LinearAlgebra-Chapter5：特征值和特征向量/矩阵对角化

概述#

这一章的核心问题是：

能否通过更换一组基，把一个复杂矩阵化成对角矩阵，从而把矩阵运算转化成对角元素的运算？

若存在可逆矩阵 $P$ ，使

P^{-1}AP=\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n),

则称 $A$ 可对角化。此时：

$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ 是 $A$ 的特征值；
$P$ 的各列是与这些特征值依次对应的特征向量；
$A^k$ 、矩阵多项式 $f(A)$ 等均可借助对角矩阵快速计算；
当 $A$ 为实对称矩阵时，可以进一步选取正交矩阵 $U$ 完成对角化。

本章的主线为：

求特征值；
求各特征值对应的特征子空间；
判断能否选出 $n$ 个线性无关的特征向量；
构造可逆矩阵 $P$ 或正交矩阵 $U$ ；
利用对角化计算矩阵的方幂、矩阵多项式和行列式。

NOTE
教学范围
两次课程完整讲授了教材中的：

5.1 特征值和特征向量

5.2 矩阵对角化

5.3 矩阵相似的理论和应用

5.4 实对称矩阵的对角化

教材 5.5 为全章概要与小结，课堂未将其作为新的知识板块单独讲授，因此本笔记不另设 5.5。
课堂明确略去的证明：

特征子空间维数不超过特征根重数的证明；

任意实对称矩阵均可正交对角化的完整证明。

这两个结论仍需掌握并会使用。

目录#

概述
5.1 特征值和特征向量
5.2 矩阵对角化
5.3 矩阵相似的理论和应用
5.4 实对称矩阵的对角化
课堂综合例题
- 正交矩阵的行列式为负时必有特征值 -1
- 幂等矩阵的行列式计算
全章解题框架
易错点

5.1 特征值和特征向量#

从矩阵对角化引出特征值#

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。若 $A$ 可对角化，则存在可逆矩阵 $P$ ，使

P^{-1}AP=\Lambda, \qquad \Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n).

两边左乘 $P$ ，得到

AP=P\Lambda.

将 $P$ 按列分块：

P=[\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n].

由于 $P$ 可逆，其列向量 $\xi_1,\dots,\xi_n$ 线性无关。另一方面，

AP=[A\xi_1,A\xi_2,\dots,A\xi_n],

而

P\Lambda=[\lambda_1\xi_1,\lambda_2\xi_2,\dots,\lambda_n\xi_n].

因此

A\xi_i=\lambda_i\xi_i, \qquad i=1,2,\dots,n.

这说明矩阵能否对角化，最终取决于能否找到足够多的、满足 $A\xi=\lambda\xi$ 的线性无关向量。

特征值与特征向量的定义#

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。若存在数 $\lambda$ 和非零向量 $\xi$ ，使

A\xi=\lambda\xi, \qquad \xi\neq 0,

则称：

$\lambda$ 为 $A$ 的一个 特征值；
$\xi$ 为 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的一个 特征向量。

WARNING
定义中必须有 $\xi\neq 0$ 。
若允许 $\xi=0$ ，则对任意 $\lambda$ 都有 $A0=\lambda0$ ，定义将失去意义。

特征值与特征向量的基本关系#

一个特征向量只能属于一个特征值#

若同一非零向量 $\xi$ 同时满足

A\xi=\lambda_1\xi, \qquad A\xi=\lambda_2\xi,

则

(\lambda_1-\lambda_2)\xi=0.

因为 $\xi\neq 0$ ，所以

\lambda_1=\lambda_2.

一个特征值有无穷多个特征向量#

若

A\xi=\lambda\xi, \qquad \xi\neq 0,

则对任意非零数 $k$ ，

A(k\xi)=kA\xi=k\lambda\xi=\lambda(k\xi).

因此 $k\xi$ 仍是属于 $\lambda$ 的特征向量。

这也说明：特征向量通常成族出现，真正需要确定的是其所在的特征子空间。

特征多项式与特征方程#

由

A\xi=\lambda\xi

可得

(\lambda E-A)\xi=0.

要使该齐次线性方程组有非零解，必须且只需

|\lambda E-A|=0.

定义

f_A(\lambda)=|\lambda E-A|

为 $A$ 的 特征多项式，方程

f_A(\lambda)=0

称为 $A$ 的 特征方程。

由于 $f_A(\lambda)$ 是首项系数为 $1$ 的 $n$ 次多项式，根据代数基本定理，在复数域中共有 $n$ 个根，按重数计算。这些根正是 $A$ 的全部特征值。

两种常见表述：

$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ 表示全部特征值，允许相等；
$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_s$ 表示全部互异特征值，其重数分别为 $n_1,n_2,\dots,n_s$ ，满足

n_1+n_2+\cdots+n_s=n.

此时

f_A(\lambda) =(\lambda-\lambda_1)^{n_1} (\lambda-\lambda_2)^{n_2} \cdots (\lambda-\lambda_s)^{n_s}.

特征子空间#

设 $\lambda_i$ 为 $A$ 的特征值。齐次线性方程组

(\lambda_iE-A)X=0

的解空间记为

W_{\lambda_i}=\ker(\lambda_iE-A),

称为属于 $\lambda_i$ 的 特征子空间。

其维数为

\dim W_{\lambda_i} =n-r(\lambda_iE-A).

若 $W_{\lambda_i}$ 的一组基为

\xi_{i1},\xi_{i2},\dots,\xi_{ir_i},

则属于 $\lambda_i$ 的全部特征向量为

\xi=t_1\xi_{i1}+t_2\xi_{i2}+\cdots+t_{r_i}\xi_{ir_i},

其中 $t_1,t_2,\dots,t_{r_i}$ 不全为零。

TIP
特征子空间中包含零向量；特征向量不包含零向量。
因此：
$\{\text{属于 }\lambda_i\text{ 的特征向量}\} =W_{\lambda_i}\setminus\{0\}.$

求特征值和特征向量的标准步骤#

计算特征多项式

f_A(\lambda)=|\lambda E-A|.

解特征方程

f_A(\lambda)=0,

求出全部互异特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ 及其重数。

对每个 $\lambda_i$ ，解

(\lambda_iE-A)X=0,

求出特征子空间的一组基。

将基础解系作不全为零的线性组合，写出全部特征向量。

例 5.1.1：对角元相同、非对角元相同的矩阵#

设

A= \begin{bmatrix} a&b&b&\cdots&b\\ b&a&b&\cdots&b\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ b&b&b&\cdots&a \end{bmatrix}.

取

\xi= \begin{bmatrix} 1\\1\\\vdots\\1 \end{bmatrix},

则每一行与 $\xi$ 相乘的结果均为

a+(n-1)b.

所以

A\xi=[a+(n-1)b]\xi.

因此

\lambda=a+(n-1)b

是 $A$ 的一个特征值， $\xi$ 是其对应的特征向量。

进一步可得

f_A(\lambda) =[\lambda-a-(n-1)b](\lambda-a+b)^{n-1}.

故全部特征值为

\lambda_1=a+(n-1)b, \qquad \lambda_2=\cdots=\lambda_n=a-b.

当 $a=0$ 时，特征值为

(n-1)b, \qquad -b\quad(n-1\text{ 重}).

例 5.1.3：完整求特征值和特征向量#

设

A= \begin{bmatrix} -1&1&0\\ -4&3&0\\ 1&0&2 \end{bmatrix}.

先求特征多项式：

\begin{aligned} f_A(\lambda) &=|\lambda E-A|\\ &= \begin{vmatrix} \lambda+1&-1&0\\ 4&\lambda-3&0\\ -1&0&\lambda-2 \end{vmatrix}\\ &=(\lambda-2)(\lambda-1)^2. \end{aligned}

因此

\lambda_1=2, \qquad \lambda_2=\lambda_3=1.

属于 $\lambda=2$ 的特征向量#

解

(2E-A)X=0,

即

\begin{bmatrix} 3&-1&0\\ 4&-1&0\\ -1&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix} =0.

其基础解系可取

\xi_1= \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}.

所以属于 $2$ 的全部特征向量为

k\xi_1, \qquad k\neq 0.

属于 $\lambda=1$ 的特征向量#

解

(E-A)X=0,

即

\begin{bmatrix} 2&-1&0\\ 4&-2&0\\ -1&0&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{bmatrix} =0.

其基础解系可取

\xi_2= \begin{bmatrix} 1\\2\\-1 \end{bmatrix}.

所以属于 $1$ 的全部特征向量为

k\xi_2, \qquad k\neq 0.

实矩阵可能具有复特征值#

设

A= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ -1&0&0\\ 3&2&1 \end{bmatrix}.

则

f_A(\lambda) =(\lambda-1)(\lambda^2+1).

若只在实数域中讨论，特征值只有 $1$ ；
若在复数域中讨论，全部特征值为

1, \qquad i, \qquad -i.

因此，讨论特征值时必须明确所处数域。

5.2 矩阵对角化#

属于不同特征值的特征向量线性无关#

设 $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_s$ 是 $A$ 的互异特征值， $\xi_i$ 是属于 $\lambda_i$ 的特征向量，则

\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_s

线性无关。

证明思路：数学归纳法#

当 $s=1$ 时，单个非零向量线性无关。

假设 $\xi_1,\dots,\xi_k$ 线性无关。对 $k+1$ 个向量，设

t_1\xi_1+t_2\xi_2+\cdots+t_k\xi_k+t_{k+1}\xi_{k+1}=0. \tag{1}

两边左乘 $A$ ，得

t_1\lambda_1\xi_1+ \cdots+ t_k\lambda_k\xi_k+ t_{k+1}\lambda_{k+1}\xi_{k+1}=0. \tag{2}

用 $\lambda_{k+1}\times(1)$ 减去 $(2)$ ，消去最后一项：

\sum_{i=1}^{k}t_i(\lambda_{k+1}-\lambda_i)\xi_i=0.

由归纳假设， $\xi_1,\dots,\xi_k$ 线性无关，且

\lambda_{k+1}-\lambda_i\neq 0,

所以

t_1=t_2=\cdots=t_k=0.

代回式 $(1)$ ，由 $\xi_{k+1}\neq0$ 得

t_{k+1}=0.

因此结论成立。

TIP
若 $n$ 阶矩阵有 $n$ 个互异特征值，则必有 $n$ 个线性无关的特征向量，因此必可对角化。

特征子空间基的合并仍线性无关#

设 $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ 为 $A$ 的互异特征值， $W_{\lambda_i}$ 的一组基为

\xi_{i1},\xi_{i2},\dots,\xi_{ir_i}.

则合并后的向量组

\xi_{11},\dots,\xi_{1r_1}, \xi_{21},\dots,\xi_{2r_2}, \dots, \xi_{s1},\dots,\xi_{sr_s}

线性无关。

证明仍采用归纳法：把最后一个特征子空间对应的整组向量看作一组，分别对线性组合左乘 $A$ 与乘以最后一个特征值，再作差，先消去最后一组；利用归纳假设推出前面各组系数为零，再利用最后一组本身线性无关推出剩余系数为零。

这个性质把“每个特征值取一个特征向量”的结论推广为“每个特征子空间取一组基”。

可对角化的三个充要条件#

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，互异特征值为

\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_s.

对应特征子空间为 $W_{\lambda_i}$ ，记

r_i=\dim W_{\lambda_i}.

特征值 $\lambda_i$ 的代数重数记为 $n_i$ 。

以下三个条件彼此等价。

条件一：有 $n$ 个线性无关的特征向量#

A\text{ 可对角化} \Longleftrightarrow A\text{ 有 }n\text{ 个线性无关的特征向量}.

若这些特征向量为 $\xi_1,\dots,\xi_n$ ，其对应特征值为 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ ，则

P=[\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n]

可逆，且

P^{-1}AP =\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n).

这个条件在理论证明中最直接。

条件二：全部特征子空间维数之和为 $n$ #

A\text{ 可对角化} \Longleftrightarrow r_1+r_2+\cdots+r_s=n.

因为各特征子空间的基合并后线性无关；当向量总数达到 $n$ 时，恰好得到 $n$ 个线性无关的特征向量。

这个条件最适合计算判定。

条件三：几何重数等于代数重数#

A\text{ 可对角化} \Longleftrightarrow r_i=n_i, \qquad i=1,2,\dots,s.

由于

n_1+n_2+\cdots+n_s=n,

所以条件二和条件三等价。

代数重数与几何重数#

对特征值 $\lambda_i$ ：

$n_i$ ： $\lambda_i$ 作为特征方程根的重数，称为 代数重数；
$r_i=\dim W_{\lambda_i}$ ：对应特征子空间维数，称为 几何重数。

有基本不等式

1\le r_i\le n_i.

课堂未证明上界 $r_i\le n_i$ ，但要求会用。

TIP
若 $\lambda_i$ 是单根，则 $n_i=1$ 。又因为 $1\le r_i\le n_i$ ，所以必有
$r_i=1.$
因此判断可对角化时，只需重点检查重根。

判断可对角化的计算流程#

求全部特征值及其代数重数；
对每个重根 $\lambda_i$ 计算

r_i=n-r(\lambda_iE-A);

检查是否对每个 $i$ 都有 $r_i=n_i$ ，或检查

r_1+ r_2+ \cdots+ r_s=n;

若只要求判断，不必把基础解系完整求出，计算矩阵的秩即可；
若还要求求出 $P$ ，则需要解各齐次方程组，取各特征子空间的基作为 $P$ 的列。

例 5.2.1：互异特征值保证可对角化#

设

B= \begin{bmatrix} -1&1&0\\ 0&3&0\\ 1&0&2 \end{bmatrix}.

其特征多项式为

f_B(\lambda) =(\lambda+1)(\lambda-2)(\lambda-3).

所以特征值为

-1, \qquad 2, \qquad 3.

它们互不相同，故 $B$ 可对角化。

分别求得特征向量可取

\xi_1= \begin{bmatrix} 3\\0\\-1 \end{bmatrix}, \qquad \xi_2= \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}, \qquad \xi_3= \begin{bmatrix} 1\\4\\1 \end{bmatrix}.

令

P=[\xi_1,\xi_2,\xi_3],

则

P^{-1}BP=\operatorname{diag}(-1,2,3).

例 5.2.2：重根对应的特征向量不足#

仍取例 5.1.3 中的矩阵

A= \begin{bmatrix} -1&1&0\\ -4&3&0\\ 1&0&2 \end{bmatrix}.

其特征值为

2, \qquad 1\quad(2\text{ 重}).

前面已经求得

\dim W_2=1, \qquad \dim W_1=1.

所以

\dim W_2+ \dim W_1=2<3.

因此 $A$ 不能对角化。

关键原因：特征值 $1$ 的代数重数为 $2$ ，几何重数只有 $1$ 。

例 5.2.3：重根仍可能可对角化#

设

A= \begin{bmatrix} 1&2&2\\ 2&1&2\\ 2&2&1 \end{bmatrix}.

特征多项式为

f_A(\lambda) =(\lambda-5)(\lambda+1)^2.

故特征值为

5, \qquad -1\quad(2\text{ 重}).

属于 $5$ 的特征子空间可取基

\xi_1= \begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix}.

属于 $-1$ 的特征子空间可取基

\xi_2= \begin{bmatrix} 1\\0\\-1 \end{bmatrix}, \qquad \xi_3= \begin{bmatrix} 0\\1\\-1 \end{bmatrix}.

因此

\dim W_5=1, \qquad \dim W_{-1}=2,

且

1+2=3.

所以 $A$ 可对角化。令

P=[\xi_1,\xi_2,\xi_3] = \begin{bmatrix} 1&1&0\\ 1&0&1\\ 1&-1&-1 \end{bmatrix},

则

P^{-1}AP=\operatorname{diag}(5,-1,-1).

NOTE
有重根并不能直接推出矩阵不可对角化。真正要检查的是重根对应的特征子空间维数是否达到其代数重数。

例 5.2.4：利用重数直接求秩#

已知三阶矩阵 $A$ 的特征值为

1,2,2,

且 $A$ 可对角化，求

r(E-A), \qquad r(2E-A).

特征值 $1$ 为单根，因此

dim W_1=1.

又

dim W_1=3-r(E-A),

所以

r(E-A)=2.

特征值 $2$ 为二重根。由于 $A$ 可对角化，几何重数等于代数重数，因此

dim W_2=2.

于是

3-r(2E-A)=2,

故

r(2E-A)=1.

例 5.2.5：含参数的秩一矩阵#

设

\alpha= \begin{bmatrix} 1\\2\\3\\4 \end{bmatrix}, \qquad \beta= \begin{bmatrix} 3\\-2\\-1\\a \end{bmatrix}, \qquad A=\alpha\beta^T.

问 $a$ 取何值时 $A$ 可对角化。

先计算

f_A(\lambda) =\lambda^3(\lambda-4a+4).

所以特征值为

0\quad(3\text{ 重}), \qquad 4(a-1).

又因 $A=\alpha\beta^T$ 且 $\alpha,\beta\neq0$ ，所以

r(A)=1.

当 $a\neq1$ 时#

特征值为

0\quad(3\text{ 重}), \qquad 4(a-1)\neq0\quad(1\text{ 重}).

对特征值 $0$ ，

dim W_0=4-r(A)=3,

恰好等于其代数重数。另一个特征值为单根，故 $A$ 可对角化。

当 $a=1$ 时#

唯一特征值为

0\quad(4\text{ 重}).

但

dim W_0=4-r(A)=3<4.

因此 $A$ 不能对角化。

结论：

\boxed{a\neq1}

时 $A$ 可对角化。

例 5.2.6：非零幂零矩阵不能对角化#

设 $A\neq0$ ，且存在正整数 $k\ge2$ ，使

A^k=0.

证明 $A$ 不能对角化。

设 $\lambda$ 是 $A$ 的任一特征值， $\xi$ 是对应的非零特征向量，则

A\xi=\lambda\xi.

连续作用 $A$ ，得到

A^k\xi=\lambda^k\xi.

由 $A^k=0$ ，有

\lambda^k\xi=0.

因为 $\xi\neq0$ ，所以

\lambda=0.

即 $A$ 的全部特征值均为 $0$ 。

若 $A$ 可对角化，则存在可逆矩阵 $P$ ，使

P^{-1}AP=\operatorname{diag}(0,0,\dots,0)=0.

于是

A=0,

与题设 $A\neq0$ 矛盾。因此 $A$ 不能对角化。

5.3 矩阵相似的理论和应用#

特征多项式的两个重要系数#

设

A=[a_{ij}]_{n\times n},

全部特征值为 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ ，按重数计算。

特征多项式可写成

f_A(\lambda) =|\lambda E-A| =\lambda^n- (a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})\lambda^{n-1} +\cdots+(-1)^n|A|.

另一方面，

f_A(\lambda) =(\lambda-\lambda_1) (\lambda-\lambda_2) \cdots (\lambda-\lambda_n).

比较 $\lambda^{n-1}$ 的系数和常数项，得到

\boxed{\lambda_1+ \lambda_2+ \cdots+ \lambda_n =\operatorname{tr}A}

以及

\boxed{\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=|A|}.

其中

\operatorname{tr}A=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}

称为矩阵 $A$ 的迹。

WARNING
特征值之和、乘积均按重数计算。

由乘积公式立即得到

A\text{ 可逆} \Longleftrightarrow |A|\neq0 \Longleftrightarrow 0\text{ 不是 }A\text{ 的特征值}.

矩阵方幂与矩阵多项式的特征值#

若

A\xi=\lambda\xi, \qquad \xi\neq0,

则

A^2\xi=A(A\xi)=A(\lambda\xi)=\lambda A\xi=\lambda^2\xi.

逐次递推可得

A^k\xi=\lambda^k\xi.

因此：

$\lambda^k$ 是 $A^k$ 的特征值；
$\xi$ 仍是对应的特征向量。

设

g(x)=a_kx^k+ \cdots+ a_1x+a_0,

则

g(A)=a_kA^k+ \cdots+ a_1A+a_0E.

于是

\begin{aligned} g(A)\xi &=a_kA^k\xi+ \cdots+ a_1A\xi+a_0\xi\\ &=[a_k\lambda^k+ \cdots+ a_1\lambda+a_0]\xi\\ &=g(\lambda)\xi. \end{aligned}

所以 $g(\lambda)$ 是 $g(A)$ 的特征值， $\xi$ 仍是相应特征向量。

在复数域中有谱映射关系

\sigma(g(A))=g(\sigma(A)).

也就是说， $g(A)$ 的全部特征值由 $A$ 的特征值代入 $g$ 得到。若不同的 $\lambda_i$ 代入后得到同一个数，对应特征值会合并。

为什么 $A^2$ 的特征值不会遗漏#

设 $\mu$ 是 $A^2$ 的特征值，则

|\mu E-A^2|=0.

在复数域中取 $\sqrt\mu$ ，有

\mu E-A^2 =(\sqrt\mu E-A)(\sqrt\mu E+A).

因此

|\sqrt\mu E-A|\cdot|\sqrt\mu E+A|=0.

所以 $\sqrt\mu$ 或 $-\sqrt\mu$ 是 $A$ 的特征值，从而

\mu=\lambda^2

可由 $A$ 的某个特征值 $\lambda$ 平方得到。

逆矩阵的特征值#

设 $A$ 可逆，且

A\xi=\lambda\xi.

因为可逆矩阵的特征值均非零，可在两边左乘 $A^{-1}$ ：

\xi=\lambda A^{-1}\xi.

因此

A^{-1}\xi=\lambda^{-1}\xi.

所以：

\boxed{ \sigma(A^{-1}) = \left\{ \frac1\lambda:\lambda\in\sigma(A) \right\}}

且特征向量保持不变。

相似矩阵的共同性质#

若 $A$ 与 $B$ 相似，则存在可逆矩阵 $P$ ，使

B=P^{-1}AP.

相同的特征多项式#

\begin{aligned} |\lambda E-B| &=|\lambda E-P^{-1}AP|\\ &=|P^{-1}(\lambda E-A)P|\\ &=|P^{-1}|\,|\lambda E-A|\,|P|\\ &=|\lambda E-A|. \end{aligned}

因此相似矩阵有：

相同的特征多项式；
相同的全部特征值及其代数重数；
相同的迹；
相同的行列式；
相同的秩。

逆命题通常不成立#

例如

E= \begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} 1&1\\0&1 \end{bmatrix}.

二者的特征多项式均为

(\lambda-1)^2,

但 $E$ 只与自身相似，而 $B\neq E$ ，所以 $E$ 与 $B$ 不相似。

因此，相同特征多项式只是矩阵相似的必要条件。

相同特征值何时能推出相似#

若 $A,B$ 都可对角化，则

A\sim B \Longleftrightarrow A,B\text{ 有相同的特征值及重数}.

理由：若二者都可对角化，并具有相同的特征值，则它们都相似于同一个对角矩阵，利用相似关系的对称性与传递性可得 $A\sim B$ 。

特别地，两个实对称矩阵一定可对角化，所以判断两个实对称矩阵是否相似，只需比较其特征值及重数。

相似关系与矩阵多项式#

若

B=P^{-1}AP,

则

B^2=P^{-1}A^2P, \qquad B^3=P^{-1}A^3P, \qquad \dots, \qquad B^k=P^{-1}A^kP.

故

A^k\sim B^k.

对任意多项式

g(x)=a_kx^k+ \cdots+ a_1x+a_0,

有

g(B)=P^{-1}g(A)P.

因此

g(A)\sim g(B).

而且使用的是同一个相似变换矩阵 $P$ 。

利用对角化计算方幂与多项式#

若

P^{-1}AP =\Lambda =\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n),

则

A=P\Lambda P^{-1}.

所以

A^k=P\Lambda^kP^{-1} =P\operatorname{diag}(\lambda_1^k,\dots,\lambda_n^k)P^{-1}.

对多项式 $g$ ，

g(A) =P\,g(\Lambda)\,P^{-1} =P\operatorname{diag} [g(\lambda_1), \dots, g(\lambda_n)]P^{-1}.

进而

|g(A)| =g(\lambda_1)g(\lambda_2)\cdots g(\lambda_n).

TIP
计算高次方时，本章提供了第二种常用情形：

若 $r(A)=1$ ，可利用 $A=\alpha\beta^T$ 的结构；

若 $A$ 可对角化，可利用 $A^k=P\Lambda^kP^{-1}$ 。

例 5.3.1：矩阵多项式的特征值、行列式与矩阵值#

设

A= \begin{bmatrix} 1&2&2\\ 2&1&-2\\ -2&-2&1 \end{bmatrix}.

第一步：求 $A$ 的特征值和特征向量#

f_A(\lambda) =(\lambda+1)(\lambda-1)(\lambda-3).

所以特征值为

-1, \qquad 1, \qquad 3.

对应特征向量可取

\xi_1= \begin{bmatrix} 1\\-1\\0 \end{bmatrix}, \qquad \xi_2= \begin{bmatrix} 1\\-1\\1 \end{bmatrix}, \qquad \xi_3= \begin{bmatrix} 0\\1\\-1 \end{bmatrix}.

由于三个特征值互异， $A$ 可对角化。令

P=[\xi_1,\xi_2,\xi_3],

则

P^{-1}AP=\operatorname{diag}(-1,1,3).

第二步：求矩阵多项式的特征值#

令

g(x)=2x^3-3x^2-4x+2.

则

g(A)=2A^3-3A^2-4A+2E.

其特征值为

g(-1)=1, \qquad g(1)=-3, \qquad g(3)=17.

相应特征向量仍分别为 $\xi_1,\xi_2,\xi_3$ 。

第三步：求行列式#

|g(A)| =g(-1)g(1)g(3) =1\times(-3)\times17 =-51.

第四步：求矩阵 $g(A)$ #

g(A) =P\operatorname{diag}(1,-3,17)P^{-1}.

计算得

g(A) = \begin{bmatrix} -3&-4&-4\\ 20&21&4\\ -20&-20&-3 \end{bmatrix}.

例 5.3.2：伴随矩阵与矩阵多项式#

设三阶方阵 $A$ 满足

|A|=6,

且 $A$ 有一个特征值 $-2$ 。

求 $A^*$ 的一个特征值#

由 $|A|\neq0$ ， $A$ 可逆，且

A^*=|A|A^{-1}=6A^{-1}.

因为 $-2$ 是 $A$ 的特征值，所以

-\frac12

是 $A^{-1}$ 的特征值。因此

6\left(-\frac12\right)=-3

是 $A^*$ 的一个特征值。

求 $A^3+4A^2+8A+8E$ 的一个特征值#

取

g(x)=x^3+4x^2+8x+8.

则

g(-2)=0.

所以 $0$ 是

A^3+4A^2+8A+8E

的一个特征值。

因此

|A^3+4A^2+8A+8E|=0.

例 5.3.5：计算高次方#

设三阶方阵 $A$ ，已知

\xi_1= \begin{bmatrix} 1\\2\\0 \end{bmatrix}, \qquad \xi_2= \begin{bmatrix} 2\\3\\0 \end{bmatrix}, \qquad \xi_3= \begin{bmatrix} 0\\0\\2 \end{bmatrix},

并满足

A\xi_1=\xi_1, \qquad A\xi_2=-\xi_2, \qquad A\xi_3=2\xi_3.

因此特征值为

1,-1,2,

互不相同， $A$ 可对角化。

令

P=[\xi_1,\xi_2,\xi_3] = \begin{bmatrix} 1&2&0\\ 2&3&0\\ 0&0&2 \end{bmatrix}, \qquad \Lambda=\operatorname{diag}(1,-1,2).

则

A=P\Lambda P^{-1} = \begin{bmatrix} -7&4&0\\ -12&7&0\\ 0&0&2 \end{bmatrix}.

同时

A^{1000} =P\operatorname{diag}(1^{1000},(-1)^{1000},2^{1000})P^{-1}.

因为

1^{1000}=(-1)^{1000}=1,

计算得

A^{1000} = \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2^{1000} \end{bmatrix}.

5.4 实对称矩阵的对角化#

设 $A$ 为实矩阵且

A^T=A,

则称 $A$ 为 实对称矩阵。

实对称矩阵是一类结构很强的矩阵：

特征值全部为实数；
不同特征值对应的特征向量彼此正交；
一定可以通过正交矩阵对角化。

实对称矩阵的特征值均为实数#

设 $\lambda$ 是实对称矩阵 $A$ 的特征值， $\xi\neq0$ 为相应特征向量：

A\xi=\lambda\xi.

即使 $\xi$ 暂时取复向量，也有

\xi^*A\xi=\lambda\xi^*\xi. \tag{1}

另一方面，由 $A^*=A$ ，

\xi^*A\xi =(A\xi)^*\xi =(\lambda\xi)^*\xi =\overline\lambda\,\xi^*\xi. \tag{2}

比较式 $(1)$ 与式 $(2)$ ：

(\lambda- \overline\lambda)\xi^*\xi=0.

因为 $\xi\neq0$ ，所以

\xi^*\xi>0.

从而

\lambda=\overline\lambda.

因此 $\lambda$ 为实数。

又因为 $\lambda E-A$ 是实矩阵，其齐次方程组可在实数域中求解，所以相应特征向量可以取为实向量。

不同特征值对应的特征向量正交#

设

A\xi_1=\lambda_1\xi_1, \qquad A\xi_2=\lambda_2\xi_2, \qquad \lambda_1\neq\lambda_2.

则

(A\xi_1)^T\xi_2 =\lambda_1\xi_1^T\xi_2.

另一方面，利用 $A^T=A$ ：

(A\xi_1)^T\xi_2 =\xi_1^TA^T\xi_2 =\xi_1^TA\xi_2 =\lambda_2\xi_1^T\xi_2.

所以

(\lambda_1- \lambda_2)\xi_1^T\xi_2=0.

由于 $\lambda_1\neq\lambda_2$ ，故

\xi_1^T\xi_2=0.

即

\xi_1\perp\xi_2.

相比一般矩阵“不同特征值对应的特征向量线性无关”，这里的结论更强：它们直接正交。

实对称矩阵的正交对角化定理#

若 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵 $U$ ，使

U^{-1}AU =U^TAU =\operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n).

其中 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ 是 $A$ 的全部特征值，按重数排列。

课堂未证明该定理，只要求理解其含义并掌握构造 $U$ 的方法。

TIP
对一般可对角化矩阵，通常只能保证存在可逆矩阵 $P$ 。
对实对称矩阵，可以把 $P$ 进一步选成正交矩阵 $U$ ，于是
$U^{-1}=U^T.$

求正交矩阵的标准步骤#

设 $A$ 为实对称矩阵。

第一步：求全部互异特征值#

求解

|\lambda E-A|=0,

得到

\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_s

及其代数重数 $n_1, \dots, n_s$ 。

第二步：求各特征子空间的基#

对每个 $\lambda_i$ 解

(\lambda_iE-A)X=0,

得到基础解系

\xi_{i1}, \xi_{i2}, \dots, \xi_{in_i}.

因为实对称矩阵一定可对角化，所以每个特征子空间维数必等于对应特征值的重数。若计算结果不相等，说明前面的特征值、秩或方程组求解出现错误。

第三步：在每个特征子空间内部正交化、单位化#

若 $n_i=1$ ，只需将唯一基向量单位化；
若 $n_i>1$ ，先对该特征子空间的一组基作施密特正交化，再分别单位化。

得到标准正交基

\eta_{i1}, \eta_{i2}, \dots, \eta_{in_i}.

不同特征子空间之间本来就彼此正交，因此只需处理同一重根内部的向量。

第四步：按特征值顺序组成正交矩阵#

U= [\eta_{11}, \dots, \eta_{1n_1}, \eta_{21}, \dots, \eta_{sn_s}].

则

U^TAU = \operatorname{diag} ( \underbrace{\lambda_1, \dots, \lambda_1}_{n_1}, \dots, \underbrace{\lambda_s, \dots, \lambda_s}_{n_s} ).

NOTE
若题目只要求求一个可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵，到第二步后直接将各特征子空间的基按列排入 $P$ 即可，无须正交化和单位化。

例 5.4.1：三个互异特征值#

设

A= \begin{bmatrix} 1&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}.

特征多项式为

f_A(\lambda) =\lambda(\lambda-1)(\lambda-2).

所以特征值为

0, \qquad 1, \qquad 2.

相应特征向量可取

\xi_1= \begin{bmatrix} 1\\-1\\0 \end{bmatrix}, \qquad \xi_2= \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}, \qquad \xi_3= \begin{bmatrix} 1\\1\\0 \end{bmatrix}.

三个特征值互异，三个特征向量已经两两正交，只需单位化：

\eta_1= \frac1{\sqrt2} \begin{bmatrix} 1\\-1\\0 \end{bmatrix}, \qquad \eta_2= \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}, \qquad \eta_3= \frac1{\sqrt2} \begin{bmatrix} 1\\1\\0 \end{bmatrix}.

令

U=[\eta_1, \eta_2, \eta_3],

则 $U$ 为正交矩阵，且

U^TAU=\operatorname{diag}(0,1,2).

例 5.4.2：重根情形需要施密特正交化#

设

A= \begin{bmatrix} 1&2&2\\ 2&1&2\\ 2&2&1 \end{bmatrix}.

由例 5.2.3，特征值为

5, \qquad -1\quad(2\text{ 重}).

可取

\xi_1= \begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix}

作为 $W_5$ 的基；取

\xi_2= \begin{bmatrix} 1\\0\\-1 \end{bmatrix}, \qquad \xi_3= \begin{bmatrix} 0\\1\\-1 \end{bmatrix}

作为 $W_{-1}$ 的一组基。

$\xi_2$ 与 $\xi_3$ 属于同一特征值，未必正交，因此对它们施密特正交化。

取

\xi_2'=\xi_2.

再令

\begin{aligned} \xi_3' &=\xi_3- \frac{(\xi_3, \xi_2')}{(\xi_2', \xi_2')}\xi_2'\\ &= \begin{bmatrix} 0\\1\\-1 \end{bmatrix} - \frac12 \begin{bmatrix} 1\\0\\-1 \end{bmatrix}\\ &= \frac12 \begin{bmatrix} -1\\2\\-1 \end{bmatrix}. \end{aligned}

单位化后得到

\eta_1= \frac1{\sqrt3} \begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix}, \qquad \eta_2= \frac1{\sqrt2} \begin{bmatrix} 1\\0\\-1 \end{bmatrix}, \qquad \eta_3= \frac1{\sqrt6} \begin{bmatrix} -1\\2\\-1 \end{bmatrix}.

因此

U=[\eta_1, \eta_2, \eta_3] = \begin{bmatrix} \frac1{\sqrt3}&\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt6}\\ \frac1{\sqrt3}&0&\frac2{\sqrt6}\\ \frac1{\sqrt3}&-\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt6} \end{bmatrix}.

于是

U^TAU =\operatorname{diag}(5,-1,-1).

课堂综合例题#

正交矩阵的行列式为负时必有特征值 -1#

设 $U$ 为实正交矩阵，且

|U|=-1.

证明 $-1$ 是 $U$ 的特征值。

只需证明

|-E-U|=0.

由正交性

U^TU=E,

有

-E-U=(-U^T-E)U.

因此

\begin{aligned} |-E-U| &=|-U^T-E|\,|U|\\ &=-|-U^T-E|. \end{aligned}

又因为行列式在转置下不变，

|-U^T-E| =|(-U-E)^T| =|-U-E| =|-E-U|.

所以

|-E-U|=-|-E-U|,

从而

|-E-U|=0.

故 $-1$ 是 $U$ 的特征值。

幂等矩阵的行列式计算#

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，满足

A^2=A,

且

r(A)=r, \qquad 0<r\le n.

求

|5E+A|.

第一步：确定 $A$ 的可能特征值#

若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则由

g(x)=x^2-x

及

g(A)=A^2-A=0

可得

g(\lambda)=\lambda^2- \lambda=0.

所以

\lambda=0 \quad\text{或}\quad \lambda=1.

第二步：证明 $A$ 可对角化#

属于 $0$ 的特征子空间维数为

dim W_0=n-r(A).

属于 $1$ 的特征子空间维数为

dim W_1=n-r(E-A).

需要证明

dim W_0+ \dim W_1=n,

等价于

r(A)+r(E-A)=n.

一方面，由

A+(E-A)=E

及秩的次可加性，

n=r(E) \le r(A)+r(E-A).

另一方面，由 Sylvester 秩不等式，

r(A)+r(E-A) \le n+r[A(E-A)].

而

A(E-A)=A-A^2=0,

所以

r(A)+r(E-A) \le n.

综合可得

r(A)+r(E-A)=n.

因此 $A$ 可对角化。

第三步：确定重数#

因为

dim W_0=n-r(A)=n-r,

且 $A$ 可对角化，所以特征值 $0$ 的代数重数为 $n-r$ ；特征值 $1$ 的代数重数为 $r$ 。

第四步：计算目标行列式#

矩阵

5E+A

的特征值为

5+0=5 \quad(n-r\text{ 重}),

以及

5+1=6 \quad(r\text{ 重}).

因此

\boxed{|5E+A|=5^{n-r}6^r}.

全章解题框架#

类型一：求全部特征值和特征向量#

写出 $\lambda E-A$ ；
计算 $|\lambda E-A|$ ；
因式分解并写清重数；
对每个互异特征值解 $(\lambda_iE-A)X=0$ ；
用基础解系的不全为零线性组合表示全部特征向量。

类型二：判断能否对角化#

优先使用：

\sum_i\dim W_{\lambda_i}=n

或

\dim W_{\lambda_i}=n_i.

计算时：

\dim W_{\lambda_i} =n-r(\lambda_iE-A).

单根自动满足；
只检查重根；
只需判断时可只算秩；
还要求 $P$ 时再求基础解系。

类型三：构造相似变换矩阵 $P$ #

将各特征子空间的一组基按列排列：

P=[\text{线性无关的特征向量}].

对角矩阵中各特征值的顺序必须与 $P$ 中相应特征向量的列顺序一致。

类型四：计算 $A^k$ 或 $g(A)$ #

若

P^{-1}AP=\Lambda,

则

A^k=P\Lambda^kP^{-1},

g(A)=Pg(\Lambda)P^{-1}.

计算行列式时可直接用

|g(A)|=\prod_{i=1}^{n}g(\lambda_i).

类型五：实对称矩阵正交对角化#

求特征值；
求各特征子空间的基；
同一重根对应的基作施密特正交化；
全部向量单位化；
按列组成 $U$ ；
写出

U^TAU=\Lambda.

易错点#

特征向量必须非零。
特征子空间包含零向量，特征向量集合不包含零向量。
有重根不代表一定不能对角化。 应比较几何重数和代数重数。
有 $n$ 个特征值不代表有 $n$ 个互异特征值。 特征值总数按重数计算始终为 $n$ 。
求 $P$ 时，列向量顺序要和对角矩阵中特征值的顺序对应。
相同特征多项式不能直接推出矩阵相似。 若两矩阵都可对角化，才可通过相同特征值推出相似。
$g(A)$ 的特征向量可沿用 $A$ 的特征向量，但不同特征值经 $g$ 映射后可能合并。
实矩阵的特征值可能为复数。 实对称矩阵的特征值才保证全为实数。
实对称矩阵中，不同特征值对应的特征向量已经正交。 施密特正交化只需在同一重根对应的特征子空间内部进行。
计算特征多项式时， $|\lambda E-A|$ 与 $|A-\lambda E|$ 相差 $(-1)^n$ 。 求根相同，但后续公式与教材符号应保持一致。

概述#

目录#

5.1 特征值和特征向量#

从矩阵对角化引出特征值#

特征值与特征向量的定义#

特征值与特征向量的基本关系#

一个特征向量只能属于一个特征值#

一个特征值有无穷多个特征向量#

特征多项式与特征方程#

特征子空间#

求特征值和特征向量的标准步骤#

例 5.1.1：对角元相同、非对角元相同的矩阵#

例 5.1.3：完整求特征值和特征向量#

属于 λ=2\lambda=2λ=2 的特征向量#

属于 λ=1\lambda=1λ=1 的特征向量#

实矩阵可能具有复特征值#

5.2 矩阵对角化#

属于不同特征值的特征向量线性无关#

证明思路：数学归纳法#

特征子空间基的合并仍线性无关#

可对角化的三个充要条件#

条件一：有 nnn 个线性无关的特征向量#

条件二：全部特征子空间维数之和为 nnn#

条件三：几何重数等于代数重数#

代数重数与几何重数#

判断可对角化的计算流程#

例 5.2.1：互异特征值保证可对角化#

例 5.2.2：重根对应的特征向量不足#

例 5.2.3：重根仍可能可对角化#

例 5.2.4：利用重数直接求秩#

例 5.2.5：含参数的秩一矩阵#

当 a≠1a\neq1a=1 时#

当 a=1a=1a=1 时#

例 5.2.6：非零幂零矩阵不能对角化#

5.3 矩阵相似的理论和应用#

特征多项式的两个重要系数#

矩阵方幂与矩阵多项式的特征值#

为什么 A2A^2A2 的特征值不会遗漏#

逆矩阵的特征值#

相似矩阵的共同性质#

相同的特征多项式#

逆命题通常不成立#

相同特征值何时能推出相似#

相似关系与矩阵多项式#

利用对角化计算方幂与多项式#

例 5.3.1：矩阵多项式的特征值、行列式与矩阵值#

第一步：求 AAA 的特征值和特征向量#

第二步：求矩阵多项式的特征值#

第三步：求行列式#

第四步：求矩阵 g(A)g(A)g(A)#

例 5.3.2：伴随矩阵与矩阵多项式#

求 A∗A^*A∗ 的一个特征值#

求 A3+4A2+8A+8EA^3+4A^2+8A+8EA3+4A2+8A+8E 的一个特征值#

例 5.3.5：计算高次方#

5.4 实对称矩阵的对角化#

实对称矩阵的特征值均为实数#

不同特征值对应的特征向量正交#

实对称矩阵的正交对角化定理#

求正交矩阵的标准步骤#

第一步：求全部互异特征值#

第二步：求各特征子空间的基#

第三步：在每个特征子空间内部正交化、单位化#

第四步：按特征值顺序组成正交矩阵#

例 5.4.1：三个互异特征值#

例 5.4.2：重根情形需要施密特正交化#

课堂综合例题#

正交矩阵的行列式为负时必有特征值 -1#

幂等矩阵的行列式计算#

第一步：确定 AAA 的可能特征值#

第二步：证明 AAA 可对角化#

第三步：确定重数#

第四步：计算目标行列式#

全章解题框架#

类型一：求全部特征值和特征向量#

类型二：判断能否对角化#

类型三：构造相似变换矩阵 PPP#

类型四：计算 AkA^kAk 或 g(A)g(A)g(A)#

类型五：实对称矩阵正交对角化#

易错点#

属于 $\lambda=2$ 的特征向量#

属于 $\lambda=1$ 的特征向量#

条件一：有 $n$ 个线性无关的特征向量#

条件二：全部特征子空间维数之和为 $n$ #

当 $a\neq1$ 时#

当 $a=1$ 时#

为什么 $A^2$ 的特征值不会遗漏#

第一步：求 $A$ 的特征值和特征向量#

第四步：求矩阵 $g(A)$ #

求 $A^*$ 的一个特征值#

求 $A^3+4A^2+8A+8E$ 的一个特征值#

第一步：确定 $A$ 的可能特征值#

第二步：证明 $A$ 可对角化#

类型三：构造相似变换矩阵 $P$ #

类型四：计算 $A^k$ 或 $g(A)$ #