\times0.325 \approx0.0960\ \mathrm{m^3/s}.

所以：

\boxed{Q_m\approx0.0960\ \mathrm{m^3/s}}.

检查：

Q_p=90\times8.2\times2.3=1697.4\ \mathrm{m^3/s},

\frac{Q_p}{Q_m}\approx50^{5/2},

与 Froude 流量比尺一致。

C6 风洞压强换算#

【教材习题 7-11】

English: In a wind-tunnel test of a high-rise building, the windward pressure is $42\ \mathrm{Pa}$ and the leeward pressure is $-20\ \mathrm{Pa}$ at a wind speed of $9\ \mathrm{m/s}$ . Assuming the pressure coefficients remain unchanged, determine the two pressures when the speed increases to $12\ \mathrm{m/s}$ .

**中文：**在高层建筑风洞试验中，当风速为 $9\ \mathrm{m/s}$ 时，迎风面压强为 $42\ \mathrm{Pa}$ ，背风面压强为 $-20\ \mathrm{Pa}$ 。假定压力系数保持不变，求风速增至 $12\ \mathrm{m/s}$ 时两侧压强。

答案与讲解

压力系数不变等价于 Euler 数保持一致：

\frac{\Delta p}{\rho v^2}=\text{constant}.

同一空气、温度不变，密度相同，所以：

\frac{p_2}{p_1}=\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2.

速度比：

\frac{v_2}{v_1}=\frac{12}{9}=\frac43.

压强倍数：

\left(\frac43\right)^2=\frac{16}{9}.

迎风面：

p_{w,2}=42\times\frac{16}{9} =74.7\ \mathrm{Pa}.

背风面：

p_{l,2}=-20\times\frac{16}{9} =-35.6\ \mathrm{Pa}.

所以：

\boxed{p_{w,2}=74.7\ \mathrm{Pa}},

\boxed{p_{l,2}=-35.6\ \mathrm{Pa}}.

负号表示该处相对参考压强为吸力。

C7 溢流坝模型#

【教材习题 7-12】

English: A spillway model has a length scale $\lambda_L=60$ . The prototype discharge is $500\ \mathrm{m^3/s}$ . (1) Determine the model discharge. (2) If the head over the crest in the model is $H_m=0.06\ \mathrm m$ , determine the corresponding prototype head.

**中文：**某溢流坝模型的长度比尺为 $\lambda_L=60$ ，原型泄流量为 $500\ \mathrm{m^3/s}$ 。（1）求模型泄流量；（2）若模型堰上水头 $H_m=0.06\ \mathrm m$ ，求原型对应水头。

答案与讲解

溢流坝由重力控制，采用 Froude 相似。

流量比尺：

\lambda_Q=\lambda_L^{5/2}=60^{5/2}.

所以：

Q_m=\frac{500}{60^{5/2}} =0.0179\ \mathrm{m^3/s}.

\boxed{Q_m\approx1.79\times10^{-2}\ \mathrm{m^3/s}}.

水头是长度量：

H_p=\lambda_LH_m.

所以：

H_p=60\times0.06=3.60\ \mathrm m.

\boxed{H_p=3.60\ \mathrm m}.

C8 同时满足 Reynolds 与 Froude 相似#

【课堂例题改编：综合题】

English: An oil-flow prototype has kinematic viscosity $\nu_p=0.74\ \mathrm{cm^2/s}$ . A model is intended to have a length scale $\lambda_L=4$ and must satisfy both Reynolds and Froude similarity under the same gravitational acceleration. (1) Determine the required model-fluid viscosity. (2) If the available model fluid has $\nu_m=0.0892\ \mathrm{cm^2/s}$ , determine the corrected length scale.

**中文：**某油流原型的运动黏度为 $\nu_p=0.74\ \mathrm{cm^2/s}$ 。拟取长度比尺 $\lambda_L=4$ ，并在相同重力加速度下同时满足 Reynolds 与 Froude 相似。（1）求所需模型流体运动黏度；（2）若实际可用模型流体的运动黏度为 $\nu_m=0.0892\ \mathrm{cm^2/s}$ ，求修正后的长度比尺。

答案与讲解

Froude 相似：

\lambda_v=\lambda_L^{1/2}.

Reynolds 相似：

\lambda_\nu=\lambda_v\lambda_L.

所以：

\lambda_\nu=\lambda_L^{3/2}.

当 $\lambda_L=4$ ：

\lambda_\nu=4^{3/2}=8.

因此：

\nu_m=\frac{\nu_p}{\lambda_\nu} =\frac{0.74}{8} =0.0925\ \mathrm{cm^2/s}.

\boxed{\nu_m=0.0925\ \mathrm{cm^2/s}}.

若实际：

\nu_m=0.0892\ \mathrm{cm^2/s},

则：

\frac{\nu_p}{\nu_m}=\lambda_L^{3/2}.

因此：

\lambda_L = \left(\frac{\nu_p}{\nu_m}\right)^{2/3} = \left(\frac{0.74}{0.0892}\right)^{2/3} \approx4.10.

\boxed{\lambda_L\approx4.10}.

这道题说明：模型流体选定后，长度比尺不一定还能保持原先设定值，需要根据实际物性重新修正。

练习题使用建议#

A 组先检查概念和量纲；
B 组重点练习“选变量—列指数—组成无量纲项”；
C 组每题先在草稿最上方写：

\lambda_X=\frac{X_p}{X_m},

再判断使用 $Re$ 相似还是 $Fr$ 相似。

本章常见失分主要来自以下判断与换算环节：

主导力判断错误；
比尺方向颠倒；
把长度比尺直接当成流量比尺；
忘记流量还包含面积比例；
将无量纲系数和有量纲物理量采用同一种换算方式。

概述#

教学范围判断#

目录#

第一部分：课程笔记#

1 量纲#

1.1 Unit 与 Dimension#

Unit（单位）#

Dimension（量纲）#

1.2 Fundamental dimension 与 Derived dimension#

Fundamental dimension（基本量纲）#

Derived dimension（导出量纲）#

1.3 常见物理量的量纲#

1.4 几何量纲、运动量纲与动力量纲#

1.5 Dimensionless quantity（量纲一的量）#

1.6 Principle of dimensional homogeneity（量纲和谐原理）#

量纲和谐原理的作用#

能检查什么，不能检查什么#

2 量纲分析方法#

2.1 Dimensional analysis（量纲分析）的目的#

2.2 Rayleigh method（瑞利法）#

计算步骤#

适用范围#

2.3 课堂例题：Pitot tube（皮托管）测速公式#

2.4 课堂例题：圆管壁面切应力#

2.5 Buckingham π\piπ theorem#

定理内容#

计算步骤#

重复变量的选择原则#

2.6 课堂例题：等直径圆管压降#

2.7 课堂例题：单位长度圆柱绕流阻力#

2.8 课堂例题：Venturi flowmeter（文丘里流量计）#

2.9 课堂例题：用 π\piπ 定理求壁面切应力#

两种方法的比较#

3 流动相似理论基础#

3.1 Prototype 与 Model#

3.2 Flow similarity（流动相似）的四类条件#

3.3 Geometric similarity（几何相似）#

3.4 Kinematic similarity（运动相似）#

3.5 Dynamic similarity（动力相似）#

3.6 初始条件与边界条件相似#

初始条件#

边界条件#

3.7 相似准数的来源#

3.8 Froude number（弗劳德数）#

3.9 Euler number（欧拉数）#

3.10 Reynolds number（雷诺数）#

3.11 Strouhal number（斯特劳哈尔数）#

3.12 四个主要相似准数总结#

3.13 Complete dynamic similarity 为什么难以实现#

3.14 Extension：Cauchy number 与 Mach number#

Cauchy number（柯西数）#

Mach number（马赫数）#

4 模型实验#

4.1 如何选择模型相似准则#

Reynolds similarity criterion#

Froude similarity criterion#

Automatic model zone（自动模型区）#

4.2 Model design（模型设计）的步骤#

4.3 Froude 相似的常用比尺#

时间比尺#

流量比尺#

加速度比尺#

压强比尺#

力比尺#

功率比尺#

4.4 Reynolds 相似的常用比尺#

时间比尺#

流量比尺#

加速度比尺#

4.5 模型实验数据如何处理#

Dimensionless quantity（无量纲量）#

Dimensional quantity（有量纲量）#

4.6 课堂例题：油管的 Reynolds 相似模型#

（1）求模型流量#

（2）由模型压差求原型压差水头#

4.7 课堂例题：船模试验#

（1）原型航速#

（2）原型波浪阻力#

（3）原型所需功率#

4.8 课堂例题：同时满足 Reynolds 与 Froude 相似#

2.5 Buckingham $\pi$ theorem#

2.9 课堂例题：用 $\pi$ 定理求壁面切应力#