概述#

这份笔记按当前考试结构分成两部分：

第一部分：填空题训练（48 题）——覆盖行列式、矩阵、秩、方程组、向量空间、正交、特征值、二次型。
第二部分：证明题训练（16 题）——集中训练最可能被压缩成 15 分证明题的核心定理与综合结论。

题目共 64 题，每个小类别均安排 8 道题。题目来源标记如下：

【24–25 真题】：直接选自或忠实整理自 2024–2025 春夏卷；
【历年卷改编】：从旧题的大题结构中抽取核心，改造成当前填空或证明形式；
【教材习题/例题改编】：依据教材前六章的例题、习题及定理设计；
【综合变式】：在教材核心结论上做少量参数或数字变式。

TIP
今晚建议限时

填空题：每题先独立做 4–6 分钟，再展开答案；

证明题：每题先写出“使用的定理 + 证明主线”，控制在 10–12 分钟；

每个模块的第 1–4 题偏基础与高频，第 5–8 题偏综合。

WARNING
当前提供的 24–25 试卷文件只包含 85 分填空部分。因此，证明题部分主要依据教材定理、旧卷证明题和复习大纲中的第一优先级内容筛选。

目录#

第一部分：填空题
第二部分：证明题
- B1 秩、方程组与向量空间证明
- B2 特征值、正交矩阵与二次型证明
最后速记

第一部分：填空题#

A1 行列式、矩阵运算与逆矩阵#

A1-1 Vandermonde 型行列式#

【教材习题/例题改编】

计算

D=\begin{vmatrix} 1&1&1\\ a&b&c\\ a^2&b^2&c^2 \end{vmatrix}.

答案与讲解

\boxed{D=(b-a)(c-a)(c-b)}.

这是三阶 Vandermonde 行列式。也可以作列变换：

C_2\leftarrow C_2-C_1,\qquad C_3\leftarrow C_3-C_1,

提取因子 $b-a,c-a$ 后，再从剩余二阶行列式中得到 $c-b$ 。

**易错点：**三个差的顺序会影响符号。按列变量 $a,b,c$ 排列时，标准结果是

\prod_{1\le i<j\le3}(x_j-x_i).

A1-2 “单位阵 + 秩一矩阵”型行列式#

【历年卷改编：2021–2022 秋冬】

设 $n\ge2$ ，

D=\begin{vmatrix} a_1+x&a_2&\cdots&a_n\\ a_1&a_2+x&\cdots&a_n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_1&a_2&\cdots&a_n+x \end{vmatrix},

则 $D=$ ______。

答案与讲解

\boxed{D=x^{n-1}\left(x+\sum_{i=1}^n a_i\right)}.

矩阵可写成

xE+\boldsymbol 1(a_1,\ldots,a_n),

其中第二项的秩至多为 $1$ 。用列变换也可求解：把第 $2,\ldots,n$ 列分别减去第 1 列，再逐步提取 $x$ 。

**检查：**当所有 $a_i=0$ 时，结果应退化为 $x^n$ 。

A1-3 伴随矩阵的行列式与逆#

【教材习题/例题改编】

设 $A$ 为三阶可逆矩阵，且 $|A|=2$ 。则

|A^*|=\underline{\qquad},\qquad (A^*)^{-1}=\underline{\qquad}.

答案与讲解

\boxed{|A^*|=4},\qquad \boxed{(A^*)^{-1}=\frac12A}.

因为三阶矩阵满足

A^*=|A|A^{-1},

所以

|A^*|=|A|^{3-1}=2^2=4,

且

(A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A=\frac12A.

A1-4 利用矩阵多项式构造逆矩阵#

【24–25 真题】

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且

A^3=2A(A-E).

则

(E-A)^{-1}=\underline{\qquad}.

答案与讲解

\boxed{(E-A)^{-1}=E-A+A^2}.

直接验证：

(E-A)(E-A+A^2) =E-2A+2A^2-A^3.

由 $A^3=2A^2-2A$ ，上式等于 $E$ 。

**核心套路：**已知 $A$ 满足多项式关系时，优先设逆矩阵为 $A$ 的低次多项式，再通过乘法配出 $E$ 。

A1-5 分块上三角矩阵#

【教材习题/例题改编】

设 $A,D$ 均可逆，

M=\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}.

则

|M|=\underline{\qquad},\qquad M^{-1}=\underline{\qquad}.

答案与讲解

\boxed{|M|=|A||D|},

\boxed{ M^{-1}= \begin{pmatrix} A^{-1}&-A^{-1}BD^{-1}\\ 0&D^{-1} \end{pmatrix}}.

将待求逆矩阵设为

\begin{pmatrix}X&Y\\0&Z\end{pmatrix},

由 $MM^{-1}=E$ 逐块比较即可得到

X=A^{-1},\quad Z=D^{-1},\quad AY+BZ=0.

A1-6 初等矩阵与行、列变换#

【教材习题/例题改编】

矩阵 $C$ 由 $A$ 先交换第 1、2 行，再作列变换

C_3\leftarrow C_3+2C_1

得到。若对应的初等矩阵分别为 $P,Q$ ，则

C=\underline{\qquad},\qquad |C|=\underline{\qquad}.

答案与讲解

\boxed{C=PAQ},\qquad \boxed{|C|=-|A|}.

左乘初等矩阵对应行变换；
右乘初等矩阵对应列变换。

交换两行使行列式变号；一列加上另一列的倍数不改变行列式。

A1-7 矩阵方程中的因式分解#

【历年卷改编：2016–2017 秋冬】

设 $A$ 可逆，且 $A^{-1}+E$ 可逆。若

A^{-1}XA+XA+2E=0,

则 $X=$ ______。

答案与讲解

\boxed{X=-2(E+A)^{-1}}.

左边前两项可合并：

A^{-1}XA+XA=(A^{-1}+E)XA.

因此

X=-2(A^{-1}+E)^{-1}A^{-1}.

又

A^{-1}+E=A^{-1}(E+A),

故

(A^{-1}+E)^{-1}A^{-1}=(E+A)^{-1}.

A1-8 由矩阵方程直接求逆#

【教材习题/例题改编】

若

A^2-3A+2E=0,

则 $A^{-1}=$ ______。

答案与讲解

\boxed{A^{-1}=\frac{3E-A}{2}}.

由原式得

3A-A^2=2E,

即

A\left(\frac{3E-A}{2}\right)=E.

方阵存在右逆时也存在逆矩阵，因此结果成立。

A2 矩阵的秩与线性方程组#

A2-1 含两个参数的方程组分类#

【教材习题/例题改编】

讨论方程组

\begin{cases} x+y+z=1,\\ 2x+3y+4z=2,\\ x+2y+az=b. \end{cases}

当 ______ 时有唯一解；当 ______ 时有无穷多解；当 ______ 时无解。

答案与讲解

\boxed{a\ne3\text{ 时唯一解}},

\boxed{a=3,\ b=1\text{ 时无穷多解}},

\boxed{a=3,\ b\ne1\text{ 时无解}}.

用第二式减去第一式的 2 倍、第三式减去第一式，得到

y+2z=0,

y+(a-1)z=b-1.

二式相减得

(a-3)z=b-1.

分类只需观察这个最后方程。

A2-2 秩与解空间维数#

【教材习题/例题改编】

设 $A$ 为 $4\times6$ 矩阵， $r(A)=3$ 。则齐次方程组 $AX=0$ 的基础解系含 ______ 个向量。若 $AX=b$ 有解，则其解集合含 ______ 个自由参数。

答案与讲解

\boxed{3},\qquad \boxed{3}.

未知量个数为 $6$ ，故

\dim N(A)=6-r(A)=3.

非齐次方程组有解时，其解集是

X_0+N(A),

自由参数个数与齐次解空间维数相同。

A2-3 由多个非齐次解写通解#

【24–25 真题】

已知 $r(A)=3$ ， $AX=b$ 有三个解

X_1=(1,-1,2,3,-1)^T,

X_2=(0,-1,1,0,2)^T,

X_3=(-1,1,2,1,3)^T.

则 $AX=b$ 的通解为 ______。

答案与讲解

\boxed{ X=X_1+s(X_2-X_1)+t(X_3-X_1),\quad s,t\in\mathbb R}.

即

\boxed{ X=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\\3\\-1\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\\-3\\3\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\-2\\4\end{pmatrix}}.

因为未知量个数为 $5$ ， $r(A)=3$ ，所以齐次解空间维数为 $2$ 。两个差向量线性无关，恰好构成基础解系。

A2-4 非齐次解的仿射组合#

【24–25 真题】

若 $b\ne0$ ，且 $X_1,X_2,X_3$ 均为 $AX=b$ 的解，则

X=c_1X_1+c_2X_2+c_3X_3

仍为 $AX=b$ 的解的充要条件是 ______。

答案与讲解

\boxed{c_1+c_2+c_3=1}.

因为

AX=(c_1+c_2+c_3)b.

要使其等于 $b$ ，且 $b\ne0$ ，系数之和必须为 $1$ 。

A2-5 同解齐次方程组#

【历年卷与教材综合改编】

若齐次方程组 $AX=0$ 与 $BX=0$ 同解，则

N(A)=\underline{\qquad},\qquad r(A)\ \underline{\qquad}\ r(B),

且 $A,B$ 的 ______ 空间相同。

答案与讲解

\boxed{N(A)=N(B)},\qquad \boxed{r(A)=r(B)},

且二者的

\boxed{\text{行空间相同}}.

因为在欧氏空间中

\operatorname{Row}(A)=N(A)^\perp.

零空间相同，正交补也相同，因而行空间及其维数相同。

A2-6 乘积矩阵秩的上下界#

【历年卷改编：Frobenius/Sylvester 秩不等式】

设 $A$ 为 $5\times6$ 矩阵， $r(A)=3$ ； $B$ 为 $6\times4$ 矩阵， $r(B)=4$ 。则

\underline{\qquad}\le r(AB)\le\underline{\qquad}.

答案与讲解

\boxed{1\le r(AB)\le3}.

上界：

r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\}=3.

下界用 Sylvester 不等式：

r(AB)\ge r(A)+r(B)-6=1,

其中 $6$ 是中间维数。

A2-7 哪些线性组合仍为非齐次解#

【教材知识点变式】

设 $b\ne0$ ， $X_1,X_2$ 是 $AX=b$ 的两个解。下列向量中仍为 $AX=b$ 的解的是 ______：

X_1+X_2,\qquad X_1-X_2,\qquad 2X_1-X_2.

答案与讲解

\boxed{2X_1-X_2}.

三个组合的系数和依次为 $2,0,1$ 。只有系数和为 $1$ 的仿射组合仍是原非齐次方程组的解。

其中 $X_1-X_2$ 是对应齐次方程组的解。

A2-8 幂零条件对秩的限制#

【教材习题/例题改编】

设 $A$ 为七阶矩阵，且 $A^2=0$ 。则 $r(A)$ 的最大可能值为 ______。

答案与讲解

\boxed{3}.

由 $A^2=0$ ，有

\operatorname{Im}(A)\subseteq N(A).

因此

r(A)\le\dim N(A)=7-r(A),

即 $2r(A)\le7$ ，故 $r(A)\le3$ 。

A3 向量组、子空间、基与维数#

A3-1 含参数向量组的线性表示#

【24–25 真题】

设

\alpha_1=(1,1,1)^T,\quad \alpha_2=(a,1,2a-1)^T,\quad \alpha_3=(1,1,2)^T,

\beta=(3,4,3)^T.

当 $a\ne$ ______ 时， $\beta$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示，且

\beta=\underline{\qquad}.

答案与讲解

\boxed{a\ne1},

\boxed{ \beta=\frac{3a-2}{a-1}\alpha_1- rac{1}{a-1}\alpha_2+\alpha_3}.

把三个向量作为列组成矩阵，行列式为

\begin{vmatrix} 1&a&1\\ 1&1&1\\ 1&2a-1&2 \end{vmatrix}=1-a.

$a\ne1$ 时三向量构成 $\mathbb R^3$ 的一组基，表示存在且唯一。

A3-2 极大线性无关组与秩#

【教材习题/例题改编】

设

\alpha_1=(1,0,1)^T,\quad \alpha_2=(0,1,1)^T,

\alpha_3=(1,1,2)^T,\quad \alpha_4=(2,1,3)^T.

该向量组的秩为 ______，一个极大线性无关组为 ______。

答案与讲解

\boxed{r=2},\qquad \boxed{\{\alpha_1,\alpha_2\}}.

因为

\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2,

\alpha_4=2\alpha_1+\alpha_2,

而 $\alpha_1,\alpha_2$ 不成比例，故线性无关。

A3-3 非齐次解集何时为子空间#

【24–25 真题】

设 $W$ 是方程组

\begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4=k,\\ x_1-x_2+x_3-x_4=0 \end{cases}

的解集。则当 $k=$ ______ 时， $W$ 是 $\mathbb R^4$ 的子空间；此时

\dim W=\underline{\qquad},

一组基为 ______。

答案与讲解

\boxed{k=0},\qquad \boxed{\dim W=2},

一组基为

\boxed{ \left\{ (1,0,-1,0)^T, (0,1,0,-1)^T \right\}}.

子空间必须包含零向量，所以先得 $k=0$ 。此时

x_3=-x_1,\qquad x_4=-x_2.

A3-4 矩阵空间的子空间#

【历年卷改编：2016–2017 春夏、2018–2019 秋冬】

设

V=\left\{A\in\mathbb R^{2\times2}:A^T=A,\ \operatorname{tr}A=0\right\}.

则 $\dim V=$ ______，一组基为 ______。

答案与讲解

任意 $A\in V$ 可写为

A=\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix} =a\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.

所以

\boxed{\dim V=2},

一组基为

\boxed{ \left\{ \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \right\}}.

A3-5 多项式子空间#

【教材习题/例题改编】

在 $P_3=\{a+bx+cx^2+dx^3\}$ 中，令

W=\{p(x):p(1)=0,\ p'(0)=0\}.

则 $\dim W=$ ______，一组基为 ______。

答案与讲解

设

p(x)=a+bx+cx^2+dx^3.

由 $p'(0)=b=0$ ， $p(1)=a+c+d=0$ ，故 $a=-c-d$ 。

于是

p(x)=c(x^2-1)+d(x^3-1).

所以

\boxed{\dim W=2},

一组基为

\boxed{\{x^2-1,\ x^3-1\}}.

A3-6 子空间的和与交#

【教材习题/例题改编】

在 $\mathbb R^4$ 中，设

U=\operatorname{span}\{e_1,e_2,e_3\},\qquad V=\operatorname{span}\{e_2,e_3,e_4\}.

则

\dim(U\cap V)=\underline{\qquad},\qquad \dim(U+V)=\underline{\qquad}.

答案与讲解

U\cap V=\operatorname{span}\{e_2,e_3\},

因此

\boxed{\dim(U\cap V)=2}.

又 $U+V=\mathbb R^4$ ，所以

\boxed{\dim(U+V)=4}.

也可用公式

\dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V).

A3-7 扩充为一组基#

【教材习题/例题改编】

在 $\mathbb R^4$ 中，已知

\alpha_1=(1,0,1,0)^T,\qquad \alpha_2=(0,1,0,1)^T.

可添加向量 ______ 和 ______，将其扩充为 $\mathbb R^4$ 的一组基。

答案与讲解

一种答案是

\boxed{e_3=(0,0,1,0)^T,\qquad e_4=(0,0,0,1)^T}.

若

c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+c_3e_3+c_4e_4=0,

观察第 1、2 个分量先得 $c_1=c_2=0$ ，再得 $c_3=c_4=0$ 。

**说明：**扩充答案通常不唯一。

A3-8 向量组关系空间的维数#

【历年卷改编：2017–2018 春夏】

设 $\alpha_1,\ldots,\alpha_5$ 的秩为 $3$ ，令

W=\left\{(k_1,\ldots,k_5)^T:\sum_{i=1}^5k_i\alpha_i=0\right\}.

则 $\dim W=$ ______。

答案与讲解

\boxed{\dim W=5-3=2}.

定义线性映射

T:\mathbb R^5\to V,\qquad T(k_1,\ldots,k_5)^T=\sum_{i=1}^5k_i\alpha_i.

则 $W=N(T)$ ，且 $r(T)=3$ 。由秩—零度定理得

\dim W=5-r(T)=2.

A4 坐标变换、内积与正交#

A4-1 过渡矩阵#

【24–25 真题】

设

\alpha_1=(2,0,2,2)^T,\quad \alpha_2=(1,1,1,3)^T,

\beta_1=(5,1,5,7)^T,\quad \beta_2=(0,2,0,4)^T.

$(\alpha_1,\alpha_2)$ 与 $(\beta_1,\beta_2)$ 都是同一子空间的基。若规定从基 $\mathrm I=(\alpha_1,\alpha_2)$ 到基 $\mathrm{II}=(\beta_1,\beta_2)$ 的过渡矩阵 $P$ 满足

(\beta_1,\beta_2)=(\alpha_1,\alpha_2)P,

则 $P=$ ______。

答案与讲解

直接计算：

\beta_1=2\alpha_1+\alpha_2,

\beta_2=-\alpha_1+2\alpha_2.

因此

\boxed{P=\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}}.

过渡矩阵的第 $j$ 列，是新基第 $j$ 个向量在旧基下的坐标。

A4-2 利用过渡矩阵变换坐标#

【24–25 真题变式】

沿用上一题的过渡矩阵

P=\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}.

若向量 $x$ 在基 $\mathrm I$ 下的坐标为

[x]_{\mathrm I}=(3,1)^T,

则 $[x]_{\mathrm{II}}=$ ______。

答案与讲解

坐标关系为

[x]_{\mathrm I}=P[x]_{\mathrm{II}}.

因此

[x]_{\mathrm{II}}=P^{-1}[x]_{\mathrm I}.

又

P^{-1}=\frac15\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix},

所以

\boxed{[x]_{\mathrm{II}}=egin{pmatrix}7/5\\-1/5\end{pmatrix}}.

**易错点：**基向量由旧基变到新基时乘 $P$ ；同一向量的坐标要乘 $P^{-1}$ 。

A4-3 在两组基下坐标相同#

【历年卷改编：2019–2020 春夏】

在 $\mathbb R^3$ 中，基 $\mathrm I$ 为标准基，基 $\mathrm{II}$ 为

\beta_1=e_1, \qquad \beta_2=e_1+e_2, \qquad \beta_3=2e_3.

在两组基下坐标相同的所有向量构成的子空间为 ______。

答案与讲解

设共同坐标为 $X=(x_1,x_2,x_3)^T$ 。因为基 $\mathrm I$ 是标准基，向量本身为 $X$ ；而按基 $\mathrm{II}$ 表示时，向量为

PX, \qquad P=\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}.

要求 $PX=X$ ，即

(P-E)X=0.

得到 $x_2=x_3=0$ ， $x_1$ 任意。因此

\boxed{W=\operatorname{span}\{e_1\}}.

A4-4 Schmidt 正交化#

【历年卷改编：2020–2021 秋冬】

对

\alpha_1=(1,-1,0)^T, \quad \alpha_2=(-1,0,1)^T, \quad \alpha_3=(1,2,2)^T

作 Schmidt 正交化，得到的一组标准正交基可取为 ______。

答案与讲解

第一步：

\eta_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,-1,0)^T.

第二步：

\beta_2=\alpha_2- \frac{(\alpha_2,\alpha_1)}{(\alpha_1,\alpha_1)}\alpha_1 =\left(-\frac12,-\frac12,1\right)^T,

所以

\eta_2=\frac{1}{\sqrt6}(-1,-1,2)^T.

第三步可得到与前两者都正交的向量 $(1,1,1)^T$ ，故

\boxed{ \left\{ \frac1{\sqrt2}(1,-1,0)^T, \frac1{\sqrt6}(-1,-1,2)^T, \frac1{\sqrt3}(1,1,1)^T \right\}}.

A4-5 求正交补#

【教材习题/例题改编】

设

W=\operatorname{span}\{(1,1,0,0)^T,(0,1,1,0)^T\}.

则 $W^\perp$ 的一组基为 ______， $\dim W^\perp=$ ______。

答案与讲解

令 $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^T\in W^\perp$ ，则

x_1+x_2=0,

x_2+x_3=0.

令 $x_2=t,x_4=s$ ，则

x=(-t,t,-t,s)^T.

所以一组基为

\boxed{\{(-1,1,-1,0)^T,(0,0,0,1)^T\}},

且

\boxed{\dim W^\perp=2}.

A4-6 正交投影#

【教材欧氏空间内容改编】

设

u=(1,1,1)^T,\qquad v=(1,-1,0)^T,

W=\operatorname{span}\{u,v\},\qquad x=(1,2,0)^T.

则 $x$ 在 $W$ 上的正交投影为 ______。

答案与讲解

先注意

(u,v)=0.

因此

\operatorname{proj}_W x =\frac{(x,u)}{(u,u)}u+ \frac{(x,v)}{(v,v)}v.

计算得

(x,u)=3,\quad (u,u)=3,

(x,v)=-1,\quad(v,v)=2.

故

\operatorname{proj}_W x =u-\frac12v =\boxed{\left(\frac12,\frac32,1\right)^T}.

A4-7 基下的度量矩阵#

【教材与历年卷改编】

在 $\mathbb R^2$ 的标准内积下，取基

\alpha_1=(1,0)^T, \qquad \alpha_2=(1,1)^T.

该基的度量矩阵为 ______。

答案与讲解

度量矩阵的第 $(i,j)$ 个元素为

g_{ij}=(\alpha_i,\alpha_j).

因此

G=egin{pmatrix} (\alpha_1,\alpha_1)&(\alpha_1,\alpha_2)\\ (\alpha_2,\alpha_1)&(\alpha_2,\alpha_2) \end{pmatrix} =oxed{\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}}.

若新旧基满足 $(\beta)=(\alpha)P$ ，则度量矩阵满足

G_\beta=P^TG_\alpha P.

A4-8 正交矩阵的逆与行列式#

【教材习题/例题改编】

设

Q=\begin{pmatrix} \frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}&0\\ \frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2}&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}.

则 $Q^{-1}=$ ______， $|Q|=$ ______。

答案与讲解

矩阵的列向量两两正交且均为单位向量，因此 $Q$ 是正交矩阵：

\boxed{Q^{-1}=Q^T=Q}.

左上二阶块的行列式为 $-1$ ，再乘第三个对角元 $-1$ ，所以

\boxed{|Q|=1}.

一般正交矩阵只保证 $|Q|=\pm1$ 。

A5 特征值、相似与对角化#

A5-1 直接展开特征多项式#

【历年卷改编：2019–2020 秋冬】

设

A=\begin{pmatrix} 0&0&1\\ a&1&b\\ 1&0&0 \end{pmatrix}.

则特征多项式 $f_A(\lambda)=|\lambda E-A|=$ ______，特征值为 ______。

答案与讲解

按第二列展开：

|\lambda E-A| =\begin{vmatrix} \lambda&0&-1\\ -a&\lambda-1&-b\\ -1&0&\lambda \end{vmatrix}

=(\lambda-1) \begin{vmatrix} \lambda&-1\\ -1&\lambda \end{vmatrix} =(\lambda-1)(\lambda^2-1).

所以

\boxed{f_A(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda+1)},

特征值为

\boxed{1\text{（二重）},\ -1\text{（一重）}}.

这里 $a,b$ 不影响特征值，但会影响特征向量和可对角化性。

A5-2 秩一矩阵的特征值#

【24–25 真题】

设

A=(1,2,3)^T(-1,2,1).

则 $A$ 的特征值为 ______， $E-A$ 的特征值为 ______。

答案与讲解

写成

A=uv^T,

其中

u=(1,2,3)^T, \quad v=(-1,2,1)^T.

秩一矩阵 $uv^T$ 的唯一可能非零特征值为

v^Tu=-1+4+3=6.

故

\boxed{A\text{ 的特征值为 }6,0,0},

从而

\boxed{E-A\text{ 的特征值为 }-5,1,1}.

A5-3 矩阵多项式的特征值#

【教材习题/例题改编】

设三阶矩阵 $A$ 的特征值为 $-1,2,3$ ，令

B=A^2-2A+3E.

则 $B$ 的特征值为 ______， $|B|=$ ______。

答案与讲解

若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则

f(\lambda)=\lambda^2-2\lambda+3

是 $B=f(A)$ 的对应特征值。

分别代入：

f(-1)=6,\qquad f(2)=3,\qquad f(3)=6.

所以

\boxed{B\text{ 的特征值为 }6,3,6},

\boxed{|B|=6\times3\times6=108}.

A5-4 含参数矩阵的可对角化条件#

【历年卷改编：2019–2020 秋冬】

对 A5-1 中的矩阵

A=\begin{pmatrix} 0&0&1\\ a&1&b\\ 1&0&0 \end{pmatrix},

$A$ 可相似对角化的充要条件是 ______。

答案与讲解

特征值 $1$ 的代数重数为 $2$ 。考察

(A-E)X=0.

方程为

-x_1+x_3=0,

a x_1+b x_3=0.

由 $x_3=x_1$ ，第二式化为

(a+b)x_1=0.

要使特征值 $1$ 的特征子空间维数为 $2$ ，必须使 $x_1$ 与 $x_2$ 都可自由取值，因此

\boxed{a+b=0}.

A5-5 求对角化矩阵 $P$ #

【历年卷改编：2019–2020 秋冬】

取上一题中 $a=1,b=-1$ 。求一个可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。

答案与讲解

当 $\lambda=1$ 时，可取两个线性无关特征向量

\alpha_1=(1,0,1)^T, \qquad \alpha_2=(0,1,0)^T.

当 $\lambda=-1$ 时，可取

\alpha_3=(1,-1,-1)^T.

因此可取

\boxed{ P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3) =\begin{pmatrix} 1&0&1\\ 0&1&-1\\ 1&0&-1 \end{pmatrix}},

并有

\boxed{P^{-1}AP=\operatorname{diag}(1,1,-1)}.

易错点： $P$ 的列向量顺序必须与对角矩阵中特征值顺序一致。

A5-6 由正交特征向量恢复实对称矩阵#

【教材实对称矩阵内容改编】

已知实对称矩阵 $A$ 的单位特征向量及对应特征值为

q_1=\frac1{\sqrt2}(1,1,0)^T,\quad \lambda_1=1,

q_2=\frac1{\sqrt2}(1,-1,0)^T,\quad \lambda_2=3,

q_3=(0,0,1)^T,\quad \lambda_3=2.

则 $A=$ ______。

答案与讲解

令

Q=(q_1,q_2,q_3), \qquad \Lambda=\operatorname{diag}(1,3,2).

因为 $Q$ 正交，

A=Q\Lambda Q^T.

计算得

\boxed{ A=\begin{pmatrix} 2&-1&0\\ -1&2&0\\ 0&0&2 \end{pmatrix}}.

A5-7 幂零矩阵的逆与特征多项式#

【24–25 真题】

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，存在行向量 $\alpha$ 满足

\alpha A^{n-1}\ne0, \qquad \alpha A^n=0.

则

(E-A)^{-1}=\underline{\qquad},

$A$ 的特征多项式为 ______。

答案与讲解

可证明

\alpha,\alpha A,\ldots,\alpha A^{n-1}

线性无关，因此构成行向量空间的一组基。每个基向量右乘 $A^n$ 都为零，从而

A^n=0.

于是

\boxed{(E-A)^{-1}=E+A+A^2+\cdots+A^{n-1}}.

幂零矩阵全部特征值为 $0$ ，故

\boxed{f_A(\lambda)=\lambda^n}.

A5-8 分块矩阵的特征值#

【历年卷改编：2016–2017 秋冬】

设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ ，令

C=\begin{pmatrix}0&A\\A&0\end{pmatrix}.

则 $C$ 的全部特征值为 ______。

答案与讲解

若

Ax=\lambda x,

则

C\begin{pmatrix}x\\x\end{pmatrix} =\lambda\begin{pmatrix}x\\x\end{pmatrix},

而

C\begin{pmatrix}x\\-x\end{pmatrix} =-\lambda\begin{pmatrix}x\\-x\end{pmatrix}.

因此

\boxed{C\text{ 的特征值为 }\lambda_1,\ldots,\lambda_n,-\lambda_1,\ldots,-\lambda_n}.

A6 二次型、合同与正定性#

A6-1 从二次型写出矩阵#

【24–25 真题】

设

f(x_1,x_2,x_3) =2x_1^2+2t x_1x_2+4x_1x_3+x_2^2+3x_3^2.

则对应的实对称矩阵为 ______。

答案与讲解

\boxed{ A=\begin{pmatrix} 2&t&2\\ t&1&0\\ 2&0&3 \end{pmatrix}}.

交叉项满足

2a_{ij}x_ix_j.

所以 $2t x_1x_2$ 对应 $a_{12}=a_{21}=t$ ， $4x_1x_3$ 对应 $a_{13}=a_{31}=2$ 。

A6-2 含参数二次型的正定范围#

【24–25 真题】

沿用上一题。二次型正定的条件为 ______。

答案与讲解

顺序主子式为

\Delta_1=2,

\Delta_2=\begin{vmatrix}2&t\\t&1\end{vmatrix}=2-t^2,

\Delta_3=|A|=2-3t^2.

由 Sylvester 判别法，正定要求三者均大于 $0$ 。最严格条件是

2-3t^2>0.

因此

\boxed{-\sqrt{\frac23}<t<\sqrt{\frac23}}.

A6-3 半正定与临界参数#

【24–25 真题】

沿用 A6-1。二次型半正定的条件为 ______；若题目要求“半正定但非正定”，则 $t=$ ______。

答案与讲解

对实对称矩阵，半正定要求所有主子式非负。这里可得到

\boxed{|t|\le\sqrt{\frac23}}.

其中严格不等号对应正定，故半正定但非正定时

\boxed{t=\pm\sqrt{\frac23}}.

易错点：“半正定”在定义上包含正定情形；试卷连续设置“正定、半正定”两个空时，第二空通常意指半正定但非正定的临界值。

A6-4 判断负惯性指数#

【24–25 真题】

沿用 A6-1。当 ______ 时，二次型的负惯性指数为 $1$ 。

答案与讲解

当

|t|>\sqrt{\frac23}

时，

|A|=2-3t^2<0.

三个特征值的乘积为负，因此负特征值个数为奇数。又

\operatorname{tr}A=6>0,

不可能三个特征值全负，故恰有一个负特征值。

所以

\boxed{t< -\sqrt{\frac23}\quad\text{或}\quad t>\sqrt{\frac23}}.

A6-5 正交变换化标准形#

【历年卷改编：2019–2020 春夏】

设

f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3.

用正交变换化得的标准形为 ______，该二次型 ______（填正定/不定/半正定）。

答案与讲解

二次型矩阵为

A=\begin{pmatrix} 1&1/2&1/2\\ 1/2&1&1/2\\ 1/2&1/2&1 \end{pmatrix}.

向量 $(1,1,1)^T$ 对应特征值 $2$ ；与其正交的二维子空间对应特征值 $1/2$ 。

可取

q_1=\frac1{\sqrt3}(1,1,1)^T,

q_2=\frac1{\sqrt2}(1,-1,0)^T,

q_3=\frac1{\sqrt6}(1,1,-2)^T.

于是标准形为

\boxed{f=2y_1^2+\frac12y_2^2+\frac12y_3^2},

故

\boxed{f\text{ 正定}}.

A6-6 由行列式与迹判断惯性指数#

【历年卷改编：2020–2021 秋冬】

设

f=2x_1x_2-6x_1x_3+2x_2x_3.

该二次型的秩为 ______，正惯性指数为 ______，负惯性指数为 ______，规范形为 ______。

答案与讲解

对应矩阵为

A=\begin{pmatrix} 0&1&-3\\ 1&0&1\\ -3&1&0 \end{pmatrix}.

计算得

|A|=-6\ne0,

故

\boxed{r(A)=3}.

特征值乘积为负，所以负特征值个数为奇数；又 $\operatorname{tr}A=0$ ，不可能三个特征值都负，因此负特征值恰有一个。

所以

\boxed{p=2,\qquad q=1},

规范形为

\boxed{z_1^2+z_2^2-z_3^2}.

A6-7 合同矩阵的不变量#

【教材习题/例题改编】

若实对称矩阵 $A$ 与

D=\operatorname{diag}(2,-1,0,3)

合同，则

r(A)=\underline{\qquad},\quad p(A)=\underline{\qquad},\quad q(A)=\underline{\qquad}.

答案与讲解

合同变换保持秩、正惯性指数和负惯性指数。

矩阵 $D$ 中有两个正数、一个负数和一个零，因此

\boxed{r(A)=3},

\boxed{p(A)=2},

\boxed{q(A)=1}.

**区别：**相似保持特征值；合同一般不保持具体特征值，但保持惯性指数。

A6-8 对称对合矩阵与二次型#

【历年卷改编：2019–2020 秋冬】

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，满足

A^2=E, \qquad r(A+E)=r, \qquad 0<r<n.

则二次型 $X^TAX$ 的规范形为 ______。若

B=E+A+A^2+A^3+A^4,

则 $|B|=$ ______。

答案与讲解

由 $A^2=E$ ， $A$ 的特征值只能为 $1$ 或 $-1$ 。在特征值 $1$ 对应的特征子空间上， $A+E$ 的特征值为 $2$ ；在特征值 $-1$ 对应的特征子空间上， $A+E$ 的特征值为 $0$ 。

所以特征值 $1$ 的重数为 $r$ ，特征值 $-1$ 的重数为 $n-r$ 。

规范形为

\boxed{z_1^2+\cdots+z_r^2-z_{r+1}^2-\cdots-z_n^2}.

对 $B$ ，当 $\lambda=1$ 时，

1+\lambda+\lambda^2+\lambda^3+\lambda^4=5;

当 $\lambda=-1$ 时，该值为 $1$ 。

故

\boxed{|B|=5^r}.

第二部分：证明题#

B1 秩、方程组与向量空间证明#

B1-1 非齐次方程组解的仿射组合#

【历年卷改编：2017–2018 春夏】

设 $b\ne0$ ， $X_1,\ldots,X_t$ 是非齐次线性方程组

AX=b

的 $t$ 个解。证明：

k_1X_1+\cdots+k_tX_t

是 $AX=b$ 的解，当且仅当

k_1+\cdots+k_t=1.

证明

记

X=k_1X_1+\cdots+k_tX_t.

由于 $AX_i=b$ ，有

AX =A\left(\sum_{i=1}^t k_iX_i\right) =\sum_{i=1}^t k_iAX_i =\left(\sum_{i=1}^t k_i\right)b.

若

\sum_{i=1}^t k_i=1,

则 $AX=b$ ，所以 $X$ 是原方程组的解。

反过来，若 $X$ 是原方程组的解，则

\left(\sum_{i=1}^t k_i\right)b=b,

即

\left(\sum_{i=1}^t k_i-1\right)b=0.

因为 $b\ne0$ ，故

\sum_{i=1}^t k_i=1.

命题得证。

WARNING
若 $b=0$ ，结论不成立：齐次方程组的解可以作任意线性组合，无须要求系数和为 $1$ 。

B1-2 向量组全部线性关系构成的子空间#

【历年卷改编：2017–2018 春夏】

设向量组 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 的秩为 $r$ ，定义

W=\left\{(k_1,\ldots,k_n)^T\in\mathbb R^n: \sum_{i=1}^n k_i\alpha_i=0\right\}.

证明 $W$ 是 $\mathbb R^n$ 的子空间，并求 $\dim W$ 。

证明

定义线性映射

T:\mathbb R^n\to V,

T(k_1,\ldots,k_n)^T =\sum_{i=1}^n k_i\alpha_i.

由定义，

W=N(T).

线性映射的核一定是定义域的子空间，因此 $W$ 是 $\mathbb R^n$ 的子空间。

又因为

\operatorname{Im}T=L(\alpha_1,\ldots,\alpha_n),

所以

r(T)=r.

由秩—零度定理，

\dim W =\dim N(T) =n-r(T) =\boxed{n-r}.

B1-3 线性表示存在且唯一#

【历年卷改编：2017–2018 春夏】

设 $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ 线性无关，而

\alpha_1,\ldots,\alpha_r,\beta

线性相关。证明： $\beta$ 可由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ 唯一线性表示。

证明

由于加入 $\beta$ 后向量组线性相关，存在不全为零的数

k_1,\ldots,k_r,k

使

k_1\alpha_1+\cdots+k_r\alpha_r+k\beta=0.

若 $k=0$ ，则

k_1\alpha_1+\cdots+k_r\alpha_r=0.

由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ 线性无关，得到

k_1=\cdots=k_r=0,

这与系数不全为零矛盾。因此 $k\ne0$ ，从而

\beta=-\frac{k_1}{k}\alpha_1-\cdots-\frac{k_r}{k}\alpha_r.

故线性表示存在。

再证明唯一性。若

\beta=\sum_{i=1}^r a_i\alpha_i =\sum_{i=1}^r b_i\alpha_i,

则

\sum_{i=1}^r(a_i-b_i)\alpha_i=0.

由线性无关性得

a_i-b_i=0,

即 $a_i=b_i$ 。故表示唯一。

B1-4 秩为 $r$ 的矩阵的秩一分解#

【教材习题 3.5 与历年卷改编：2021–2022 秋冬】

证明：矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，当且仅当存在两组线性无关列向量

\alpha_1,\ldots,\alpha_r, \qquad \beta_1,\ldots,\beta_r

使

A=\sum_{i=1}^r\alpha_i\beta_i^T.

证明

必要性：

若 $r(A)=r$ ，取 $A$ 的列空间的一组基

\alpha_1,\ldots,\alpha_r,

令

U=(\alpha_1,\ldots,\alpha_r).

$A$ 的每一列都可由这些基向量唯一表示，因此存在 $r\times n$ 矩阵 $C$ ，使

A=UC.

因为 $r(A)=r(U)=r$ ，所以 $r(C)=r$ ，即 $C$ 的 $r$ 个行向量线性无关。将其记为

\beta_1^T,\ldots,\beta_r^T.

于是

A=UC =\sum_{i=1}^r\alpha_i\beta_i^T.

并且 $\alpha_i$ 、 $\beta_i$ 分别线性无关。

充分性：

若

A=\sum_{i=1}^r\alpha_i\beta_i^T,

令

U=(\alpha_1,\ldots,\alpha_r), \qquad V=(\beta_1,\ldots,\beta_r),

则

A=UV^T.

由乘积秩不等式，

r(A)\le r.

因为 $\beta_1,\ldots,\beta_r$ 线性无关， $V^T$ 行满秩，存在矩阵 $R$ 使

V^TR=E_r.

于是

AR=UV^TR=U.

故

r(A)\ge r(U)=r.

结合上下界得 $r(A)=r$ 。

B1-5 Frobenius 秩不等式#

【教材概要与历年卷改编：2020–2021 秋冬】

设矩阵乘法均有意义。证明 Frobenius 秩不等式：

r(AB)+r(BC)\le r(B)+r(ABC).

证明

把矩阵看作线性映射。记

U=\operatorname{Im}B, \qquad W=\operatorname{Im}(BC).

显然

W\subseteq U.

在 $U$ 上考虑线性映射 $A$ 。有

r(AB)=\dim A(U),

r(ABC)=\dim A(W),

r(B)=\dim U,

r(BC)=\dim W.

由于 $W\subseteq U$ ，商空间中映射诱导出

\dim A(U)-\dim A(W) \le \dim U- \dim W.

即

r(AB)-r(ABC) \le r(B)-r(BC).

移项即得

\boxed{r(AB)+r(BC)\le r(B)+r(ABC)}.

TIP
考试中若要求由 Frobenius 不等式推出其他结论，先尝试给 $A,B,C$ 代入 $A^k$ 、 $A$ 、 $A^m$ 等矩阵。

B1-6 由 $AB=0$ 推出秩不等式#

【教材秩与方程组内容改编】

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵， $B$ 为 $n\times p$ 矩阵，且

AB=0.

证明：

r(A)+r(B)\le n.

证明

对任意 $x\in\mathbb R^p$ ，有

A(Bx)=0.

因此

Bx\in N(A).

这说明

\operatorname{Im}B\subseteq N(A).

取维数得

r(B)=\dim\operatorname{Im}B \le\dim N(A).

由秩—零度定理，

\dim N(A)=n-r(A).

故

r(B)\le n-r(A),

即

\boxed{r(A)+r(B)\le n}.

B1-7 两组基之间的过渡矩阵必可逆#

【教材 4.5 基变换内容改编】

设

(\beta_1,\ldots,\beta_n) =(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)P,

其中两组向量均为线性空间 $V$ 的基。证明 $P$ 可逆，并推出坐标变换公式。

证明

设

Pc=0.

两边左乘基矩阵 $(\alpha_1, \ldots,\alpha_n)$ ，得到

(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)Pc=0.

由基变换关系，

(\beta_1,\ldots,\beta_n)c=0.

因为 $\beta_1,\ldots,\beta_n$ 线性无关，所以

c=0.

因此齐次方程 $Pc=0$ 只有零解， $P$ 可逆。

对任意 $x\in V$ ，有

x=(\alpha)[x]_\alpha=(\beta)[x]_\beta.

代入 $(\beta)=(\alpha)P$ ：

(\alpha)[x]_\alpha =(\alpha)P[x]_\beta.

由基向量线性无关，坐标唯一，故

\boxed{[x]_\alpha=P[x]_\beta},

从而

\boxed{[x]_\beta=P^{-1}[x]_\alpha}.

B1-8 受约束像空间的维数#

【历年卷改编：2020–2021 秋冬】

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵， $B$ 为 $p\times n$ 矩阵，定义

W=\{AX\in\mathbb R^m:BX=0\}.

证明 $W$ 是 $\mathbb R^m$ 的子空间，并证明

\dim W =r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}-r(B).

证明

令

K=N(B).

则

W=A(K),

即 $W$ 是子空间 $K$ 在线性映射 $A$ 下的像，因此 $W$ 是 $\mathbb R^m$ 的子空间。

考虑限制映射

A|_K:K\to\mathbb R^m.

它的像为 $W$ ，核为

N(A|_K)=K\cap N(A)=N(A)\cap N(B).

而

N(A)\cap N(B) =N\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}.

由秩—零度定理，

\dim W =\dim K- \dim N(A|_K).

其中

\dim K=n-r(B),

\dim N(A|_K) =n-r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}.

故

\dim W =(n-r(B))- \left(n-r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\right),

即

\boxed{ \dim W=r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}-r(B)}.

B2 特征值、正交矩阵与二次型证明#

B2-1 保持长度的矩阵是正交矩阵#

【历年卷改编：2016–2017 秋冬】

设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，且对任意 $x\in\mathbb R^n$ ，均有

\|Ax\|=\|x\|.

证明 $A$ 是正交矩阵。

证明

由条件，对任意 $x$ ，有

\|Ax\|^2=\|x\|^2.

因此

x^TA^TAx=x^Tx,

即

x^T(A^TA-E)x=0

对任意 $x$ 成立。

矩阵

S=A^TA-E

是实对称矩阵。实对称矩阵满足

x^TSx=0\quad\forall x

时只能有 $S=0$ 。因此

A^TA=E.

故

A^{-1}=A^T,

所以 $A$ 是正交矩阵。

B2-2 半正定矩阵的扰动判别#

【历年卷改编：2017–2018 秋冬】

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵。证明： $A$ 半正定，当且仅当对任意 $c>0$ ，矩阵

cE+A

正定。

证明

**充分方向：**若 $A$ 半正定，则对任意非零向量 $x$ ，

x^TAx\ge0.

对任意 $c>0$ ，

x^T(cE+A)x =c\|x\|^2+x^TAx>0.

所以 $cE+A$ 正定。

**必要方向：**设对任意 $c>0$ ， $cE+A$ 都正定。对任意向量 $x$ ，有

x^T(cE+A)x>0

（ $x\ne0$ 时）。即

x^TAx>-c\|x\|^2.

令 $c\to0^+$ ，得到

x^TAx\ge0.

因此 $A$ 半正定。

B2-3 对称矩阵与反对称矩阵的可逆性#

【历年卷改编：2017–2018 秋冬】

设 $A$ 为可逆实对称矩阵， $B$ 为实反对称矩阵，且

AB=BA.

证明 $A-B$ 可逆。

证明

因为 $A$ 可逆，

A-B=A(E-A^{-1}B).

只需证明 $E-A^{-1}B$ 可逆。

令

C=A^{-1}B.

由 $AB=BA$ ，可得 $A^{-1}B=BA^{-1}$ 。又因为 $A^{-1}$ 仍为实对称矩阵，

C^T =(A^{-1}B)^T =B^T(A^{-1})^T =-BA^{-1} =-A^{-1}B =-C.

所以 $C$ 是反对称矩阵。

若

(E-C)x=0,

则 $x=Cx$ 。两边左乘 $x^T$ ：

x^Tx=x^TCx.

反对称矩阵满足 $x^TCx=0$ ，故

x^Tx=0,

从而 $x=0$ 。因此 $E-C$ 的齐次方程只有零解， $E-C$ 可逆，进而 $A-B$ 可逆。

B2-4 正定矩阵乘实对称矩阵可对角化#

【历年卷改编：2020–2021 秋冬】

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 正定。证明 $AB$ 可相似对角化，并且其特征值均为实数。

证明

因为 $A$ 正定，存在正定实对称矩阵 $A^{1/2}$ ，满足

A^{1/2}A^{1/2}=A.

考虑

C=A^{1/2}BA^{1/2}.

由于 $A^{1/2}$ 与 $B$ 都实对称，

C^T =(A^{1/2}BA^{1/2})^T =A^{1/2}BA^{1/2}=C.

所以 $C$ 是实对称矩阵，必可正交对角化，且全部特征值为实数。

另一方面，

A^{-1/2}(AB)A^{1/2} =A^{1/2}BA^{1/2}=C.

因此 $AB$ 与实对称矩阵 $C$ 相似。

相似矩阵有相同特征值，且可对角化性相同，所以 $AB$ 可相似对角化，全部特征值均为实数。

B2-5 行列式为负的实对称矩阵必取负值#

【历年卷改编：2018–2019 秋冬】

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且

|A|<0.

证明：存在非零实向量 $x$ ，使

x^TAx<0.

证明

实对称矩阵 $A$ 的全部特征值均为实数，记为

\lambda_1,\ldots,\lambda_n.

又

|A|=\lambda_1\cdots\lambda_n<0.

所以这些特征值中至少有一个负特征值。设

\lambda_k<0,

取其对应的非零实特征向量 $x$ ，则

Ax=\lambda_kx.

因此

x^TAx =x^T(\lambda_kx) =\lambda_k\|x\|^2<0.

命题得证。

B2-6 对称对合矩阵的惯性指数#

【历年卷改编：2019–2020 秋冬】

设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，满足

A^2=E, \qquad r(A+E)=r.

证明二次型 $X^TAX$ 的正惯性指数为 $r$ ，负惯性指数为 $n-r$ 。

证明

若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则由 $A^2=E$ ，

\lambda^2=1.

因此

\lambda=1\quad\text{或}\quad\lambda=-1.

因为 $A$ 为实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ ，使

Q^TAQ=\operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots,\lambda_n).

对 $A+E$ ：

当 $\lambda_i=1$ 时， $\lambda_i+1=2$ ；
当 $\lambda_i=-1$ 时， $\lambda_i+1=0$ 。

故

r(A+E) =\text{特征值 }1\text{ 的重数}.

由题设 $r(A+E)=r$ ，可知 $A$ 有 $r$ 个正特征值 $1$ ，有 $n-r$ 个负特征值 $-1$ 。

所以二次型的正惯性指数为

\boxed{r},

负惯性指数为

\boxed{n-r}.

B2-7 正交矩阵的 Cayley 变换为反对称矩阵#

【历年卷改编：2020–2021 秋冬】

设 $D$ 为实正交矩阵，且 $D+E$ 可逆。矩阵方程

D(E+X)=E-X

有唯一解。证明该解 $X$ 为实反对称矩阵。

证明

展开方程：

D+DX=E-X.

所以

(D+E)X=E-D.

由于 $D+E$ 可逆，唯一解为

X=(D+E)^{-1}(E-D).

因为 $D$ 与 $D+E$ 以及 $(D+E)^{-1}$ 均可交换，也可写为

X=(E-D)(E+D)^{-1}.

利用 $D^T=D^{-1}$ ，

X^T =(E-D^T)(E+D^T)^{-1} =(E-D^{-1})(E+D^{-1})^{-1}.

注意

E-D^{-1}=-D^{-1}(E-D),

E+D^{-1}=D^{-1}(E+D).

故

(E+D^{-1})^{-1}=(E+D)^{-1}D.

于是

X^T =-D^{-1}(E-D)(E+D)^{-1}D.

由于这些矩阵均为 $D$ 的有理函数，彼此可交换，因此

X^T=-(E-D)(E+D)^{-1}=-X.

故 $X$ 是反对称矩阵。

B2-8 $XY$ 与 $YX$ 有相同的特征多项式#

【历年卷改编：2016–2017 春夏】

设 $X,Y$ 为同阶方阵。证明 $XY$ 与 $YX$ 有相同的特征多项式，并由此证明

AB+B

与

BA+B

有相同的特征值。

证明

先证明 Sylvester 行列式恒等式：

|E+UV|=|E+VU|.

考虑分块矩阵

M=\begin{pmatrix} E&U\\ -V&E \end{pmatrix}.

分别利用左上角与右下角单位块作分块消元，可得到

|M|=|E+VU|,

同时也有

|M|=|E+UV|.

故恒等式成立。

对任意 $\lambda\ne0$ ，有

|\lambda E-XY| =\lambda^n\left|E-\frac1\lambda XY\right|.

利用上述恒等式，

\left|E-\frac1\lambda XY\right| =\left|E-\frac1\lambda YX\right|.

因此

|\lambda E-XY| =|\lambda E-YX|.

两边都是关于 $\lambda$ 的多项式，并且在无穷多个 $\lambda\ne0$ 上相等，所以恒等成立。故 $XY$ 与 $YX$ 有相同特征多项式。

令

X=A+E, \qquad Y=B.

则

XY=(A+E)B=AB+B,

YX=B(A+E)=BA+B.

因此二者有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。

最后速记#

1. 方程组、秩与向量组#

AX=b\text{ 有解} \iff r(A)=r(A,b).

\dim N(A)=n-r(A).

b\in\operatorname{Col}(A) \iff AX=b\text{ 有解}.

若 $X_0$ 是非齐次方程组的一个特解，则

X=X_0+N(A).

若 $X_i$ 都是 $AX=b$ 的解且 $b\ne0$ ，则

\sum k_iX_i\text{ 是解} \iff\sum k_i=1.

2. 矩阵与行列式#

(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.

(AB)^T=B^TA^T.

|AB|=|A||B|.

A^*=|A|A^{-1}\quad(A\text{ 可逆}).

r(AB)\le\min\{r(A),r(B)\}.

r(AB)\ge r(A)+r(B)-n

其中 $n$ 为乘积的中间维数。

3. 基、坐标与正交#

若

(\beta)=(\alpha)P,

则

[x]_\alpha=P[x]_\beta, \qquad [x]_\beta=P^{-1}[x]_\alpha.

正交矩阵：

Q^TQ=E, \qquad Q^{-1}=Q^T, \qquad |Q|=\pm1.

Schmidt 正交化：

\beta_k =\alpha_k- \sum_{j=1}^{k-1} \frac{(\alpha_k,\beta_j)}{(\beta_j,\beta_j)}\beta_j.

4. 特征值与相似对角化#

A\alpha=\lambda\alpha, \qquad |\lambda E-A|=0.

若 $B=P^{-1}AP$ ，则 $A,B$ 有相同的：

特征多项式；
特征值；
行列式；
迹；
秩。

A\text{ 可对角化} \iff A\text{ 有 }n\text{ 个线性无关特征向量}.

实对称矩阵一定能正交对角化：

Q^TAQ=\operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots,\lambda_n).

5. 二次型#

f(X)=X^TAX,

其中 $A$ 取实对称矩阵。交叉项 $2a_{ij}x_ix_j$ 对应矩阵元素 $a_{ij}$ 。

变量替换 $X=CY$ 后：

f=Y^TC^TACY.

合同变换保持：

秩；
正惯性指数；
负惯性指数。

正定的 Sylvester 判别：

\Delta_1>0,\quad\Delta_2>0,\quad\cdots,\quad\Delta_n>0.

负定判别：

(-1)^k\Delta_k>0, \qquad k=1,\ldots,n.

WARNING
最后排雷

非齐次方程组的解集通常不是子空间；

“半正定”按定义包含正定，连续设空时要看题目是否要求临界情形；

过渡矩阵与坐标变换方向相反；

相似用 $P^{-1}AP$ ，合同用 $C^TAC$ ；

求三阶特征多项式时，先观察哪一行或哪一列零最多，再按行列式直接展开；

重特征值能否对角化，要比较几何重数与代数重数；

正交对角化中的 $P$ 必须由单位正交特征向量组成。

题目来源使用说明#

本笔记的内容筛选依据为：

2024–2025 春夏卷的填空题结构与知识点分布；
教材第 1–6 章的例题、习题和核心定理；
2016–2022 历年卷中可迁移到新题型的计算与证明方法；
复习大纲中列出的第一优先级内容：方程组解结构、向量组与秩、子空间与坐标、特征值与对角化、二次型与正定性。

旧卷中的超长计算和偏技巧题已主动压缩；保留的是能够改造成当前“短填空 + 单证明”形式的核心方法。

概述#

目录#

第一部分：填空题#

A1 行列式、矩阵运算与逆矩阵#

A1-1 Vandermonde 型行列式#

A1-2 “单位阵 + 秩一矩阵”型行列式#

A1-3 伴随矩阵的行列式与逆#

A1-4 利用矩阵多项式构造逆矩阵#

A1-5 分块上三角矩阵#

A1-6 初等矩阵与行、列变换#

A1-7 矩阵方程中的因式分解#

A1-8 由矩阵方程直接求逆#

A2 矩阵的秩与线性方程组#

A2-1 含两个参数的方程组分类#

A2-2 秩与解空间维数#

A2-3 由多个非齐次解写通解#

A2-4 非齐次解的仿射组合#

A2-5 同解齐次方程组#

A2-6 乘积矩阵秩的上下界#

A2-7 哪些线性组合仍为非齐次解#

A2-8 幂零条件对秩的限制#

A3 向量组、子空间、基与维数#

A3-1 含参数向量组的线性表示#

A3-2 极大线性无关组与秩#

A3-3 非齐次解集何时为子空间#

A3-4 矩阵空间的子空间#

A3-5 多项式子空间#

A3-6 子空间的和与交#

A3-7 扩充为一组基#

A3-8 向量组关系空间的维数#

A4 坐标变换、内积与正交#

A4-1 过渡矩阵#

A4-2 利用过渡矩阵变换坐标#

A4-3 在两组基下坐标相同#

A4-4 Schmidt 正交化#

A4-5 求正交补#

A4-6 正交投影#

A4-7 基下的度量矩阵#

A4-8 正交矩阵的逆与行列式#

A5 特征值、相似与对角化#

A5-1 直接展开特征多项式#

A5-2 秩一矩阵的特征值#

A5-3 矩阵多项式的特征值#

A5-4 含参数矩阵的可对角化条件#

A5-5 求对角化矩阵 PPP#

A5-6 由正交特征向量恢复实对称矩阵#

A5-7 幂零矩阵的逆与特征多项式#

A5-8 分块矩阵的特征值#

A6 二次型、合同与正定性#

A6-1 从二次型写出矩阵#

A6-2 含参数二次型的正定范围#

A6-3 半正定与临界参数#

A6-4 判断负惯性指数#

A6-5 正交变换化标准形#

A6-6 由行列式与迹判断惯性指数#

A6-7 合同矩阵的不变量#

A6-8 对称对合矩阵与二次型#

第二部分：证明题#

B1 秩、方程组与向量空间证明#

B1-1 非齐次方程组解的仿射组合#

B1-2 向量组全部线性关系构成的子空间#

B1-3 线性表示存在且唯一#

B1-4 秩为 rrr 的矩阵的秩一分解#

B1-5 Frobenius 秩不等式#

B1-6 由 AB=0AB=0AB=0 推出秩不等式#

B1-7 两组基之间的过渡矩阵必可逆#

B1-8 受约束像空间的维数#

B2 特征值、正交矩阵与二次型证明#

B2-1 保持长度的矩阵是正交矩阵#

B2-2 半正定矩阵的扰动判别#

B2-3 对称矩阵与反对称矩阵的可逆性#

B2-4 正定矩阵乘实对称矩阵可对角化#

B2-5 行列式为负的实对称矩阵必取负值#

B2-6 对称对合矩阵的惯性指数#

B2-7 正交矩阵的 Cayley 变换为反对称矩阵#

B2-8 XYXYXY 与 YXYXYX 有相同的特征多项式#

最后速记#

1. 方程组、秩与向量组#

2. 矩阵与行列式#

3. 基、坐标与正交#

A5-5 求对角化矩阵 $P$ #

B1-4 秩为 $r$ 的矩阵的秩一分解#

B1-6 由 $AB=0$ 推出秩不等式#

B2-8 $XY$ 与 $YX$ 有相同的特征多项式#