LinearAlgebra-Chapter4：线性空间、线性相关性与欧氏空间

概述#

这一章的核心主线是：

先给 $\mathbb R^n$ 中的向量建立“加法与数乘”的线性结构，再研究向量之间是否存在冗余关系，随后用少量基向量表示整个空间，最后加入内积结构，讨论长度、夹角与正交。

知识链条：

线性空间：向量可以相加、可以数乘。
线性表示：一个向量能否由一组向量组合得到。
线性相关性：一组向量中是否存在冗余。
极大线性无关组与秩：保留最多的独立信息。
基与维数：用有限个向量唯一表示整个空间。
子空间：大空间中仍保持线性结构的部分。
线性方程组的解结构：用基础解系表示无穷多个解。
欧氏空间：加入内积后，定义长度、夹角和正交。
Schmidt 正交化：把普通基改造成标准正交基。

WARNING
教学范围说明#
根据课堂录音，老师对本章范围作了以下限定：

第 4.1 节只要求掌握具体的 $\mathbb R^n$ ，教材中的一般抽象线性空间及 $P_n$ 、 $C_n$ 等例子不作重点。

第 4.7 节明确不讲。

第 4.9、4.10 节明确不讲。

第 4.8 节以 $\mathbb R^n$ 上的内积、正交、标准正交基和 Schmidt 正交化为重点。

教材例 4.8.8 的度量矩阵存在印刷错误：老师要求把相应的右下角元素 $4$ 改为 $6$ ，否则不满足正定性。

4.1 线性空间#

$\mathbb R^n$ 中的向量#

定义

\mathbb R^n = \left\{ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix} \middle| x_i\in\mathbb R \right\}.

其中的元素称为 $n$ 元向量。

对

\alpha= \begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}, \qquad \beta= \begin{bmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{bmatrix}, \qquad k\in\mathbb R,

定义向量加法和数乘：

\alpha+\beta = \begin{bmatrix} x_1+y_1\\ \vdots\\ x_n+y_n \end{bmatrix}, \qquad k\alpha = \begin{bmatrix} kx_1\\ \vdots\\ kx_n \end{bmatrix}.

线性空间的八条性质#

对任意 $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb R^n$ 和 $k,l\in\mathbb R$ ：

$\alpha+\beta=\beta+\alpha$ ；
$(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$ ；
存在零向量 $\mathbf 0$ ，使 $\alpha+\mathbf 0=\alpha$ ；
每个 $\alpha$ 都存在负向量 $-\alpha$ ，使 $\alpha+(-\alpha)=\mathbf 0$ ；
$(kl)\alpha=k(l\alpha)$ ；
$1\alpha=\alpha$ ；
$(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$ ；
$k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$ 。

$\mathbb R^n$ 具有上述线性结构，因此称为一个线性空间，也称 $n$ 元向量空间。

TIP
“空间”可以理解为：

在一个集合上添加某种运算或结构，使集合中的元素能够相互联系。

例如：

加法、数乘构成线性结构；

再定义距离，可得到距离空间；

再定义内积，可得到欧氏空间。

课堂范围#

老师强调，本课程中看到教材的一般线性空间 $V$ 时，可以优先把它理解为具体的 $\mathbb R^n$ 。

教材第 4.1 节中其他抽象例子不作为本课程重点。

4.2 向量的线性相关性#

向量组与线性组合#

$\mathbb R^n$ 中的 $s$ 个向量

\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s

称为一个 向量组。

向量组不是集合，因此：

向量的先后次序可以保留；
其中允许出现相同向量。

对任意 $k_1,\ldots,k_s\in\mathbb R$ ，向量

k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s

称为向量组 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 的一个 线性组合。

线性表示#

若存在 $k_1,\ldots,k_s\in\mathbb R$ ，使

\beta=k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s,

则称 $\beta$ 可以由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 线性表示。

把向量按列组成矩阵

A=[\alpha_1\ \alpha_2\ \cdots\ \alpha_s], \qquad K= \begin{bmatrix} k_1\\ \vdots\\ k_s \end{bmatrix},

则线性表示问题等价于线性方程组

AK=\beta.

因此：

\beta\text{ 可由 }\alpha_1,\ldots,\alpha_s\text{ 线性表示} \iff r(A)=r(A,\beta).

TIP
零向量总可以由任意向量组线性表示：
$\mathbf 0=0\alpha_1+\cdots+0\alpha_s.$
这里使用的是全为零的系数。

线性相关与线性无关#

若存在一组 不全为零 的数 $k_1,\ldots,k_s$ ，使

k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=\mathbf 0,

则称向量组 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 线性相关。

若上式只能推出

k_1=k_2=\cdots=k_s=0,

则称向量组 线性无关。

把向量按列组成矩阵 $A=[\alpha_1\ \cdots\ \alpha_s]$ ，则

k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=\mathbf 0

等价于齐次线性方程组

AK=\mathbf 0.

所以：

线性相关 $\iff AK=\mathbf 0$ 有非零解；
线性无关 $\iff AK=\mathbf 0$ 只有零解。

WARNING
线性表示与线性相关中的系数条件不同：

“ $\beta$ 可被表示”只要求存在一组系数；

“向量组线性相关”要求存在一组 不全为零 的系数，使线性组合等于零向量。

用矩阵的秩判断#

设

A=[\alpha_1\ \alpha_2\ \cdots\ \alpha_s].

则：

\alpha_1,\ldots,\alpha_s\text{ 线性无关} \iff r(A)=s,

\alpha_1,\ldots,\alpha_s\text{ 线性相关} \iff r(A)<s.

原因是 $A$ 有 $s$ 列，齐次方程 $AK=\mathbf 0$ ：

当 $r(A)=s$ 时，没有自由变量，只有零解；
当 $r(A)<s$ 时，有自由变量，存在非零解。

课堂例：判断向量是否可被表示#

设

A=[\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3\ \alpha_4].

若行化简后得到

r(A)=3, \qquad r([\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3])=2,

则

r([\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3]) \ne r([\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3\ \alpha_4]),

因此 $\alpha_4$ 不能由 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性表示。

判断方法始终是：

把用于表示的向量放在系数矩阵中；
把目标向量作为增广列；
比较系数矩阵与增广矩阵的秩。

课堂例：构造新的线性无关组#

设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，令

\beta_1=\alpha_1+\alpha_2, \qquad \beta_2=\alpha_2+\alpha_3, \qquad \beta_3=\alpha_3+\alpha_1.

证明 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 线性无关。

设

k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=\mathbf 0.

代入：

k_1(\alpha_1+\alpha_2) +k_2(\alpha_2+\alpha_3) +k_3(\alpha_3+\alpha_1) =\mathbf 0.

整理同类向量：

(k_1+k_3)\alpha_1 +(k_1+k_2)\alpha_2 +(k_2+k_3)\alpha_3 =\mathbf 0.

因为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，所以

\begin{cases} k_1+k_3=0,\\ k_1+k_2=0,\\ k_2+k_3=0. \end{cases}

系数矩阵的行列式为

\begin{vmatrix} 1&0&1\\ 1&1&0\\ 0&1&1 \end{vmatrix} =2\ne0,

故

k_1=k_2=k_3=0.

因此 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 线性无关。

常用结论#

单个向量#

单个向量 $\alpha$ ：

\alpha\text{ 线性无关} \iff \alpha\ne\mathbf 0.

两个向量#

两个向量 $\alpha,\beta$ ：

\alpha,\beta\text{ 线性相关} \iff \alpha,\beta\text{ 成比例}.

在 $\mathbb R^2$ 或 $\mathbb R^3$ 中，其几何意义是两向量共线。

含有零向量#

只要向量组中含有零向量，该向量组一定线性相关。

因为

1\mathbf 0+0\alpha_2+\cdots+0\alpha_s=\mathbf 0

给出了一组不全为零的系数。

向量个数超过维数#

$\mathbb R^n$ 中任意 $s>n$ 个向量必线性相关。

因为对应矩阵最多秩为 $n$ ：

r(A)\le n<s.

整体与部分#

整体线性无关 $\Rightarrow$ 任意部分组线性无关；
某个部分组线性相关 $\Rightarrow$ 整体线性相关；
整体线性相关时，某些部分组仍可能线性无关。

4.3 极大线性无关组与向量组的秩#

线性相关的等价刻画#

设向量组

\alpha_1,\ldots,\alpha_s,\qquad s\ge2.

则：

\alpha_1,\ldots,\alpha_s\text{ 线性相关}

的充要条件是：

至少有一个向量可以由其余向量线性表示。

证明思路#

若线性相关，则存在不全为零的 $k_i$ ，使

k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=\mathbf 0.

设 $k_i\ne0$ ，则

\alpha_i = -\sum_{j\ne i}\frac{k_j}{k_i}\alpha_j.

反过来，如果某个向量能由其余向量表示，把所有项移到一边，即得到一个系数不全为零的零线性组合。

老师说明：该结论需要理解，但在本课程后续证明中使用频率低于下面几个定理。

线性表示的唯一性#

设

\alpha_1,\ldots,\alpha_s

线性无关，则对任意向量 $\beta$ ：

\alpha_1,\ldots,\alpha_s,\beta\text{ 线性相关}

的充要条件是：

\beta\text{ 可由 }\alpha_1,\ldots,\alpha_s\text{ 唯一线性表示}.

即存在唯一的 $k_1,\ldots,k_s$ ，使

\beta=k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s.

唯一性的证明#

若

\beta=k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s =t_1\alpha_1+\cdots+t_s\alpha_s,

两式相减：

(k_1-t_1)\alpha_1+\cdots+(k_s-t_s)\alpha_s=\mathbf 0.

由线性无关性：

k_i-t_i=0,

故 $k_i=t_i$ 。

TIP
这是本章最重要的结果之一：

“无关组加一个向量后相关”意味着新加入的向量能由原无关组唯一表示。

向量个数比较定理#

设向量组

\alpha_1,\ldots,\alpha_r

中的每一个向量都可由

\beta_1,\ldots,\beta_s

线性表示。

若

r>s,

则 $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ 必线性相关。

其常用逆否形式为：

若 $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ 线性无关，并且它们都可由 $\beta_1,\ldots,\beta_s$ 线性表示，则
$r\le s.$

这一定理专门用于比较两个向量组所含向量的个数。

向量组等价#

若两个向量组能够相互线性表示，则称它们等价。

即：

每个 $\alpha_i$ 都可由 $\beta_1,\ldots,\beta_s$ 表示；
每个 $\beta_j$ 都可由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ 表示。

等价关系具有：

自反性；
对称性；
传递性。

若两个等价向量组都线性无关，则它们所含向量个数相同。

证明时对两个方向分别应用“向量个数比较定理”：

r\le s,\qquad s\le r,

所以 $r=s$ 。

极大线性无关组#

设

\alpha_1,\ldots,\alpha_s

为一个向量组，其中的部分组

\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}

满足：

$\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}$ 线性无关；
原向量组中任意再加入一个向量后，所得向量组都线性相关；

则称该部分组为原向量组的一个 极大线性无关组。

“极大”表示：

在原向量组内部已经无法继续加入向量并保持线性无关。

等价定义：

$\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}$ 线性无关；
原向量组中的每个向量都可由它们线性表示。

第二种定义在证明和计算中更常用。

WARNING
“极大线性无关组”中的“极大”是不能继续扩充，不表示向量的长度最大，也不表示只有唯一一组。
同一向量组通常可以有多个不同的极大线性无关组。

极大线性无关组的求法#

设

A=[\alpha_1\ \alpha_2\ \cdots\ \alpha_s].

对 $A$ 只做初等行变换，化为行阶梯形矩阵。

若阶梯头位于第

i_1,i_2,\ldots,i_r

列，则

\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\ldots,\alpha_{i_r}

构成原向量组的一个极大线性无关组。

WARNING
必须回到 原矩阵 中取对应列。
行变换后的列向量一般已经改变，不能直接把化简后矩阵的列作为原向量组的极大无关组。

课堂例：由阶梯头寻找极大无关组#

设

A=[\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3\ \alpha_4].

行化简后，阶梯头位于第 $1,2,4$ 列，则

\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4

构成一个极大线性无关组。

课堂进一步说明：

$\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4$ 也可能构成极大线性无关组；
$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 也可能构成极大线性无关组；
$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 若自身线性相关，就不能构成极大线性无关组。

因此极大线性无关组一般不唯一。

向量组的秩#

同一向量组的任意两个极大线性无关组所含向量个数相同。

把这个公共个数定义为该向量组的秩：

r(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)=r.

因此：

\text{向量组的秩} = \text{任一极大线性无关组所含向量个数}.

若

A=[\alpha_1\ \cdots\ \alpha_s],

则

r(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)=r(A).

常用性质：

向量组与它的任一极大线性无关组等价；
同一向量组的任意两个极大线性无关组等价；
等价向量组的秩相等；
两个向量组秩相等，不能直接推出它们等价；
线性无关组的秩等于其向量个数；
线性相关组的秩小于其向量个数。

4.4 基、维数与坐标#

基与维数#

线性空间 $\mathbb R^n$ 中的向量组

\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r

若满足：

线性无关；
$\mathbb R^n$ 中任意向量都可由它们线性表示；

则称其为 $\mathbb R^n$ 的一组基。

基中所含向量的个数称为空间的维数：

\dim \mathbb R^n=n.

$\mathbb R^n$ 的常用基为

e_1= \begin{bmatrix} 1\\0\\\vdots\\0 \end{bmatrix}, \quad e_2= \begin{bmatrix} 0\\1\\\vdots\\0 \end{bmatrix}, \quad\ldots,\quad e_n= \begin{bmatrix} 0\\0\\\vdots\\1 \end{bmatrix}.

$\mathbb R^n$ 中判断一组基#

$\mathbb R^n$ 中恰有 $n$ 个向量

\alpha_1,\ldots,\alpha_n

时，下列条件等价：

它们构成 $\mathbb R^n$ 的一组基；
它们线性无关；
$r([\alpha_1\ \cdots\ \alpha_n])=n$ ；
$\det[\alpha_1\ \cdots\ \alpha_n]\ne0$ 。

因此在 $\mathbb R^n$ 中判断 $n$ 个向量是否构成一组基，最直接的方法是计算它们构成方阵的行列式。

坐标#

设

\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n

是 $\mathbb R^n$ 的一组基。

任意 $\alpha\in\mathbb R^n$ 可以唯一表示为

\alpha=x_1\varepsilon_1+\cdots+x_n\varepsilon_n.

列向量

X= \begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}

称为 $\alpha$ 在基 $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$ 下的坐标。

写成矩阵形式：

\alpha = [\varepsilon_1\ \varepsilon_2\ \cdots\ \varepsilon_n]X.

TIP
一个具体列向量的分量，默认是它在常用基下的坐标。
更换基后，同一个向量的坐标一般会改变。

基变换与坐标变换#

设 $\mathbb R^n$ 中有两组基：

\mathcal E=(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n),

\mathcal E'=(\varepsilon'_1,\ldots,\varepsilon'_n).

若

[\varepsilon'_1\ \cdots\ \varepsilon'_n] = [\varepsilon_1\ \cdots\ \varepsilon_n]M,

则称 $M$ 为从基 $\mathcal E$ 到基 $\mathcal E'$ 的 过渡矩阵。

其中 $M$ 的第 $j$ 列就是 $\varepsilon'_j$ 在旧基 $\mathcal E$ 下的坐标。

若向量 $\alpha$ 在两组基下的坐标分别为 $X$ 和 $X'$ ，则

\alpha=[\varepsilon_1\ \cdots\ \varepsilon_n]X

且

\alpha=[\varepsilon'_1\ \cdots\ \varepsilon'_n]X'.

代入基变换公式：

\alpha = [\varepsilon_1\ \cdots\ \varepsilon_n]MX'.

由坐标唯一性：

X=MX',

因此

X'=M^{-1}X.

WARNING
方向必须分清：

基的变换： $[\mathcal E']=[\mathcal E]M$ ；

坐标的变换： $X'=M^{-1}X$ 。

基乘 $M$ ，坐标乘 $M^{-1}$ 。

过渡矩阵的计算#

记

A=[\varepsilon_1\ \cdots\ \varepsilon_n], \qquad B=[\varepsilon'_1\ \cdots\ \varepsilon'_n].

由

B=AM

得

M=A^{-1}B.

实际计算时可将

[A\mid B]

作初等行变换：

[A\mid B]\longrightarrow[I\mid M].

课堂例：基变换与坐标变换#

在 $\mathbb R^3$ 中给定两组基

\mathcal E: \quad \varepsilon_1= \begin{bmatrix} 1\\2\\1 \end{bmatrix}, \quad \varepsilon_2= \begin{bmatrix} 2\\3\\3 \end{bmatrix}, \quad \varepsilon_3= \begin{bmatrix} 3\\7\\3 \end{bmatrix},

\mathcal E': \quad \varepsilon'_1= \begin{bmatrix} 9\\24\\-1 \end{bmatrix}, \quad \varepsilon'_2= \begin{bmatrix} 8\\22\\-2 \end{bmatrix}, \quad \varepsilon'_3= \begin{bmatrix} 12\\28\\4 \end{bmatrix}.

求得过渡矩阵

M= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 2&-2&0\\ 4&4&-1 \end{bmatrix}.

若 $\alpha$ 在基 $\mathcal E$ 下的坐标为

X= \begin{bmatrix} 0\\1\\-1 \end{bmatrix},

则在基 $\mathcal E'$ 下的坐标为

X'=M^{-1}X = \begin{bmatrix} 0\\-\frac12\\\frac14 \end{bmatrix}.

4.5 子空间#

子空间的定义#

设 $W$ 是 $\mathbb R^n$ 的非空子集。

若 $W$ 对 $\mathbb R^n$ 中的加法和数乘封闭，即：

对任意 $\alpha,\beta\in W$ ，有 $\alpha+\beta\in W$ ；
对任意 $\alpha\in W$ 、 $k\in\mathbb R$ ，有 $k\alpha\in W$ ；

则称 $W$ 是 $\mathbb R^n$ 的一个 子空间。

也可以合并为一个判定条件：

\forall\alpha,\beta\in W,\ \forall k,l\in\mathbb R, \qquad k\alpha+l\beta\in W.

子空间一定包含零向量#

因为 $W$ 非空，取 $\alpha\in W$ ，由数乘封闭性：

0\alpha=\mathbf 0\in W.

同理：

-\alpha=(-1)\alpha\in W.

因此子空间自动继承线性空间的八条运算性质。

WARNING
仅仅是 $\mathbb R^n$ 的非空子集，还不能称为子空间。
例如
$W=\left\{ \begin{bmatrix} x\\1 \end{bmatrix} \middle| x\in\mathbb R \right\}$
对加法和数乘都不封闭，因此不是 $\mathbb R^2$ 的子空间。

常见子空间#

例 1：过原点的坐标平面#

设

W= \left\{ \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\0 \end{bmatrix} \middle| x_1,x_2\in\mathbb R \right\}.

任取

\alpha= \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\0 \end{bmatrix}, \qquad \beta= \begin{bmatrix} y_1\\y_2\\0 \end{bmatrix},

则

\alpha+\beta= \begin{bmatrix} x_1+y_1\\x_2+y_2\\0 \end{bmatrix}\in W,

且

k\alpha= \begin{bmatrix} kx_1\\kx_2\\0 \end{bmatrix}\in W.

因此 $W$ 是 $\mathbb R^3$ 的子空间。

又因为

\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\0 \end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix},

故

\left\{ \begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix} \right\}

是 $W$ 的一组基，并且

\dim W=2.

例 2：平凡子空间#

\{\mathbf 0\}, \qquad \mathbb R^n

都是 $\mathbb R^n$ 的子空间。

其中

\dim\{\mathbf 0\}=0, \qquad \dim\mathbb R^n=n.

例 3：齐次方程组的解空间#

设

A\in\mathbb R^{m\times n},

定义

W=\{X\in\mathbb R^n\mid AX=\mathbf 0\}.

若 $X_1,X_2\in W$ ，则

AX_1=\mathbf 0, \qquad AX_2=\mathbf 0.

因此

A(X_1+X_2)=AX_1+AX_2=\mathbf 0,

且

A(kX_1)=kAX_1=\mathbf 0.

所以齐次线性方程组的全体解构成 $\mathbb R^n$ 的一个子空间，称为 解空间。

向量组生成的子空间#

设 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s\in\mathbb R^n$ ，所有线性组合的全体

L(\alpha_1,\ldots,\alpha_s) = \left\{ k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s \middle| k_i\in\mathbb R \right\}

构成 $\mathbb R^n$ 的一个子空间。

称它为由 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 生成的子空间，也称张成空间。

加法封闭性：

\sum_{i=1}^s k_i\alpha_i+\sum_{i=1}^s t_i\alpha_i = \sum_{i=1}^s(k_i+t_i)\alpha_i.

数乘封闭性：

c\sum_{i=1}^s k_i\alpha_i = \sum_{i=1}^s(ck_i)\alpha_i.

生成空间的重要性质#

两个向量组生成相同子空间的充要条件是它们等价：

L(\alpha_1,\ldots,\alpha_s) = L(\beta_1,\ldots,\beta_t)

\iff \alpha_1,\ldots,\alpha_s \text{ 与 } \beta_1,\ldots,\beta_t \text{ 等价}.

设

\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}

是 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 的一个极大线性无关组，则

\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_r}

构成 $L(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)$ 的一组基。

因此：

\dim L(\alpha_1,\ldots,\alpha_s) = r(\alpha_1,\ldots,\alpha_s).

所以求生成空间的基和维数，本质上就是：

求原向量组的一个极大线性无关组；
极大无关组就是生成空间的一组基；
极大无关组中的向量个数就是维数。

子空间的包含关系与维数#

设 $W_1,W_2$ 都是有限维子空间。

若

W_1\subseteq W_2,

则

\dim W_1\le\dim W_2.

原因是 $W_1$ 的任一组基在 $W_2$ 中仍线性无关，其向量个数不能超过 $W_2$ 的维数。

进一步：

W_1=W_2

的充要条件是

W_1\subseteq W_2 \quad\text{且}\quad \dim W_1=\dim W_2.

特殊地，若 $W\subseteq\mathbb R^n$ ，则

W=\mathbb R^n \iff \dim W=n.

4.6 矩阵的秩与线性方程组的解结构#

矩阵的行秩、列秩与秩#

设

A=[\alpha_1\ \alpha_2\ \cdots\ \alpha_n] \in\mathbb R^{m\times n}.

矩阵各列构成的向量组的秩称为 $A$ 的列秩。

矩阵各行转置后构成的向量组的秩称为 $A$ 的行秩。

定理：

\boxed{ \text{矩阵的秩} = \text{列秩} = \text{行秩} }

列秩等于矩阵秩的思路#

把 $A$ 行化简为行阶梯形矩阵。

若有 $r$ 个阶梯头，则：

阶梯头所在的原矩阵列构成一个极大线性无关组；
列向量组的秩为 $r$ ；
行阶梯形中有 $r$ 个非零行，所以矩阵秩也为 $r$ 。

故列秩等于矩阵秩。

行秩可利用

r(A^T)=r(A)

得到。

齐次线性方程组#

考虑

AX=\mathbf 0, \qquad A\in\mathbb R^{m\times n}.

设

r(A)=r.

情形 1： $r=n$ #

没有自由变量，方程组只有零解：

X=\mathbf 0.

解空间为

W=\{\mathbf 0\},

且

\dim W=0.

情形 2： $r<n$ #

有

n-r

个自由变量，因此有无穷多个解。

把自由变量依次取为单位参数，可得到 $n-r$ 个线性无关的解向量

\xi_1,\ldots,\xi_{n-r}.

它们构成解空间的一组基，称为该齐次线性方程组的 基础解系。

通解为

X=t_1\xi_1+\cdots+t_{n-r}\xi_{n-r}, \qquad t_i\in\mathbb R.

因此：

\boxed{ \dim\ker A=n-r(A) }

也就是：

\boxed{ \text{基础解系所含解向量个数} = \text{未知数个数}-\text{系数矩阵的秩} }

这就是秩—零化度关系在本课程中的具体形式。

课堂例 4.6.1：用基础解系表示齐次方程组通解#

某齐次方程组有 $5$ 个未知数，系数矩阵秩为 $3$ 。

化为最简行阶梯形后，可写为

\begin{cases} x_1=-x_3+6x_5,\\ x_2=-\dfrac52x_5,\\ x_4=3x_5. \end{cases}

令

x_3=t_1, \qquad x_5=t_2,

则

X= \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5 \end{bmatrix} = t_1 \begin{bmatrix} -1\\0\\1\\0\\0 \end{bmatrix} + t_2 \begin{bmatrix} 6\\-\frac52\\0\\3\\1 \end{bmatrix}.

因此基础解系可以取为

\xi_1= \begin{bmatrix} -1\\0\\1\\0\\0 \end{bmatrix}, \qquad \xi_2= \begin{bmatrix} 6\\-\frac52\\0\\3\\1 \end{bmatrix}.

解空间维数为

5-3=2.

TIP
求基础解系的固定流程：

行化简至最简行阶梯形；

找出自由变量；

写出含自由参数的通解；

按每个参数分别收集系数；

得到的参数系数向量就是基础解系。

非齐次线性方程组#

考虑

AX=b.

有解条件#

AX=b\text{ 有解} \iff r(A)=r(A,b).

解的个数#

若方程组有解：

当 $r(A)=n$ 时，解唯一；
当 $r(A)<n$ 时，有无穷多个解。

非齐次解与齐次解的关系#

设 $X^*$ 是 $AX=b$ 的一个特解， $\xi_1,\ldots,\xi_{n-r}$ 是导出齐次方程组

AX=\mathbf 0

的基础解系。

则非齐次方程组的全部解为

\boxed{ X=X^* +t_1\xi_1+\cdots+t_{n-r}\xi_{n-r} }

原因：

若 $AX=b$ 且 $AX^*=b$ ，则 $A(X-X^*)=\mathbf 0;$
若 $A\xi=\mathbf 0$ ，则 $A(X^*+\xi)=b.$

所以非齐次方程组的解集是：

一个特解，加上导出齐次方程组的解空间。

非齐次解集一般不是子空间，因为它通常不包含零向量。

课堂例 4.6.2：非齐次方程组的解结构#

与上一题具有相同系数矩阵，化简后可写为

\begin{cases} x_1=-4-x_3+6x_5,\\ x_2=-2-\dfrac52x_5,\\ x_4=3x_5. \end{cases}

令

x_3=t_1,\qquad x_5=t_2,

则

X= \begin{bmatrix} -4\\-2\\0\\0\\0 \end{bmatrix} +t_1 \begin{bmatrix} -1\\0\\1\\0\\0 \end{bmatrix} +t_2 \begin{bmatrix} 6\\-\frac52\\0\\3\\1 \end{bmatrix}.

其中

X^*= \begin{bmatrix} -4\\-2\\0\\0\\0 \end{bmatrix}

是一个特解，后面两个向量正是导出齐次方程组的基础解系。

利用解空间证明秩的结论#

老师强调，本节的证明题常用以下思路：

为待比较的矩阵构造齐次线性方程组；
把它们的解集记为子空间 $W_1,W_2$ ；
证明解空间之间的包含关系；
利用 $\dim\ker A=n-r(A)$ 把维数关系转化为秩关系。

结论 1：若 $AB=0$ #

设

A\in\mathbb R^{m\times n}, \qquad B\in\mathbb R^{n\times s}, \qquad AB=0.

$B$ 的每个列向量都满足

AX=\mathbf 0.

因此 $B$ 的列空间包含于 $A$ 的零空间：

\operatorname{Col}(B)\subseteq\ker A.

所以

r(B) = \dim\operatorname{Col}(B) \le \dim\ker A = n-r(A).

即

\boxed{ r(A)+r(B)\le n }.

结论 2：实矩阵满足 $r(A^TA)=r(A)$ #

设

A\in\mathbb R^{m\times n}.

显然：

AX=\mathbf 0 \Rightarrow A^TAX=\mathbf 0.

反过来，若

A^TAX=\mathbf 0,

左乘 $X^T$ ：

X^TA^TAX=0.

即

(AX)^T(AX)=0.

于是

\|AX\|^2=0,

故

AX=\mathbf 0.

因此

\ker(A^TA)=\ker A.

两者未知数个数相同，零空间维数相同，所以

\boxed{ r(A^TA)=r(A) }.

同理：

\boxed{ r(AA^T)=r(A) }.

WARNING
上述证明中必须使用“实矩阵”条件，因为
$(AX)^T(AX)$
被解释为各分量平方和。

结论 3：由秩相等推出乘积秩相等#

设 $A,B,C$ 都是 $n$ 阶矩阵，且

r(A)=r(BA).

因为

\ker A\subseteq\ker(BA),

而二者秩相等，所以零空间维数相等，从而

\ker A=\ker(BA).

若

BACX=\mathbf 0,

令 $Y=CX$ ，则

BAY=\mathbf 0.

由 $\ker A=\ker(BA)$ 得

AY=\mathbf 0,

即

ACX=\mathbf 0.

因此

\ker(BAC)=\ker(AC),

从而

\boxed{ r(BAC)=r(AC) }.

4.8 欧氏空间#

内积#

在 $\mathbb R^n$ 中，若一个二元函数

(\alpha,\beta)\longmapsto \langle\alpha,\beta\rangle

满足下列条件，则称其为 $\mathbb R^n$ 上的一个内积。

1. 对称性#

\langle\alpha,\beta\rangle = \langle\beta,\alpha\rangle.

2. 对第一个变量线性#

\langle k\alpha_1+l\alpha_2,\beta\rangle = k\langle\alpha_1,\beta\rangle +l\langle\alpha_2,\beta\rangle.

结合对称性可得对第二个变量也线性：

\langle\alpha,k\beta_1+l\beta_2\rangle = k\langle\alpha,\beta_1\rangle +l\langle\alpha,\beta_2\rangle.

3. 正定性#

\langle\alpha,\alpha\rangle\ge0,

并且

\langle\alpha,\alpha\rangle=0 \iff \alpha=\mathbf 0.

在线性空间上加入内积结构后，得到 内积空间；有限维实内积空间也称 欧氏空间。

标准内积#

对

\alpha= \begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}, \qquad \beta= \begin{bmatrix} y_1\\ \vdots\\ y_n \end{bmatrix},

定义

\boxed{ \langle\alpha,\beta\rangle = x_1y_1+\cdots+x_ny_n = \alpha^T\beta }.

这称为 $\mathbb R^n$ 上的 标准内积。

若题目没有特别说明，默认使用标准内积。

加权内积#

例如

\langle\alpha,\beta\rangle = x_1y_1+2x_2y_2+\cdots+nx_ny_n

也是一个内积，因为各权重均为正数。

不同内积会给出不同的长度和夹角。

内积的常用性质#

\langle\alpha,\mathbf 0\rangle=0,

\left\langle \sum_i k_i\alpha_i, \sum_j t_j\beta_j \right\rangle = \sum_i\sum_j k_it_j\langle\alpha_i,\beta_j\rangle.

长度与重要不等式#

定义向量 $\alpha$ 的长度或范数：

\boxed{ \|\alpha\| = \sqrt{\langle\alpha,\alpha\rangle} }.

标准内积下：

\|\alpha\| = \sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}.

长度满足：

$\|\alpha\|\ge0$ ，且 $\|\alpha\|=0\iff\alpha=\mathbf 0$ ；
$\|k\alpha\|=|k|\|\alpha\|$ ；
$\|\alpha+\beta\|\le\|\alpha\|+\|\beta\|$ 。

Cauchy–Schwarz 不等式#

\boxed{ |\langle\alpha,\beta\rangle| \le \|\alpha\|\|\beta\| }

等号成立的充要条件是 $\alpha,\beta$ 线性相关。

课堂证明思路#

分两种情况。

若 $\alpha,\beta$ 线性相关，则 $\alpha=t\beta$ ，于是

|\langle\alpha,\beta\rangle| = |t|\langle\beta,\beta\rangle = |t|\|\beta\|^2 = \|\alpha\|\|\beta\|.

若 $\alpha,\beta$ 线性无关，则对任意 $t\in\mathbb R$ ：

\alpha+t\beta\ne\mathbf 0.

由正定性：

\langle\alpha+t\beta,\alpha+t\beta\rangle>0.

展开：

\|\alpha\|^2 +2t\langle\alpha,\beta\rangle +t^2\|\beta\|^2 >0.

这是关于 $t$ 的二次三项式，对所有实数 $t$ 都为正，因此判别式小于零：

4\langle\alpha,\beta\rangle^2 -4\|\alpha\|^2\|\beta\|^2 <0.

从而

|\langle\alpha,\beta\rangle| < \|\alpha\|\|\beta\|.

合并两种情况即得结论。

三角不等式#

\boxed{ \|\alpha+\beta\| \le \|\alpha\|+\|\beta\| }.

老师强调，处理长度的不等式时常用技巧是：

先平方，把长度平方改写为内积，再利用内积的线性性质展开。

证明：

\|\alpha+\beta\|^2 = \langle\alpha+\beta,\alpha+\beta\rangle

= \|\alpha\|^2 +2\langle\alpha,\beta\rangle +\|\beta\|^2

\le \|\alpha\|^2 +2\|\alpha\|\|\beta\| +\|\beta\|^2

= (\|\alpha\|+\|\beta\|)^2.

两边开平方得到结论。

夹角与正交#

对非零向量 $\alpha,\beta$ ，定义夹角 $\theta\in[0,\pi]$ ：

\boxed{ \cos\theta = \frac{\langle\alpha,\beta\rangle} {\|\alpha\|\|\beta\|} }.

Cauchy–Schwarz 不等式保证右侧属于 $[-1,1]$ ，所以定义合理。

正交#

若

\langle\alpha,\beta\rangle=0,

则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交，记作

\alpha\perp\beta.

非零向量之间：

\alpha\perp\beta \iff \theta=\frac{\pi}{2}.

零向量与任意向量都正交，因为

\langle\mathbf 0,\alpha\rangle=0.

勾股定理#

\boxed{ \alpha\perp\beta \iff \|\alpha+\beta\|^2 = \|\alpha\|^2+\|\beta\|^2 }.

因为

\|\alpha+\beta\|^2 = \|\alpha\|^2 +2\langle\alpha,\beta\rangle +\|\beta\|^2.

中间项为零恰好等价于 $\alpha\perp\beta$ 。

正交向量组与标准正交基#

非零向量组

\alpha_1,\ldots,\alpha_s

若满足两两正交：

\langle\alpha_i,\alpha_j\rangle=0, \qquad i\ne j,

则称为 正交向量组。

单个非零向量也可以看作正交向量组。

正交向量组必线性无关#

设

k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=\mathbf 0.

两边与 $\alpha_i$ 作内积：

k_i\langle\alpha_i,\alpha_i\rangle=0.

因为 $\alpha_i\ne\mathbf 0$ ，所以

\langle\alpha_i,\alpha_i\rangle>0.

故

k_i=0.

对所有 $i$ 均成立，因此向量组线性无关。

由此可知：

\mathbb R^n\text{ 中正交向量组所含向量个数不超过 }n.

正交基#

$\mathbb R^n$ 中由 $n$ 个两两正交的非零向量构成的基称为 正交基。

标准正交基#

若正交基中的每个向量长度均为 $1$ ，则称为 标准正交基，也称单位正交基。

把正交基

\alpha_1,\ldots,\alpha_n

单位化：

\eta_i=\frac{\alpha_i}{\|\alpha_i\|},

即可得到标准正交基。

$\mathbb R^n$ 的常用基

e_1,\ldots,e_n

就是标准正交基。

度量矩阵#

设

\mathcal E=(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)

是 $\mathbb R^n$ 的一组基。

定义矩阵

G= \begin{bmatrix} \langle\varepsilon_1,\varepsilon_1\rangle & \cdots & \langle\varepsilon_1,\varepsilon_n\rangle\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \langle\varepsilon_n,\varepsilon_1\rangle & \cdots & \langle\varepsilon_n,\varepsilon_n\rangle \end{bmatrix}.

称 $G$ 为内积在基 $\mathcal E$ 下的 度量矩阵，也称 Gram 矩阵。

若 $\alpha,\beta$ 在该基下的坐标分别为

X= \begin{bmatrix} x_1\\\vdots\\x_n \end{bmatrix}, \qquad Y= \begin{bmatrix} y_1\\\vdots\\y_n \end{bmatrix},

则

\boxed{ \langle\alpha,\beta\rangle=X^TGY }.

度量矩阵的性质#

对称：
$G^T=G;$
正定：
$X^TGX>0 \qquad(X\ne0);$
可逆：
$\det G\ne0.$

标准正交基下：

G=I_n.

反过来，若某组基下的度量矩阵为 $I_n$ ，则该组基是标准正交基。

WARNING
教材例 4.8.8 的度量矩阵印刷有误。
老师在课上指出：相应右下角元素应将 $4$ 改为 $6$ 。使用原数值时可以找到非零坐标向量 $X$ 使
$X^TGX=0,$
违反正定性，因此原矩阵不能作为度量矩阵。

正交矩阵#

若 $n$ 阶实矩阵 $Q$ 满足

\boxed{ Q^TQ=I_n },

则称 $Q$ 为 正交矩阵。

下列条件等价：

Q^TQ=I_n,

QQ^T=I_n,

Q^{-1}=Q^T.

正交矩阵的列向量构成 $\mathbb R^n$ 的一组标准正交基；其行向量也构成标准正交基。

因此，若

Q=[\eta_1\ \eta_2\ \cdots\ \eta_n],

则

\eta_1,\ldots,\eta_n \text{ 是标准正交基} \iff Q\text{ 是正交矩阵}.

判断标准正交基的两种方法#

方法 1：逐个判断#

验证：

\|\eta_i\|=1,

以及

\langle\eta_i,\eta_j\rangle=0 \qquad(i\ne j).

方法 2：整体判断#

构造

Q=[\eta_1\ \cdots\ \eta_n],

验证

Q^TQ=I_n.

第二种方法更适合计算题。

标准正交基的优点#

设

\eta_1,\ldots,\eta_n

是标准正交基，且

\alpha=x_1\eta_1+\cdots+x_n\eta_n.

两边与 $\eta_i$ 作内积：

\langle\alpha,\eta_i\rangle = x_i.

因此坐标可直接得到：

\boxed{ x_i=\langle\alpha,\eta_i\rangle }.

若 $\alpha,\beta$ 在该基下的坐标分别为 $X,Y$ ，则：

内积#

\boxed{ \langle\alpha,\beta\rangle = X^TY = \sum_{i=1}^n x_iy_i }.

长度#

\boxed{ \|\alpha\| = \sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2} }.

夹角#

\boxed{ \cos\theta = \frac{X^TY}{\|X\|\|Y\|} }.

WARNING
只有当两个坐标向量是在 同一组基 下给出时，才能直接对应分量相乘相加。
课堂例 4.8.9 专门强调：

一个向量给的是标准正交基下坐标；

另一个向量给的是常用基下坐标；

此时不能直接点乘，必须先把二者统一到同一组基下。

正交基的扩充#

$\mathbb R^n$ 中任意正交向量组

\alpha_1,\ldots,\alpha_m, \qquad m<n,

都可以扩充为 $\mathbb R^n$ 的一组正交基。

理论构造如下。

取

\beta\notin L(\alpha_1,\ldots,\alpha_m),

令

\alpha_{m+1} = \beta -\sum_{i=1}^m \frac{\langle\beta,\alpha_i\rangle} {\langle\alpha_i,\alpha_i\rangle} \alpha_i.

则

\alpha_{m+1}\perp\alpha_i, \qquad i=1,\ldots,m.

继续重复即可扩充为正交基，最后单位化得到标准正交基。

老师指出：

该方法在理论上保证存在，但实际计算时，寻找一个不属于原生成空间的 $\beta$ 往往不方便。

实际题目中，若要把一个子空间的标准正交基扩充为整个 $\mathbb R^n$ 的标准正交基，通常采用：

解正交条件方程，求原子空间的正交补；
求正交补的一组基础解系；
对该基础解系做 Schmidt 正交化；
单位化后与原标准正交基合并。

Schmidt 正交化#

设

\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n

是 $\mathbb R^n$ 的一组基。

Schmidt 正交化把它改造成一组正交基

\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n.

第一步#

\beta_1=\alpha_1.

第二步#

从 $\alpha_2$ 中减去它在 $\beta_1$ 方向上的投影：

\beta_2 = \alpha_2 - \frac{\langle\alpha_2,\beta_1\rangle} {\langle\beta_1,\beta_1\rangle} \beta_1.

于是

\beta_2\perp\beta_1.

第三步#

从 $\alpha_3$ 中减去它在 $\beta_1,\beta_2$ 方向上的投影：

\beta_3 = \alpha_3 - \frac{\langle\alpha_3,\beta_1\rangle} {\langle\beta_1,\beta_1\rangle}\beta_1 - \frac{\langle\alpha_3,\beta_2\rangle} {\langle\beta_2,\beta_2\rangle}\beta_2.

一般公式#

\boxed{ \beta_k = \alpha_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle\alpha_k,\beta_j\rangle} {\langle\beta_j,\beta_j\rangle} \beta_j }, \qquad k=2,\ldots,n.

所得向量满足：

$\beta_1,\ldots,\beta_n$ 两两正交；
对每个 $k$ ， $L(\alpha_1,\ldots,\alpha_k) = L(\beta_1,\ldots,\beta_k).$

最后单位化：

\eta_i=\frac{\beta_i}{\|\beta_i\|},

即可得到标准正交基

\eta_1,\ldots,\eta_n.

TIP
考试中通常最多要求正交化三个向量。
建议牢牢记住：
$\beta_1=\alpha_1,$ $\beta_2 = \alpha_2 - \frac{\langle\alpha_2,\beta_1\rangle} {\langle\beta_1,\beta_1\rangle}\beta_1,$ $\beta_3 = \alpha_3 - \frac{\langle\alpha_3,\beta_1\rangle} {\langle\beta_1,\beta_1\rangle}\beta_1 - \frac{\langle\alpha_3,\beta_2\rangle} {\langle\beta_2,\beta_2\rangle}\beta_2.$

课堂例 4.8.10：求子空间的标准正交基并扩充#

课堂题型：

给定 $\mathbb R^4$ 中三个向量 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ ，求它们生成子空间的一组标准正交基，并把它扩充为 $\mathbb R^4$ 的标准正交基。

完整流程：

第 1 步：求生成空间的一组基#

构造

A=[\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3].

行化简后若有两个阶梯头，且位于第 $1,2$ 列，则

\alpha_1,\alpha_2

构成原向量组的一个极大线性无关组，因此也是生成空间的一组基。

第 2 步：Schmidt 正交化#

取

\beta_1=\alpha_1,

\beta_2 = \alpha_2 - \frac{\langle\alpha_2,\beta_1\rangle} {\langle\beta_1,\beta_1\rangle}\beta_1.

再单位化：

\eta_1=\frac{\beta_1}{\|\beta_1\|}, \qquad \eta_2=\frac{\beta_2}{\|\beta_2\|}.

则 $\eta_1,\eta_2$ 是该子空间的一组标准正交基。

第 3 步：求正交补#

设

X= \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{bmatrix}.

令

\langle X,\eta_1\rangle=0, \qquad \langle X,\eta_2\rangle=0.

解所得齐次方程组，求出正交补的一组基础解系

\gamma_1,\gamma_2.

第 4 步：对正交补继续正交化#

若 $\gamma_1,\gamma_2$ 尚未正交，则令

\delta_1=\gamma_1,

\delta_2 = \gamma_2 - \frac{\langle\gamma_2,\delta_1\rangle} {\langle\delta_1,\delta_1\rangle}\delta_1.

单位化：

\eta_3=\frac{\delta_1}{\|\delta_1\|}, \qquad \eta_4=\frac{\delta_2}{\|\delta_2\|}.

最终

\eta_1,\eta_2,\eta_3,\eta_4

构成 $\mathbb R^4$ 的一组标准正交基。

本章核心结论速查#

线性相关性#

设

A=[\alpha_1\ \cdots\ \alpha_s].

则

\alpha_1,\ldots,\alpha_s\text{ 线性无关} \iff r(A)=s,

\alpha_1,\ldots,\alpha_s\text{ 线性相关} \iff r(A)<s.

线性表示#

\beta\text{ 可由 }\alpha_1,\ldots,\alpha_s\text{ 表示} \iff r(A)=r(A,\beta).

若 $\alpha_1,\ldots,\alpha_s$ 线性无关，则表示一旦存在就唯一。

极大线性无关组#

对矩阵作行变换；
找阶梯头所在列；
回到原矩阵取对应列。

向量组的秩#

r(\alpha_1,\ldots,\alpha_s) = r([\alpha_1\ \cdots\ \alpha_s]).

基与维数#

$\mathbb R^n$ 中 $n$ 个向量构成基的充要条件：

\det[\alpha_1\ \cdots\ \alpha_n]\ne0.

基变换与坐标变换#

[\mathcal E']=[\mathcal E]M,

X=MX',

X'=M^{-1}X.

生成空间#

\dim L(\alpha_1,\ldots,\alpha_s) = r(\alpha_1,\ldots,\alpha_s).

齐次方程组解空间#

\dim\ker A=n-r(A).

基础解系含 $n-r(A)$ 个解向量。

非齐次方程组#

X=X^*+X_h,

其中 $X^*$ 是一个特解， $X_h$ 是导出齐次方程组的任意解。

内积与长度#

\|\alpha\|=\sqrt{\langle\alpha,\alpha\rangle}.

Cauchy–Schwarz 不等式#

|\langle\alpha,\beta\rangle| \le \|\alpha\|\|\beta\|.

三角不等式#

\|\alpha+\beta\| \le \|\alpha\|+\|\beta\|.

正交#

\alpha\perp\beta \iff \langle\alpha,\beta\rangle=0.

度量矩阵#

若 $X,Y$ 是同一组基下的坐标，则

\langle\alpha,\beta\rangle=X^TGY.

正交矩阵#

Q^TQ=I \iff Q^{-1}=Q^T.

Schmidt 正交化#

\beta_k = \alpha_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle\alpha_k,\beta_j\rangle} {\langle\beta_j,\beta_j\rangle} \beta_j.

概述#

教学范围说明#

目录#

4.1 线性空间#

Rn\mathbb R^nRn 中的向量#

线性空间的八条性质#

课堂范围#

4.2 向量的线性相关性#

向量组与线性组合#

线性表示#

线性相关与线性无关#

用矩阵的秩判断#

课堂例：判断向量是否可被表示#

课堂例：构造新的线性无关组#

常用结论#

单个向量#

两个向量#

含有零向量#

向量个数超过维数#

整体与部分#

4.3 极大线性无关组与向量组的秩#

线性相关的等价刻画#

证明思路#

线性表示的唯一性#

唯一性的证明#

向量个数比较定理#

向量组等价#

极大线性无关组#

极大线性无关组的求法#

课堂例：由阶梯头寻找极大无关组#

向量组的秩#

4.4 基、维数与坐标#

基与维数#

Rn\mathbb R^nRn 中判断一组基#

坐标#

基变换与坐标变换#

过渡矩阵的计算#

课堂例：基变换与坐标变换#

4.5 子空间#

子空间的定义#

子空间一定包含零向量#

常见子空间#

例 1：过原点的坐标平面#

例 2：平凡子空间#

例 3：齐次方程组的解空间#

向量组生成的子空间#

生成空间的重要性质#

子空间的包含关系与维数#

4.6 矩阵的秩与线性方程组的解结构#

矩阵的行秩、列秩与秩#

列秩等于矩阵秩的思路#

齐次线性方程组#

情形 1：r=nr=nr=n#

情形 2：r<nr<nr<n#

课堂例 4.6.1：用基础解系表示齐次方程组通解#

非齐次线性方程组#

有解条件#

解的个数#

非齐次解与齐次解的关系#

课堂例 4.6.2：非齐次方程组的解结构#

利用解空间证明秩的结论#

结论 1：若 AB=0AB=0AB=0#

结论 2：实矩阵满足 r(ATA)=r(A)r(A^TA)=r(A)r(ATA)=r(A)#

结论 3：由秩相等推出乘积秩相等#

4.8 欧氏空间#

内积#

1. 对称性#

2. 对第一个变量线性#

3. 正定性#

标准内积#

加权内积#

内积的常用性质#

长度与重要不等式#

Cauchy–Schwarz 不等式#

课堂证明思路#

三角不等式#

夹角与正交#

正交#

勾股定理#

正交向量组与标准正交基#

$\mathbb R^n$ 中的向量#

$\mathbb R^n$ 中判断一组基#

情形 1： $r=n$ #

情形 2： $r<n$ #

结论 1：若 $AB=0$ #

结论 2：实矩阵满足 $r(A^TA)=r(A)$ #