Chapter7：数值微分与数值积分

概述#

这一章研究两个问题：

已知函数在若干点的函数值，如何近似计算导数；
定积分难以直接求出时，如何用有限次函数求值近似积分。

二者采用同一条基本路线：

先用简单函数近似原函数，再对简单函数求导或积分。

本章课堂重点如下：

向前差商、向后差商、中心差商及其误差阶；
数值微分中截断误差与舍入误差的平衡；
插值型求积公式与 Newton-Cotes 公式；
梯形公式、Simpson 公式及代数精度；
复化求积的基本思想；
高斯型求积公式、最高代数精度及 Gauss-Legendre 公式的使用。

WARNING
教学范围判断
根据两次课的课件和录音，以下内容未形成课堂教学内容，可以不纳入本章复习重点：

教材 7.1.2 插值型求导公式；

教材 7.1.3 利用样条函数求数值微分；

复化求积中的逐次分半算法；

Romberg 求积公式；

各类误差定理的长篇严格证明。

老师明确说明：逐次分半、Richardson 外推和 Romberg 求积均已跳过，考试不会出现。
高斯型求积是课堂重点。其完整内容虽未出现在当前提供的教材 PDF 页面中，仍属于教学与考试范围。

数值微分#

差商近似的基本思想#

导数的定义为

f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

在数值计算中，无法真正令 $h=0$ 。因此选取一个较小的非零步长 $h$ ，用有限差商近似导数。

数值微分常见于以下情形：

只掌握离散观测数据；
函数表达式复杂，解析求导代价很高；
函数由程序、实验或数值模型给出，只能计算函数值。

图片占位：插入 lesson12 手写 PPT 中“割线斜率逼近切线斜率”的示意图，并标出 $x-h$ 、 $x$ 、 $x+h$ 。

向前差商#

向前差商使用 $x$ 与 $x+h$ 两点：

D_+f(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

由 Taylor 展开，

f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(\xi), \qquad \xi\in(x,x+h).

两边整理得

f'(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{h}{2}f''(\xi).

因此

D_+f(x)=f'(x)+O(h).

向前差商是一阶精度公式，其截断误差与 $h$ 同阶。

向后差商#

向后差商使用 $x-h$ 与 $x$ 两点：

D_-f(x)=\frac{f(x)-f(x-h)}{h}.

由 Taylor 展开，

f(x-h)=f(x)-hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(\xi), \qquad \xi\in(x-h,x).

于是

f'(x)=\frac{f(x)-f(x-h)}{h}+\frac{h}{2}f''(\xi),

从而

D_-f(x)=f'(x)+O(h).

向后差商同样是一阶精度公式。

中心差商#

中心差商使用关于 $x$ 对称的两个点：

D_0f(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}.

分别在 $x$ 点展开：

f(x+h) =f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x) +\frac{h^3}{6}f'''(\xi_1),

f(x-h) =f(x)-hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x) -\frac{h^3}{6}f'''(\xi_2).

两式相减后，常数项和偶次项相互抵消，得到

\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} =f'(x)+O(h^2).

更具体地，可写成

f'(x) =\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} -\frac{h^2}{6}f'''(\xi),

其中 $\xi\in(x-h,x+h)$ 。

因此中心差商是二阶精度公式。

TIP
中心差商精度更高的关键在于节点关于 $x$ 对称。Taylor 展开中的偶次项会在相减时抵消，使主误差从 $O(h)$ 降到 $O(h^2)$ 。

三种差商的比较#

方法	公式	截断误差阶	适用位置
向前差商	$\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$	$O(h)$	左端点或只能获得右侧数据时
向后差商	$\dfrac{f(x)-f(x-h)}{h}$	$O(h)$	右端点或只能获得左侧数据时
中心差商	$\dfrac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$	$O(h^2)$	区间内部，左右数据均可获得时

在相同步长下，中心差商通常优于单边差商。

步长为什么不能无限减小#

从截断误差看， $h$ 越小，差商越接近导数定义中的极限。然而计算机使用有限精度浮点数， $h$ 很小时会出现两个问题：

$f(x+h)$ 与 $f(x-h)$ 非常接近，相减时发生有效数字消失；
函数值中的舍入误差会被分母 $h$ 放大。

设计算机得到的函数值为

\widetilde f(x)=f(x)+e(x), \qquad |e(x)|\le \varepsilon.

用计算函数值形成中心差商：

\widetilde D_0f(x) =\frac{\widetilde f(x+h)-\widetilde f(x-h)}{2h}.

由误差传播可得

|\widetilde D_0f(x)-D_0f(x)| \le \frac{|e(x+h)|+|e(x-h)|}{2h} \le \frac{\varepsilon}{h}.

因此：

截断误差约为 $O(h^2)$ ，随 $h$ 减小而下降；
舍入误差约为 $O(\varepsilon/h)$ ，随 $h$ 减小而上升。

图片占位：插入 lesson12 手写 PPT 中“总误差随步长 $h$ 先减小后增大”的示意图。横轴为 $h$ ，纵轴为误差，标出截断误差、舍入误差和总误差。

WARNING
数值微分中，步长 $h$ 存在合理尺度。直接把 $h$ 设得极小，结果可能更差。

中心差商的最优步长#

假设在相关区间内

|f'''(x)|\le M,

则中心差商的总误差可估计为

E(h)\le \frac{M}{6}h^2+\frac{\varepsilon}{h}.

对右侧关于 $h$ 求极小值：

\frac{\mathrm d}{\mathrm dh} \left(\frac{M}{6}h^2+\frac{\varepsilon}{h}\right) =\frac{M}{3}h-\frac{\varepsilon}{h^2}=0.

因此

h_{\mathrm{opt}} =\left(\frac{3\varepsilon}{M}\right)^{1/3}.

课堂中以双精度机器精度 $\varepsilon\approx 2.22\times10^{-16}$ 为量级说明：若 $M\approx1$ ，合理步长通常约为 $10^{-5}$ ，远大于机器精度本身。

NOTE
实际计算中 $M$ 往往未知，上式主要用于说明原则：高阶差商公式仍需平衡截断误差与舍入误差。

数值积分的基本思想#

设

I(f)=\int_a^b f(x)\,\mathrm dx.

数值积分希望构造

I(f)\approx I_n(f) =\sum_{k=0}^{n}A_kf(x_k).

其中：

$x_k$ 为求积节点；
$A_k$ 为求积系数或权重；
每个节点只需计算一次函数值。

插值型求积公式#

在节点

x_0,x_1,\ldots,x_n

上对 $f(x)$ 作 Lagrange 插值：

L_n(x)=\sum_{k=0}^{n}l_k(x)f(x_k),

其中

l_k(x)=\prod_{j=0,j\ne k}^{n} \frac{x-x_j}{x_k-x_j}.

用插值多项式代替原函数并积分：

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \approx \int_a^b L_n(x)\,\mathrm dx.

于是

\begin{aligned} I_n(f) &=\int_a^b\sum_{k=0}^{n}l_k(x)f(x_k)\,\mathrm dx\\ &=\sum_{k=0}^{n} \left[\int_a^b l_k(x)\,\mathrm dx\right]f(x_k). \end{aligned}

定义

A_k=\int_a^b l_k(x)\,\mathrm dx,

便得到插值型求积公式

I_n(f)=\sum_{k=0}^{n}A_kf(x_k).

图片占位：插入“用插值多项式曲线下的面积近似原函数曲线下面积”的示意图。

求积公式的两个核心要素#

看到任何求积公式时，应先回答两个问题：

在哪些节点 $x_k$ 上计算函数值？
每个函数值前的权重 $A_k$ 是多少？

不同的节点选择和权重选择构成不同的求积公式。

求积余项#

定义求积误差

R_n(f)=I(f)-I_n(f).

对于插值型求积公式，

R_n(f) =\int_a^b\left[f(x)-L_n(x)\right]\,\mathrm dx.

利用插值余项，形式上可写为

R_n(f) =\int_a^b \frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!} \omega_{n+1}(x)\,\mathrm dx,

其中

\omega_{n+1}(x)=\prod_{k=0}^{n}(x-x_k).

课堂要求以理解误差来源为主，无需掌握复杂余项定理的严格证明。

Newton-Cotes 求积公式#

等距节点#

Newton-Cotes 公式选择等距节点：

x_k=a+kh, \qquad k=0,1,\ldots,n,

其中

h=\frac{b-a}{n}.

将这些节点代入插值型求积公式，可写成

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \approx (b-a)\sum_{k=0}^{n}C_k^{(n)}f(x_k).

$C_k^{(n)}$ 称为 Cotes 系数。

TIP
实际计算时直接查 Newton-Cotes 系数表。课堂不要求每次重新积分 Lagrange 基函数求出系数。

梯形公式#

当 $n=1$ 时，只使用端点 $a,b$ ，以一次插值多项式代替 $f(x)$ ：

T(f)=\frac{b-a}{2}\left[f(a)+f(b)\right].

几何上相当于用梯形面积近似曲线下面积。

其误差为

R_T(f) =-\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi), \qquad \xi\in(a,b).

梯形公式对一次及以下多项式精确成立，代数精度为 1。

Simpson 公式#

当 $n=2$ 时，取

x_0=a, \qquad x_1=\frac{a+b}{2}, \qquad x_2=b.

用二次插值多项式代替 $f(x)$ ，得到

S(f) =\frac{b-a}{6} \left[ f(a)+4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b) \right].

该公式又称抛物线公式。

其误差为

R_S(f) =-\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(4)}(\xi), \qquad \xi\in(a,b).

Simpson 公式由二次插值得到，却能对三次多项式精确积分，因此代数精度为 3。

高阶 Newton-Cotes 公式的局限#

理论上可继续增加等距节点并提高插值次数，但课堂强调：

Newton-Cotes 表通常只列到 $n=7$ ；
高次等距插值容易出现数值不稳定；
高阶权重可能出现较大的正负交替；
问题根源来自高次等距多项式插值。

当精度不足时，更合理的做法是：

将区间分成多个较短的子区间；
每个子区间使用低阶稳定公式；
利用积分可加性将结果相加。

这便得到复化求积公式。

代数精度#

定义#

若求积公式

I_n(f)=\sum_k A_kf(x_k)

对所有次数不超过 $m$ 的多项式均精确成立，而对某个 $m+1$ 次多项式不再精确，则称该求积公式具有 $m$ 次代数精度。

WARNING
代数精度描述公式能精确积分到多少次多项式，与某次具体计算得到几位有效数字属于不同概念。

判断方法#

由于

1,x,x^2,\ldots,x^m

构成 $m$ 次及以下多项式空间的一组基，只需依次检验

\int_a^b x^j\,\mathrm dx \overset{?}{=} \sum_k A_kx_k^j, \qquad j=0,1,2,\ldots

即可判断代数精度。

第一个不成立的次数减 1，即为该公式的代数精度。

Newton-Cotes 公式的代数精度#

闭型 Newton-Cotes 公式使用 $n+1$ 个节点，其规律为：

$n$ 为奇数时，代数精度为 $n$ ；
$n$ 为偶数时，代数精度提升到 $n+1$ 。

例如：

梯形公式： $n=1$ ，代数精度为 1；
Simpson 公式： $n=2$ ，代数精度为 3。

偶数阶 Newton-Cotes 公式多出一阶精度，来源于节点对称性造成的额外误差抵消。

复化求积公式#

复化思想#

若在整个 $[a,b]$ 上直接使用高次插值不稳定，可将区间划分为

a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b,

再在每个小区间上使用低阶求积公式：

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)\,\mathrm dx.

图片占位：插入 lesson13 手写 PPT 中“把区间切分为多个小区间，并在每个小区间分别使用梯形或抛物线公式”的示意图。

复化公式的优势：

每个子区间只用低次插值，稳定性较好；
增加子区间即可逐步提高精度；
容易写成循环程序。

复化梯形公式#

令

h=\frac{b-a}{n}, \qquad x_k=a+kh.

在每个 $[x_k,x_{k+1}]$ 上使用梯形公式并相加：

T_n(f) =h\left[ \frac12f(x_0) +\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k) +\frac12f(x_n) \right].

误差为

R_{T_n}(f) =-\frac{b-a}{12}h^2f''(\xi), \qquad \xi\in(a,b).

因此复化梯形公式具有二阶收敛速度： $h$ 减半时，截断误差约缩小为原来的 $1/4$ 。

复化 Simpson 公式#

要求将区间分成偶数个小区间，即 $n$ 为偶数：

h=\frac{b-a}{n}.

每相邻两个小区间为一组，使用一次 Simpson 公式：

S_n(f) =\frac{h}{3} \left[ f(x_0)+f(x_n) +4\sum_{\substack{k=1\\k\text{ 为奇数}}}^{n-1}f(x_k) +2\sum_{\substack{k=2\\k\text{ 为偶数}}}^{n-2}f(x_k) \right].

其权重规律为

1,4,2,4,2,\ldots,4,1.

误差为

R_{S_n}(f) =-\frac{b-a}{180}h^4f^{(4)}(\xi), \qquad \xi\in(a,b).

因此复化 Simpson 公式具有四阶收敛速度。

TIP
课堂指出，实际工作中最常用的等距复化公式通常是复化 Simpson 公式。每三个相邻节点构成一组，分别作抛物线积分后相加。

高斯型求积公式#

问题形式#

考虑带权积分

I(f)=\int_a^b\rho(x)f(x)\,\mathrm dx,

其中

\rho(x)\ge0

称为权函数。

高斯型求积公式写成

I(f) \approx G_n(f) =\sum_{k=1}^{n}A_kf(x_k).

Newton-Cotes 公式预先固定等距节点，高斯型求积同时选择：

求积节点 $x_k$ ；
求积权重 $A_k$ 。

目标是在只计算 $n$ 次函数值的条件下，使代数精度尽可能高。

权函数的作用与积分区间有关。例如在无穷区间上，适当权函数可保证积分收敛。当前课程中可先将 $\rho(x)=1$ 理解为普通定积分。

最高代数精度#

$n$ 点高斯型求积公式中，共有

$n$ 个节点 $x_1,\ldots,x_n$ ；
$n$ 个权重 $A_1,\ldots,A_n$ 。

总计 $2n$ 个待定参数。

若要求公式对

1,x,x^2,\ldots,x^m

均精确成立，则需要满足 $m+1$ 个条件。达到极限时

m+1=2n,

因此

\boxed{m_{\max}=2n-1}.

即 $n$ 点高斯型求积公式的最高代数精度为 $2n-1$ 。

1 个高斯点最高可达到 1 次代数精度；
2 个高斯点最高可达到 3 次代数精度；
3 个高斯点最高可达到 5 次代数精度。

若要精确积分四次多项式，至少需要 3 个高斯点。

老师说明：考试不要求从高斯方程组严格证明 $2n-1$ ，但应理解“函数求值次数少、代数精度高”的意义。

矩条件与高斯方程组#

定义权函数的矩

\mu_j=\int_a^b\rho(x)x^j\,\mathrm dx.

要求公式对 $x^j$ 精确，得到

\sum_{k=1}^{n}A_kx_k^j=\mu_j, \qquad j=0,1,\ldots,2n-1.

展开为

\begin{cases} A_1+A_2+\cdots+A_n=\mu_0,\\ A_1x_1+A_2x_2+\cdots+A_nx_n=\mu_1,\\ \qquad\vdots\\ A_1x_1^{2n-1}+A_2x_2^{2n-1}+\cdots+A_nx_n^{2n-1}=\mu_{2n-1}. \end{cases}

这是关于 $A_k$ 和 $x_k$ 的非线性方程组，课堂称其为高斯方程组。

直接求解小规模高斯方程组可行，但一般情况下计算复杂。正交多项式提供了更清晰的构造方法。

正交多项式为什么会出现#

令

\omega_n(x)=\prod_{k=1}^{n}(x-x_k).

任意 $p_{2n-1}(x)\in P_{2n-1}$ 均可通过多项式除法唯一表示成

p_{2n-1}(x) =\omega_n(x)q_{n-1}(x)+r_{n-1}(x),

其中

q_{n-1},r_{n-1}\in P_{n-1}.

于是

\int_a^b\rho(x)p_{2n-1}(x)\,\mathrm dx = \int_a^b\rho(x)\omega_n(x)q_{n-1}(x)\,\mathrm dx + \int_a^b\rho(x)r_{n-1}(x)\,\mathrm dx.

若选择 $\omega_n$ 满足

\int_a^b\rho(x)\omega_n(x)q(x)\,\mathrm dx=0, \qquad \forall q\in P_{n-1},

则第一项完全消失。

这意味着 $\omega_n$ 应当取为关于权函数 $\rho(x)$ 的 $n$ 次正交多项式。

剩余的 $r_{n-1}(x)$ 只有 $n-1$ 次，使用 $n$ 个节点作插值型求积即可精确积分。

图片占位：插入 lesson13 手写 PPT 中“ $p_{2n-1}=\omega_nq_{n-1}+r_{n-1}$ ，利用正交性消去第一项”的推导图。

高斯节点#

设 $\omega_n(x)$ 是对应权函数和区间上的 $n$ 次正交多项式。高斯节点取为它的全部零点：

\omega_n(x_k)=0, \qquad k=1,2,\ldots,n.

正交多项式的零点具有以下性质：

全部为实数；
全部为单根；
全部位于积分区间内部。

因此高斯求积点可以稳定地取为这 $n$ 个零点。

TIP
高斯节点的核心记忆：

节点 = 对应 $n$ 次正交多项式的全部零点。

高斯求积系数#

确定节点后，对 $r_{n-1}(x)$ 使用 Lagrange 插值。相应基函数可写成

l_k(x) =\frac{\omega_n(x)}{(x-x_k)\omega_n'(x_k)}.

因此高斯权重为

A_k =\int_a^b\rho(x)l_k(x)\,\mathrm dx =\int_a^b \rho(x) \frac{\omega_n(x)}{(x-x_k)\omega_n'(x_k)} \,\mathrm dx.

实际计算中，节点和权重通常直接查表，无需现场推导。

Gauss-Legendre 求积公式#

最常用的情形为

[a,b]=[-1,1], \qquad \rho(x)=1.

对应的正交多项式为 Legendre 多项式，所得公式称为 Gauss-Legendre 求积公式：

\int_{-1}^{1}f(x)\,\mathrm dx \approx \sum_{k=1}^{n}A_kf(x_k).

常用低阶节点和权重如下。

1 点公式#

x_1=0, \qquad A_1=2.

因此

\int_{-1}^{1}f(x)\,\mathrm dx \approx 2f(0).

2 点公式#

x_{1,2}=\pm\frac{1}{\sqrt3}, \qquad A_1=A_2=1.

因此

\int_{-1}^{1}f(x)\,\mathrm dx \approx f\left(-\frac1{\sqrt3}\right) +f\left(\frac1{\sqrt3}\right).

3 点公式#

x_1=-\sqrt{\frac35}, \qquad x_2=0, \qquad x_3=\sqrt{\frac35},

A_1=A_3=\frac59, \qquad A_2=\frac89.

因此

\int_{-1}^{1}f(x)\,\mathrm dx \approx \frac59f\left(-\sqrt{\frac35}\right) +\frac89f(0) +\frac59f\left(\sqrt{\frac35}\right).

NOTE
考试会提供类似教材表 7.4 的高斯积分表。重点在于识别积分类型、选择点数、正确查表和完成区间变换。

区间变换#

高斯表通常针对标准区间 $[-1,1]$ 。对于一般区间 $[a,b]$ ，令

x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t, \qquad -1\le t\le1.

则

\mathrm dx=\frac{b-a}{2}\,\mathrm dt.

因此

\int_a^b f(x)\,\mathrm dx = \frac{b-a}{2} \int_{-1}^{1} f\left( \frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t \right)\,\mathrm dt.

使用 $n$ 点 Gauss-Legendre 公式：

\boxed{ \int_a^b f(x)\,\mathrm dx \approx \frac{b-a}{2} \sum_{k=1}^{n}A_k f\left( \frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t_k \right) }

其中 $t_k,A_k$ 从 $[-1,1]$ 的 Gauss-Legendre 表中查得。

课堂所说的 $[0,2]$ 区间变换

令

x=1+t, \qquad \mathrm dx=\mathrm dt.

则

\int_0^2 f(x)\,\mathrm dx = \int_{-1}^{1}f(1+t)\,\mathrm dt.

若使用 $n$ 点 Gauss-Legendre 公式，只需查出 $t_k,A_k$ ，再计算

\sum_{k=1}^{n}A_kf(1+t_k).

查表题的标准流程#

类似教材例 7.10、例 7.11 的题型按以下步骤完成：

识别积分区间和权函数：判断采用哪一类高斯公式；
确定点数 $n$ ：由题目指定，或根据目标代数精度选择；
变换到标准区间：常见为 $[a,b]\to[-1,1]$ ；
查表读取节点和权重：记录 $t_k,A_k$ ；
把节点映射回原变量：
$x_k=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t_k;$
代入求和：
$I(f)\approx\frac{b-a}{2}\sum_{k=1}^{n}A_kf(x_k).$

WARNING
老师明确说明：类似例 7.10、例 7.11 的高斯积分查表与区间变换题会作为大题出现。节点、权重无需手算，使用方法必须掌握。

本章方法的关系#

数值微分和数值积分都建立在函数近似之上：

1
离散函数值
2
    ↓
3
构造局部或整体近似
4
    ├─ 差商 / Taylor 展开 → 数值微分
5
    └─ 插值多项式       → 数值积分

数值积分内部又形成以下层次：

1
插值型求积公式
2
    ├─ 节点固定为等距节点
3
    │      → Newton-Cotes
4
    │      → 梯形 / Simpson
5
    │      → 区间细分后得到复化公式
6
    │
7
    └─ 节点与权重同时优化
8
           → 高斯型求积
9
           → n 个点达到 2n-1 次代数精度

两条核心权衡：

数值微分：截断误差与舍入误差之间的平衡；
数值积分：函数求值次数、稳定性与代数精度之间的平衡。

复习要点#

必须理解#

三种差商公式如何由 Taylor 展开得到；
中心差商为何比单边差商高一阶；
$h$ 过小时舍入误差为何被放大；
插值型求积公式中节点和权重分别代表什么；
梯形公式与 Simpson 公式的来源；
代数精度的定义和判断方法；
复化求积为何比直接提高插值次数更稳定；
高斯公式为何能用 $n$ 个点达到 $2n-1$ 次代数精度；
高斯节点与正交多项式零点之间的关系。

必须会算#

向前、向后、中心差商；
梯形公式和 Simpson 公式；
复化梯形与复化 Simpson 公式；
通过检验 $1,x,x^2,\ldots$ 判断代数精度；
根据目标多项式次数确定高斯点数；
使用高斯积分表；
将一般区间线性变换到 $[-1,1]$ ；
将节点映射回原区间并完成加权求和。

无需重点准备#

插值型数值求导的一般公式；
样条函数求导；
逐次分半求积算法；
Richardson 外推的详细推导；
Romberg 求积表；
高斯节点和权重的手工高阶求解；
各误差定理的严格证明。