LinearAlgebra-Chapter6：二次型

概述#

这一章的核心链条是：

二次型 $\longleftrightarrow$ 实对称矩阵
非退化线性替换 $X=CY$ $\longleftrightarrow$ 矩阵合同变换 $A\mapsto C^TAC$
消去交叉项 $\longleftrightarrow$ 把对称矩阵合同化为对角矩阵

主要问题：

给定二次型，怎样把交叉项消掉，化为标准形？
不同方法得到的标准形可能不同，其中哪些量保持不变？
怎样判断两个实对称矩阵是否合同？
怎样判断一个二次型或实对称矩阵是否正定？

最终需要掌握的结论：

任意二次型都能通过非退化线性替换化为标准形。
实二次型还能通过正交替换化为标准形，标准形系数就是矩阵的特征值。
实二次型规范形中的正平方项数、负平方项数唯一确定。
实对称矩阵合同，当且仅当秩和正惯性指数分别相同。
正定实对称矩阵的特征值全为正，且全部顺序主子式均为正。

TIP
这一章可以看成第 5 章特征值、特征向量、实对称矩阵正交对角化的应用。

配方法：直接从多项式入手。

正交变换法：从实对称矩阵的特征值、特征向量入手。

惯性定理：解释不同标准形中哪些量不会改变。

正定理论：通过符号、特征值和主子式判断二次型的性质。

6.1 二次型与配方法#

二次型的定义#

数域 $P$ 上关于 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 的二次齐次多项式称为二次型。

一般写成

\begin{aligned} f(x_1,x_2,\ldots,x_n) ={}&a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+\cdots+2a_{1n}x_1x_n\\ &+a_{22}x_2^2+\cdots+2a_{2n}x_2x_n\\ &+\cdots+a_{nn}x_n^2. \end{aligned}

其中每一项的总次数都为 $2$ 。

例如：

x_1^2+2x_1x_2-3x_2^2

是二元二次型；

2x_1x_2-6x_2x_3

也可以看成关于 $x_1,x_2,x_3$ 的三元二次型，只是某些平方项和交叉项的系数为 $0$ 。

TIP
交叉项通常写成 $2a_{ij}x_ix_j$ ，这样二次型写成矩阵形式时，矩阵的 $(i,j)$ 与 $(j,i)$ 位置都可以直接填 $a_{ij}$ 。

二次型的矩阵表示#

记

X= \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}, \qquad A=(a_{ij})_{n\times n}, \qquad a_{ij}=a_{ji}.

则

f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=X^TAX.

展开可得

X^TAX = \sum_{i=1}^n a_{ii}x_i^2 + 2\sum_{1\le i<j\le n}a_{ij}x_ix_j.

所以二次型总能唯一对应一个对称矩阵 $A$ ，称为二次型的矩阵。

反过来，每一个对称矩阵 $A$ 也唯一确定一个二次型 $X^TAX$ 。

因此：

$n$ 元二次型与 $n$ 阶对称矩阵一一对应。

怎样由二次型写出矩阵#

设

f=x_1^2-2x_1x_2+4x_2x_3+x_3^2.

则：

$x_1^2$ 的系数为 $1$ ，所以 $a_{11}=1$ ；
没有 $x_2^2$ ，所以 $a_{22}=0$ ；
$x_3^2$ 的系数为 $1$ ，所以 $a_{33}=1$ ；
$x_1x_2$ 的系数为 $-2$ ，所以 $a_{12}=a_{21}=-1$ ；
没有 $x_1x_3$ ，所以 $a_{13}=a_{31}=0$ ；
$x_2x_3$ 的系数为 $4$ ，所以 $a_{23}=a_{32}=2$ 。

于是

A= \begin{bmatrix} 1&-1&0\\ -1&0&2\\ 0&2&1 \end{bmatrix}.

WARNING
写矩阵时最容易错的是交叉项：
$2a_{ij}x_ix_j$
对应矩阵中的两个位置
$a_{ij}=a_{ji}.$
因此，矩阵非对角位置填的是交叉项系数的一半。

线性替换与非退化线性替换#

令

\begin{cases} x_1=c_{11}y_1+c_{12}y_2+\cdots+c_{1n}y_n,\\ x_2=c_{21}y_1+c_{22}y_2+\cdots+c_{2n}y_n,\\ \qquad\vdots\\ x_n=c_{n1}y_1+c_{n2}y_2+\cdots+c_{nn}y_n. \end{cases}

矩阵形式为

X=CY.

其中

C=(c_{ij})_{n\times n}.

若

|C|\neq 0,

则 $C$ 可逆，这个线性替换称为非退化线性替换。

非退化的意义是：

新变量能够唯一确定原变量；
原变量也能够唯一反解为新变量；
坐标变换不会把整个空间压缩到低维子空间；
二次型中原有的信息不会丢失。

若 $C$ 不可逆，例如令部分 $x_i$ 恒为 $0$ ，虽然也可能消去交叉项，但会破坏原二次型，不能作为本章要求的变量替换。

标准形#

只含平方项、不含交叉项的二次型称为标准形：

d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2.

有些 $d_i$ 可以等于 $0$ 。

本章的第一个主要问题是：

对任意二次型，寻找非退化线性替换 $X=CY$ ，使二次型化为标准形。

配方法的基本步骤#

情形一：存在平方项#

若某个平方项系数不为 $0$ ，先收集含该变量的所有项，配成完全平方。

例如，若 $a_{11}\neq 0$ ，则

\begin{aligned} f ={}&a_{11}x_1^2 +2x_1(a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n) +\text{不含 }x_1\text{ 的项}\\ ={}&\frac{1}{a_{11}} (a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n)^2\\ &+\text{只含 }x_2,\ldots,x_n\text{ 的二次型}. \end{aligned}

然后对剩下的 $n-1$ 元二次型继续配方。

情形二：所有平方项都为零#

若所有 $x_i^2$ 的系数都为 $0$ ，但某个交叉项不为 $0$ ，例如含有 $x_1x_2$ ，先作替换

x_1=y_1+y_2,\qquad x_2=y_1-y_2,

则

x_1x_2=y_1^2-y_2^2,

从而制造出平方项，再继续配方。

TIP
配方法的逻辑：

有平方项：直接围绕该平方项配方；

没有平方项：先用和差替换制造平方项；

每完成一次配方，就减少一个需要处理的变量；

最终得到标准形。

例 6.1.1：含平方项时直接配方#

将

f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3+x_2^2-2x_2x_3-x_3^2

化为标准形。

先处理所有含 $x_1$ 的项：

\begin{aligned} f &=(x_1+x_2+x_3)^2 -2x_2^2-4x_2x_3-2x_3^2 +2x_2^2\\ &=(x_1+x_2+x_3)^2 -2(x_2+x_3)^2 +2x_2^2. \end{aligned}

令

\begin{cases} y_1=x_1+x_2+x_3,\\ y_2=x_2+x_3,\\ y_3=x_2. \end{cases}

则反解为

\begin{cases} x_1=y_1-y_2,\\ x_2=y_3,\\ x_3=y_2-y_3. \end{cases}

即

X= \begin{bmatrix} 1&-1&0\\ 0&0&1\\ 0&1&-1 \end{bmatrix}Y.

因为

\left| \begin{matrix} 1&-1&0\\ 0&0&1\\ 0&1&-1 \end{matrix} \right| =-1\neq 0,

所以替换是非退化的。

最终标准形为

\boxed{f=y_1^2-2y_2^2+2y_3^2}.

NOTE
配方法得到的标准形并不唯一。
例如再对变量进行适当缩放，也可以把同一个二次型化成
$z_1^2+z_2^2-z_3^2.$
因此标准形中的具体非零系数一般没有唯一意义。

例 6.1.2：没有平方项时先制造平方项#

将

f(x_1,x_2,x_3) = 2x_1x_2+2x_1x_3-6x_2x_3

化为标准形。

原式没有任何平方项，先作非退化替换

\begin{cases} x_1=y_1+y_2,\\ x_2=y_1-y_2,\\ x_3=y_3. \end{cases}

代入：

\begin{aligned} f &=2(y_1+y_2)(y_1-y_2) +2(y_1+y_2)y_3 -6(y_1-y_2)y_3\\ &=2y_1^2-2y_2^2-4y_1y_3+8y_2y_3. \end{aligned}

现在已经产生平方项，可以继续配方：

\begin{aligned} f &=2(y_1-y_3)^2-2y_3^2 -2(y_2-2y_3)^2+8y_3^2\\ &=2(y_1-y_3)^2 -2(y_2-2y_3)^2 +6y_3^2. \end{aligned}

令

\begin{cases} z_1=y_1-y_3,\\ z_2=y_2-2y_3,\\ z_3=y_3, \end{cases}

即

\begin{cases} y_1=z_1+z_3,\\ y_2=z_2+2z_3,\\ y_3=z_3. \end{cases}

与第一次替换合并：

\begin{cases} x_1=z_1+z_2+3z_3,\\ x_2=z_1-z_2-z_3,\\ x_3=z_3. \end{cases}

对应系数矩阵

C= \begin{bmatrix} 1&1&3\\ 1&-1&-1\\ 0&0&1 \end{bmatrix},

且

|C|=-2\neq 0.

因此替换非退化，最终标准形为

\boxed{f=2z_1^2-2z_2^2+6z_3^2}.

配方法的一般结论#

定理

任意数域上的二次型，都存在非退化线性替换

X=CY

将其化为标准形

d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2.

对应的矩阵语言为：

任意对称矩阵 $A$ 都合同于某个对角矩阵。

即存在可逆矩阵 $C$ ，使

C^TAC= \operatorname{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n).

6.2 矩阵合同与正交变换#

线性替换对应的矩阵变化#

设二次型

f=X^TAX,

作非退化线性替换

X=CY.

则

\begin{aligned} f &=(CY)^TA(CY)\\ &=Y^TC^TACY. \end{aligned}

因此，新变量下二次型的矩阵为

\boxed{C^TAC}.

要使二次型化为标准形，就要使 $C^TAC$ 成为对角矩阵。

所以：

二次型问题：寻找非退化替换 $X=CY$ 消去交叉项；
矩阵问题：寻找可逆矩阵 $C$ ，使 $C^TAC$ 对角化。

这两个问题完全等价。

合同矩阵#

设 $A,B$ 为同阶方阵。若存在可逆矩阵 $C$ ，使

C^TAC=B,

则称 $A$ 与 $B$ 合同。

记作

A\cong B.

合同关系满足：

反身性： $A\cong A$ ；
对称性：若 $A\cong B$ ，则 $B\cong A$ ；
传递性：若 $A\cong B$ 且 $B\cong D$ ，则 $A\cong D$ 。

因此合同是一个等价关系。

等价、相似与合同#

关系	矩阵表达	主要不变量
等价	$B=PAQ$ ， $P,Q$ 可逆	秩
相似	$B=P^{-1}AP$	特征多项式、特征值
合同	$B=C^TAC$	秩；实数域上还保持正、负惯性指数

WARNING
一般情况下：

特征值相同，不能直接推出相似；

秩相同，在实数域上不能直接推出合同；

合同不保持具体特征值。

只有在特殊条件下，才能使用更强的判定。

当 $C=U$ 为正交矩阵时，

U^{-1}=U^T,

所以

U^TAU=U^{-1}AU.

此时同一个变换既是合同变换，也是相似变换。

这就是正交变换法中，标准形系数恰好等于 $A$ 的特征值的原因。

正交变换化实二次型为标准形#

若 $A$ 为实对称矩阵，则存在正交矩阵 $U$ ，使

U^TAU = \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n),

其中 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ 为 $A$ 的全部特征值。

作正交线性替换

X=UY,

则

f = \lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2.

这说明：

每个实二次型都能通过正交线性替换化为标准形，且标准形系数就是对应实对称矩阵的特征值。

正交变换法的计算步骤#

设

f=X^TAX,

其中 $A$ 为实对称矩阵。

第一步：写出二次型矩阵 $A$ #

主对角线：平方项系数；
非主对角线：对应交叉项系数的一半；
写完后检查 $A^T=A$ 。

第二步：求全部特征值#

解

|\lambda I-A|=0.

得到全部特征值，并记清代数重数。

第三步：求各特征空间#

对每个特征值 $\lambda_i$ ，解

(\lambda_iI-A)X=0.

得到对应特征空间的一组基。

第四步：在每个特征空间内正交单位化#

单根对应的一维特征空间：直接单位化；
重根对应的高维特征空间：先用 Schmidt 正交化，再单位化；
不同特征值对应的特征向量本来就正交，不需要相互正交化。

第五步：构造正交矩阵#

把得到的标准正交特征向量作为列向量：

U=[u_1,u_2,\ldots,u_n].

则

U^TU=I, \qquad U^TAU=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n).

第六步：写出变量替换和标准形#

X=UY,

标准形为

f=\lambda_1y_1^2+\cdots+\lambda_ny_n^2.

WARNING
考试中常见失分点：

二次型矩阵的交叉项忘记除以 $2$ ；

重特征值的特征空间内只单位化，没有先正交化；

只写出正交矩阵 $U$ ，没有写最终替换 $X=UY$ ；

标准形系数顺序与 $U$ 的列向量顺序不对应。

例 6.2.1：三元二次型的正交化#

用正交线性替换将

f=x_1^2+4x_1x_2+4x_1x_3+x_2^2+4x_2x_3+x_3^2

化为标准形。

二次型矩阵为

A= \begin{bmatrix} 1&2&2\\ 2&1&2\\ 2&2&1 \end{bmatrix}.

其特征值为

\lambda_1=5, \qquad \lambda_2=\lambda_3=-1.

可取一组标准正交特征向量：

u_1= \frac{1}{\sqrt3} \begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix}, \qquad u_2= \frac{1}{\sqrt2} \begin{bmatrix} 1\\0\\-1 \end{bmatrix}, \qquad u_3= \frac{1}{\sqrt6} \begin{bmatrix} -1\\2\\-1 \end{bmatrix}.

于是

U= \begin{bmatrix} \frac1{\sqrt3}&\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt6}\\ \frac1{\sqrt3}&0&\frac2{\sqrt6}\\ \frac1{\sqrt3}&-\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt6} \end{bmatrix}.

有

U^TAU= \operatorname{diag}(5,-1,-1).

作正交替换

X=UY,

得到标准形

\boxed{f=5y_1^2-y_2^2-y_3^2}.

这里 $-1$ 是二重特征值，所以需要在对应二维特征空间中选取一组标准正交基。

例 6.2.2：二元二次型与坐标旋转#

用正交线性替换将

f(x,y)=x^2+6xy+y^2

化为标准形。

矩阵为

A= \begin{bmatrix} 1&3\\ 3&1 \end{bmatrix}.

特征值为

\lambda_1=-2, \qquad \lambda_2=4.

对应标准正交特征向量可取

u_1=\frac1{\sqrt2} \begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix}, \qquad u_2=\frac1{\sqrt2} \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}.

所以

U= \frac1{\sqrt2} \begin{bmatrix} 1&1\\ -1&1 \end{bmatrix}.

作替换

\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = \frac1{\sqrt2} \begin{bmatrix} 1&1\\ -1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix},

得到

\boxed{f=-2{x'}^2+4{y'}^2}.

若原曲线为

x^2+6xy+y^2=4,

则新坐标下为

-2{x'}^2+4{y'}^2=4,

即

-\frac{{x'}^2}{2}+{y'}^2=1.

这是双曲线的标准方程。对应的正交变换相当于坐标轴旋转 $45^\circ$ 。

配方法与正交变换法的区别#

配方法#

适用于一般数域上的二次型；
只要求替换矩阵可逆；
计算通常更直接；
得到的标准形系数一般不是特征值；
标准形具体系数不唯一。

例如

x^2+6xy+y^2 = (x+3y)^2-8y^2.

这是用非退化替换直接配方得到的标准形。

正交变换法#

适用于实二次型；
替换矩阵必须正交；
需要计算实对称矩阵的特征值和标准正交特征向量；
标准形系数就是特征值；
具有明确的几何意义，保持长度和夹角。

TIP
题目只要求“用非退化线性替换化为标准形”时，优先考虑配方法。
题目明确要求“正交线性替换”时，必须使用特征值、特征向量方法。

6.3 二次型的规范形与惯性定理#

二次型的秩#

设二次型经过非退化线性替换化为标准形

f=d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ry_r^2, \qquad d_i\neq 0,

其余项系数为 $0$ 。

对应矩阵满足

C^TAC= \operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_r,0,\ldots,0).

因为左、右乘可逆矩阵不改变秩，

r(C^TAC)=r(A).

右侧对角矩阵的秩为非零对角元个数 $r$ ，所以

\boxed{r=r(A)}.

因此：

任意非退化线性替换得到的标准形中，非零平方项的个数固定，等于二次型矩阵的秩。

这个数称为二次型的秩。

复数域上的规范形#

在复数域 $\mathbb C$ 上，若

f=d_1y_1^2+\cdots+d_ry_r^2, \qquad d_i\neq 0,

由于每个非零复数都有平方根，可令

y_i=\frac{1}{\sqrt{d_i}}z_i, \qquad i=1,\ldots,r.

于是

f=z_1^2+z_2^2+\cdots+z_r^2.

因此复数域上的规范形为

\boxed{z_1^2+z_2^2+\cdots+z_r^2}.

它只由秩 $r$ 决定，所以唯一。

矩阵形式为：

A\cong \begin{bmatrix} I_r&0\\ 0&0 \end{bmatrix}.

由此可得：

两个复对称矩阵在复数域上合同，当且仅当它们的秩相同。

NOTE
课堂对复数域内容作了说明，但强调本课程计算和考试更关注实数域。

实数域上的规范形#

在实数域 $\mathbb R$ 上，负数不能通过实数缩放变成正数平方项。

将标准形中的正系数排在前面、负系数排在后面：

f= d_1y_1^2+\cdots+d_py_p^2 -d_{p+1}y_{p+1}^2-\cdots-d_ry_r^2,

其中所有 $d_i>0$ 。

再令

y_i=\frac{1}{\sqrt{d_i}}z_i,

得到实数域上的规范形：

\boxed{ f=z_1^2+\cdots+z_p^2 -z_{p+1}^2-\cdots-z_r^2 }.

其中：

正平方项有 $p$ 个；
负平方项有 $q=r-p$ 个；
零平方项有 $n-r$ 个。

矩阵形式为

A\cong \operatorname{diag} (I_p,-I_q,0_{n-r}).

惯性定理#

惯性定理

实二次型经过任意实的非退化线性替换化为标准形后：

正平方项的个数唯一；
负平方项的个数唯一。

也就是说，虽然标准形中的具体非零系数可以变化，但它们的符号个数不会变化。

这就是 Sylvester 惯性定理。

TIP
“惯性”表示这些符号数量在合同变换下保持不变。
可变：

每个非零项的具体系数；

项的排列顺序；

使用的变量替换。

不变：

非零项总数；

正项数；

负项数。

正负惯性指数与符号差#

设实二次型规范形为

z_1^2+\cdots+z_p^2 -z_{p+1}^2-\cdots-z_r^2.

则：

$p$ 称为正惯性指数；
$q=r-p$ 称为负惯性指数；
$p-q$ 称为符号差。

由实对称矩阵的正交对角化可知：

正惯性指数 = 正特征值的个数；
负惯性指数 = 负特征值的个数；
$n-r(A)$ = 零特征值的个数。

这里都按代数重数计算。

怎样求正惯性指数#

方法一：配方法#

将二次型用非退化线性替换化为标准形，数正平方项的个数。

方法二：求特征值#

若 $A$ 为实对称矩阵，求出全部特征值：

大于 $0$ 的特征值个数是正惯性指数；
小于 $0$ 的特征值个数是负惯性指数；
不等于 $0$ 的特征值个数是秩。

TIP
矩阵阶数较低且配方简单时，配方法通常更快。
矩阵已经接近对角形，或题目同时要求特征值时，可直接使用特征值法。

合同的判定#

复数域#

两个复对称矩阵 $A,B$ 合同，当且仅当

r(A)=r(B).

实数域#

两个实对称矩阵 $A,B$ 合同，当且仅当：

r(A)=r(B)

且

p(A)=p(B),

其中 $p(A),p(B)$ 分别为正惯性指数。

等价地，也可以要求它们的正、负惯性指数分别相同。

证明思路：

若 $A\cong B$ ，合同变换保持秩和惯性指数；
若二者秩相同、正惯性指数相同，则二者都合同于同一个规范形

\operatorname{diag}(I_p,-I_q,0).

由合同关系的对称性与传递性，得到 $A\cong B$ 。

例 6.3.1：判断哪些矩阵与给定矩阵合同#

设

A= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&2 \end{bmatrix}, \quad B= \begin{bmatrix} 1&-1&0\\ -1&2&0\\ 0&0&2 \end{bmatrix},

C= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&1&-1 \end{bmatrix}, \quad D= \begin{bmatrix} 1&-1&0\\ -1&1&0\\ 0&0&2 \end{bmatrix}.

判断 $B,C,D$ 中哪些与 $A$ 在实数域上合同。

先看 $A$ ：

r(A)=3, \qquad p(A)=2.

判断 $D$ #

$D$ 的前两行线性相关，因此

r(D)=2\neq 3.

所以

A\not\cong D.

判断 $B$ #

$B$ 对应二次型为

\begin{aligned} f_B &=x_1^2-2x_1x_2+2x_2^2+2x_3^2\\ &=(x_1-x_2)^2+x_2^2+2x_3^2. \end{aligned}

所以

r(B)=3, \qquad p(B)=3.

正惯性指数与 $A$ 不同，因此

A\not\cong B.

判断 $C$ #

$C$ 对应二次型为

\begin{aligned} f_C &=x_1^2+x_2^2+2x_2x_3-x_3^2\\ &=x_1^2+(x_2+x_3)^2-2x_3^2. \end{aligned}

所以

r(C)=3, \qquad p(C)=2.

与 $A$ 的秩和正惯性指数均相同，因此

\boxed{A\cong C}.

NOTE
本题也可以通过特征值判断惯性指数：

$B$ 的三个特征值均为正，因此 $p(B)=3$ ；

$C$ 有两个正特征值和一个负特征值，因此 $p(C)=2$ 。

6.4 正定二次型#

本节只在实数域上讨论。

设

f(X)=X^TAX,

其中 $A$ 为实对称矩阵。

五类实二次型#

正定#

若对任意 $X\neq 0$ ，都有

X^TAX>0,

则称 $f$ 为正定二次型， $A$ 为正定矩阵。

记作

A>0.

负定#

若对任意 $X\neq 0$ ，都有

X^TAX<0,

则称 $f$ 为负定二次型， $A$ 为负定矩阵。

等价地：

A\text{ 负定} \Longleftrightarrow -A\text{ 正定}.

半正定#

若对任意 $X$ ，都有

X^TAX\ge 0,

则称 $f$ 为半正定二次型， $A$ 为半正定矩阵。

记作

A\ge 0.

半负定#

若对任意 $X$ ，都有

X^TAX\le 0,

则称 $f$ 为半负定二次型， $A$ 为半负定矩阵。

不定#

若存在非零向量 $X_1,X_2$ ，使

X_1^TAX_1>0, \qquad X_2^TAX_2<0,

则称 $f$ 为不定二次型。

WARNING
正定、负定、半正定、半负定矩阵在本课程中都首先要求是实对称矩阵。

正定二次型的等价判据#

设 $f=X^TAX$ ， $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵。下列条件等价：

$f$ 为正定二次型；
$f$ 的正惯性指数为 $n$ ；
$A$ 的全部特征值都大于 $0$ ；
存在 $n$ 阶可逆实矩阵 $B$ ，使
$A=B^TB;$
$A$ 与单位矩阵 $I_n$ 合同。

其中第 5 条与第 2 条本质相同，因为正惯性指数为 $n$ 时，规范形就是

y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2.

证明逻辑#

$(1)\Rightarrow(2)$ #

若标准形中存在系数 $d_i\le 0$ ，取只有对应分量为 $1$ 的 $Y$ ，再令 $X=CY$ ，便得到非零 $X$ 使 $f(X)\le 0$ ，与正定矛盾。

因此所有标准形系数都大于 $0$ ，正惯性指数为 $n$ 。

$(2)\Leftrightarrow(3)$ #

正惯性指数等于实对称矩阵正特征值的个数，因此正惯性指数为 $n$ ，等价于全部特征值都大于 $0$ 。

$(3)\Rightarrow(4)$ #

实对称矩阵可正交对角化：

A=U\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)U^T.

因为 $\lambda_i>0$ ，令

B= \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1},\ldots,\sqrt{\lambda_n})U^T,

则

A=B^TB.

$(4)\Rightarrow(1)$ #

若 $A=B^TB$ 且 $B$ 可逆，则对任意 $X\neq 0$ ，

X^TAX = X^TB^TBX = (BX)^T(BX) = \|BX\|^2>0.

因为 $B$ 可逆，所以 $X\neq 0$ 时 $BX\neq 0$ 。

顺序主子式#

在 $n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})$ 中，取相同编号的 $k$ 行与 $k$ 列组成的行列式，称为 $k$ 阶主子式。

若取前 $k$ 行、前 $k$ 列，则称为 $k$ 阶顺序主子式：

\Delta_k= \begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1k}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{k1}&\cdots&a_{kk} \end{vmatrix}.

因此：

\Delta_1=a_{11},

\Delta_2= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix},

\Delta_n=|A|.

一个 $n$ 阶矩阵只有 $n$ 个顺序主子式。

Sylvester 判据#

对于实对称矩阵 $A$ ：

\boxed{ A\text{ 正定} \Longleftrightarrow \Delta_1>0,\Delta_2>0,\ldots,\Delta_n>0 }.

这是判断具体矩阵正定性时最常用的方法。

TIP
方法选择：

具体低阶矩阵、含参数矩阵：优先使用顺序主子式；

已知特征值：直接检查特征值是否全正；

抽象证明题：常用定义、特征值判据或 $A=B^TB$ 分解。

例：平方和型二次型是否正定#

判断

f=(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2

是否正定。

它对应的矩阵为全 $1$ 矩阵

A= \begin{bmatrix} 1&1&\cdots&1\\ 1&1&\cdots&1\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&1&\cdots&1 \end{bmatrix}.

当 $n\ge 2$ 时，

\Delta_2= \begin{vmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{vmatrix} =0.

所以它不正定。

也可以直接取非零向量

X= \begin{bmatrix} 1\\-1\\0\\\vdots\\0 \end{bmatrix},

此时

f(X)=0.

因此该二次型是半正定的，且

r(A)=1, \qquad p(A)=1.

例：含参数二次型的正定范围#

判断

f= x_1^2 +2t x_1x_2 +2x_1x_3 +4x_2^2 +2x_3^2

在什么条件下正定。

矩阵为

A= \begin{bmatrix} 1&t&1\\ t&4&0\\ 1&0&2 \end{bmatrix}.

三个顺序主子式：

\Delta_1=1>0,

\Delta_2= \begin{vmatrix} 1&t\\ t&4 \end{vmatrix} =4-t^2,

\Delta_3 = |A| = 4-2t^2.

根据 Sylvester 判据，需要

4-t^2>0, \qquad 4-2t^2>0.

第二个条件更强，因此

t^2<2.

所以

\boxed{-\sqrt2<t<\sqrt2}.

负定、半正定与半负定的判据#

负定#

A\text{ 负定} \Longleftrightarrow -A\text{ 正定}.

等价条件：

$A$ 的全部特征值都小于 $0$ ；
负惯性指数为 $n$ ；
顺序主子式满足

\boxed{(-1)^k\Delta_k>0,\qquad k=1,\ldots,n}.

也就是：

奇数阶顺序主子式小于 $0$ ；
偶数阶顺序主子式大于 $0$ 。

半正定#

对实对称矩阵 $A$ ，以下条件等价：

$A\ge 0$ ；
$A$ 的全部特征值都大于等于 $0$ ；
存在实矩阵 $B$ ，使
$A=B^TB;$
这里 $B$ 不要求可逆；
$A$ 的全部主子式都大于等于 $0$ 。

WARNING
半正定时，仅检查顺序主子式 $\Delta_k\ge 0$ 不够。
例如
$A= \begin{bmatrix} 0&0\\ 0&-1 \end{bmatrix}.$
有
$\Delta_1=0,\qquad \Delta_2=0,$
但取 $X=(0,1)^T$ 得
$X^TAX=-1<0.$
所以 $A$ 不是半正定矩阵。
半正定需要检查全部主子式，不能只检查顺序主子式。

半负定#

A\text{ 半负定} \Longleftrightarrow -A\text{ 半正定}.

等价地， $A$ 的全部特征值都小于等于 $0$ 。

正定矩阵的常用性质#

以下均设 $A$ 为实对称正定矩阵。

1. 正数倍仍正定#

若 $k>0$ ，则

kA>0.

因为对任意 $X\neq 0$ ，

X^T(kA)X=kX^TAX>0.

2. 逆矩阵正定#

A^{-1}>0.

因为 $A$ 的特征值均为正， $A^{-1}$ 的特征值是它们的倒数，仍全部为正。

3. 正整数次幂正定#

对任意正整数 $m$ ，

A^m>0.

因为 $A^m$ 的特征值为

\lambda_1^m,\ldots,\lambda_n^m,

仍全部大于 $0$ 。

4. 伴随矩阵正定#

A^*>0.

因为正定矩阵可逆且

A^*=|A|A^{-1}.

又因为

|A|=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n>0,

所以 $A^*$ 是正数与正定矩阵 $A^{-1}$ 的乘积。

5. 可逆合同变换保持正定#

若 $C$ 为实可逆矩阵，则

C^TAC>0.

因为对任意 $X\neq 0$ ，

X^TC^TACX=(CX)^TA(CX)>0,

且 $C$ 可逆保证 $CX\neq 0$ 。

因此：

与正定矩阵合同的实对称矩阵仍正定。

6. 两个正定矩阵之和正定#

若 $A>0,B>0$ ，则

A+B>0.

因为

X^T(A+B)X=X^TAX+X^TBX>0.

7. Kronecker 积正定#

若 $A>0,B>0$ ，则

A\otimes B>0.

若

A=C_1^TC_1, \qquad B=C_2^TC_2,

则

A\otimes B = (C_1\otimes C_2)^T(C_1\otimes C_2).

由于 $C_1,C_2$ 可逆， $C_1\otimes C_2$ 也可逆，因此 $A\otimes B$ 正定。

课堂补充：两个可交换正定矩阵的乘积#

一般情况下，两个正定矩阵的乘积 $AB$ 未必对称，因此不能直接称为正定矩阵。

若再满足

AB=BA,

则

(AB)^T=B^TA^T=BA=AB,

所以 $AB$ 为实对称矩阵。

下面证明其特征值均大于 $0$ 。

设

ABX=\lambda X, \qquad X\neq 0.

由于 $A$ 正定，所以 $A$ 可逆。左乘 $A^{-1}$ ：

BX=\lambda A^{-1}X.

再左乘 $X^T$ ：

X^TBX = \lambda X^TA^{-1}X.

因为 $B>0$ 且 $A^{-1}>0$ ，

X^TBX>0, \qquad X^TA^{-1}X>0.

因此

\lambda>0.

故 $AB$ 的全部特征值都大于 $0$ 。结合 $AB$ 为实对称矩阵，得到

\boxed{AB>0}.

WARNING
“ $A,B$ 正定”本身不能保证 $AB$ 正定。
还需要保证 $AB$ 是实对称矩阵；条件 $AB=BA$ 正是用来保证这一点的。

课堂补充：矩阵和的特征值范围#

设 $A,B$ 为实对称矩阵，且

\sigma(A)\subseteq[a,b], \qquad \sigma(B)\subseteq[c,d].

则

\boxed{ \sigma(A+B)\subseteq[a+c,b+d] }.

证明下界：

因为 $A$ 的全部特征值都不小于 $a$ ，

A-aI\ge 0.

同理，

B-cI\ge 0.

因此

A+B-(a+c)I = (A-aI)+(B-cI) \ge 0.

所以 $A+B$ 的全部特征值都不小于 $a+c$ 。

证明上界：

bI-A\ge 0, \qquad dI-B\ge 0.

于是

(b+d)I-(A+B) = (bI-A)+(dI-B) \ge 0.

所以 $A+B$ 的全部特征值都不大于 $b+d$ 。

本章题型与方法选择#

题型一：由二次型写矩阵#

核心规则：

平方项系数放主对角线；
交叉项系数除以 $2$ 后放对称位置。

题型二：用非退化线性替换化为标准形#

优先使用配方法：

有平方项就围绕平方项配方；
没有平方项就先用和差替换制造平方项；
最后写出完整变量替换；
检查替换矩阵行列式不为 $0$ 。

题型三：用正交线性替换化为标准形#

使用实对称矩阵正交对角化：

写矩阵；
求特征值；
求特征向量；
同一重特征值空间内 Schmidt 正交化；
全部单位化；
构造正交矩阵 $U$ ；
写 $X=UY$ 和标准形。

题型四：求秩与惯性指数#

可选：

配方法：数正、负、非零平方项；
特征值法：数正、负、非零特征值。

题型五：判断合同#

复数域：比较秩；
实数域：比较秩和正惯性指数。

题型六：判断正定#

对于具体矩阵，首选顺序主子式：

\Delta_1>0,\ldots,\Delta_n>0.

对于抽象证明题，常用：

定义 $X^TAX>0$ ；
全部特征值大于 $0$ ；
分解 $A=B^TB$ ；
合同保持正定。

题型七：含参数正定问题#

写出矩阵；
依次计算顺序主子式；
联立不等式；
注意最后一个条件未必自动包含前面的条件，需要检查。

课程范围说明#

根据两次课堂录音，第 6 章四节内容均有讲授：

配方法化二次型为标准形；
二次型的矩阵表示、合同与正交变换；
规范形、惯性定理与合同判定；
正定二次型及其判定和性质。

课堂中没有发现老师明确说明第 6 章某一节“不考”。

需要区分重点程度：

实数域上的规范形、惯性定理、合同判定、正定判定是课堂强调的重点；
复数域上的规范形与合同判定有讲授，但老师明确表示实际使用和考试更侧重实数域；
正定二次型的证明题通常围绕定义、特征值判据、 $A=B^TB$ 分解展开；
具体计算题通常优先使用顺序主子式、配方法或特征值法。

概述#

目录#

6.1 二次型与配方法#

二次型的定义#

二次型的矩阵表示#

怎样由二次型写出矩阵#

线性替换与非退化线性替换#

标准形#

配方法的基本步骤#

情形一：存在平方项#

情形二：所有平方项都为零#

例 6.1.1：含平方项时直接配方#

例 6.1.2：没有平方项时先制造平方项#

配方法的一般结论#

6.2 矩阵合同与正交变换#

线性替换对应的矩阵变化#

合同矩阵#

等价、相似与合同#

正交变换化实二次型为标准形#

正交变换法的计算步骤#

第一步：写出二次型矩阵 AAA#

第二步：求全部特征值#

第三步：求各特征空间#

第四步：在每个特征空间内正交单位化#

第五步：构造正交矩阵#

第六步：写出变量替换和标准形#

例 6.2.1：三元二次型的正交化#

例 6.2.2：二元二次型与坐标旋转#

配方法与正交变换法的区别#

配方法#

正交变换法#

6.3 二次型的规范形与惯性定理#

二次型的秩#

复数域上的规范形#

实数域上的规范形#

惯性定理#

正负惯性指数与符号差#

怎样求正惯性指数#

方法一：配方法#

方法二：求特征值#

合同的判定#

复数域#

实数域#

例 6.3.1：判断哪些矩阵与给定矩阵合同#

判断 DDD#

判断 BBB#

判断 CCC#

6.4 正定二次型#

五类实二次型#

正定#

负定#

半正定#

半负定#

不定#

正定二次型的等价判据#

证明逻辑#

(1)⇒(2)(1)\Rightarrow(2)(1)⇒(2)#

(2)⇔(3)(2)\Leftrightarrow(3)(2)⇔(3)#

(3)⇒(4)(3)\Rightarrow(4)(3)⇒(4)#

(4)⇒(1)(4)\Rightarrow(1)(4)⇒(1)#

顺序主子式#

Sylvester 判据#

例：平方和型二次型是否正定#

例：含参数二次型的正定范围#

负定、半正定与半负定的判据#

负定#

半正定#

半负定#

正定矩阵的常用性质#

1. 正数倍仍正定#

2. 逆矩阵正定#

3. 正整数次幂正定#

4. 伴随矩阵正定#

5. 可逆合同变换保持正定#

6. 两个正定矩阵之和正定#

7. Kronecker 积正定#

课堂补充：两个可交换正定矩阵的乘积#

课堂补充：矩阵和的特征值范围#

本章题型与方法选择#

题型一：由二次型写矩阵#

第一步：写出二次型矩阵 $A$ #

判断 $D$ #

判断 $B$ #

判断 $C$ #

$(1)\Rightarrow(2)$ #

$(2)\Leftrightarrow(3)$ #

$(3)\Rightarrow(4)$ #

$(4)\Rightarrow(1)$ #