IMicroeconomics-Lesson2：预算约束、消费者选择与显示偏好

作业与课程安排#

本节明确的学习任务：完成慕课学习及线上测验，并向助教提交学习记录。2026-09-28 改为线上自主学习，无须到教室，也不进行线上直播。

事项	具体要求
9 月 28 日学习内容	中国大学 MOOC《中级微观经济学》：3.1 效用函数、3.2 效用函数的性质、3.3 最优化的数学问题。其中 3.3 的完整名称以课堂展示的目录为准
注册	使用普通、免费的学习方式即可，老师明确说无须购买收费专业版；把注册名字告诉助教，便于核对
学习证明	学完后，将学习进度达到 100% 的截图发给助教
平时作业	老师说明不另布置常规线下作业，需要完成线上课程的单元测试及最后的考核任务，提交后把提交结果发给助教。最后一项在转写中不够清楚，具体名称以平台与助教通知为准
成绩反馈	老师可在后台查看成绩；学生端可能看不到分数和对错。有疑问向助教询问，老师后续反馈成绩
完成时间	课后问答中提到“线上作业在考试之前做完即可”。这句话不应直接理解为 9 月 28 日指定学习任务也可延期；如平台或群通知有更早期限，按明确通知执行
后续通知	老师说会请助教在钉钉群发布安排

**注意：**本节录音没有清晰给出各项任务的计分比例，不自行补写百分比。课堂推导题与促销画图题属于学习练习，未听到要求另行提交计分。

老师还提到已在“学在浙大”提供《数理经济学的基本方法》作为参考，供个人学习使用，不要转售。

概述#

这一节的核心是：

先确定消费者 能选什么，再研究消费者 会选什么，最后用实际选择来检验行为是否符合稳定、理性的偏好。

分析链条：

Budget Set（预算集）：价格与收入决定可行范围。
Consumer’s Choice（消费者选择）：在可行范围内选出最优消费组合，形成需求。
Comparative Statics（比较静态）：价格或收入变化时，最优选择怎样变化。
Revealed Preference（显示偏好）：观察“买得起什么、最终选了什么”，检验选择是否前后一致。

本节与课程框架的对应#

课堂依次接续 第三讲《预算约束》，讲解 第四讲《消费者选择》，进入 第五讲《显示偏好》。课堂展示的慕课目录对应第二章“偏好与显示偏好”中的 2.2 预算约束、2.3 消费者选择、2.4 显示偏好原理。

本次附件没有教材正文，因此不标注未经核实的教材章号、页码。以下按课件与老师的授课顺序组织；为帮助理解而补出的推导、公式及纠错，会单独说明。

选择集扩大与福利#

选择的基本表达#

设 $B$ 是可行集合， $C(B)$ 是其中所有最优选项构成的集合：

C(B)=\{x\in B:x\succeq z,\ \forall z\in B\}.

符号含义：

$x\succeq y$ ： $x$ 至少和 $y$ 一样好。
$x\succ y$ ： $x$ 严格优于 $y$ 。
$x\sim y$ ：二者无差异。
$C(B)\subseteq B$ ：选出来的东西必须可行。

课堂在所讨论的集合上假设 $C(B)\neq\varnothing$ ，即至少存在一个最优选项。严格说，非空性还依赖选择问题是否存在最优解；无限集合上的理性偏好本身不能自动保证最大值存在。

老师用“在超市里挑东西”帮助理解： $B$ 是可供选择的范围， $C(B)$ 是最优选项。在消费者理论中，一个 $x$ 往往已经代表一整个消费篮子，例如“3 个梨、4 个苹果”；集合里的元素不能一律理解为单件商品。

课堂证明：可行范围扩大，最优结果不会变差#

已知：

B_1\subseteq B_2,\qquad x\in C(B_1),\quad y\in C(B_2).

证明：

y\succeq x.

推导只需两步：

$x\in C(B_1)\subseteq B_1\subseteq B_2$ ，所以原来的最优选项 $x$ 在新集合中仍然可选。
$y$ 是 $B_2$ 中的最优选项，所以对任意 $z\in B_2$ 都有 $y\succeq z$ 。令 $z=x$ ，得到 $y\succeq x$ 。

直观理解：选择范围变大后，至少还可以保留原来的选择。

反向的 $x\succeq y$ 一般推不出来，因为 $y$ 未必属于 $B_1$ 。若恰好 $y\in B_1$ ，则两边都能比较，得到 $x\sim y$ 。

这里的“不变差”是弱改善，不保证严格变好。新增选项可能都不如原来的最优选项。

三个集合怎样比较#

老师进一步提出 $B_1,B_2,B_3$ 中各选出一个最优点的排序问题。判断方法：

若 $B_1\subseteq B_2\subseteq B_3$ ，则 $x_3\succeq x_2\succeq x_1$ 。
若集合仅有交叉，缺少包含关系，通常不能仅凭集合大小排出全部顺序。
比较的关键是：另一个集合中选出的点，在当前集合里是否可行。

录音未完整保留这道抽象示意题的图形，因此不替它补造确定的排序。

经济学含义：结果与选择自由#

老师举例：父母指定的婚配对象，与自由选择后确定的对象，可能恰好是同一个人。

只按最终结果衡量，结果可能相同。
若重视选择自由，可选范围扩大本身也可能具有价值。

要分清两层：上面的集合证明保证的是 固定偏好下最优结果不会变差；“选择自由本身有价值”属于进一步的福利评价观点。

预算约束集的变动#

竞争性市场与瓦尔拉斯预算集#

在本节的竞争性市场模型中，消费者将价格与收入视为外生给定，个人选择不改变市场价格。

设：

p=(p_1,\ldots,p_n),\qquad x=(x_1,\ldots,x_n),\qquad p_i>0,

名义收入为 $m\geq0$ ，消费空间为 $\mathbb R_+^n$ 。预算集为：

B(p,m)=\left\{x\in\mathbb R_+^n:p\cdot x\leq m\right\}, \qquad p\cdot x=\sum_{i=1}^n p_ix_i.

两种商品时，预算线为：

p_1x_1+p_2x_2=m, \qquad x_2=\frac{m}{p_2}-\frac{p_1}{p_2}x_1.

横截距： $m/p_1$ 。
纵截距： $m/p_2$ 。
斜率： $-p_1/p_2$ ，反映两种商品的交换比例。
预算集包括预算线及其左下方的可行区域。

三个重要性质#

收入增加，预算集扩大#

价格不变，若 $m_1\geq m_2$ ，则：

B(p,m_2)\subseteq B(p,m_1).

原来买得起的组合，现在仍然买得起。两种商品时，预算线向外平行移动。

商品价格下降，预算集扩大#

若 $p\geq p'$ ，则：

B(p,m)\subseteq B(p',m).

这里的向量不等式指：

p_i\geq p_i',\qquad \forall i.

各商品价格都不升，允许部分价格不变。因为 $x_i\geq0$ ，有 $p'\cdot x\leq p\cdot x\leq m$ 。

若仅 $p_1$ 下降，预算线绕纵截距向外旋转。如果价格有涨有跌，不能直接套用这一包含关系。

价格与收入具有零次齐次性#

对任意 $t>0$ ：

B(tp,tm)=B(p,m).

理由是：

tp\cdot x\leq tm \iff p\cdot x\leq m.

价格与收入同时乘上相同正数，可购买的实物组合不变。老师用“更换货币计价单位”说明这一点：只改变面额表示，不会凭空增加购买力。

“预算集扩大”表示可行范围扩大，也就是约束放宽。不要把它读成“限制更强”。

普遍涨价与实际购买力#

由零次齐次性：

B(tp,m)=B\left(p,\frac{m}{t}\right).

若所有价格都变为原来的 $t$ 倍、名义收入不变，就等价于按原价格计算时，收入变为原来的 $1/t$ 。

例如所有价格翻倍、收入不变，预算集与“原价格、收入减半”完全一致。

老师强调：

相对价格变化：商品间交换比例变化。
共同的价格尺度变化：相对价格不变，但给定名义收入的购买力变化。

现实中价格通常有涨有跌、涨幅也不同。本节讨论“全部等比例变化”，是为了把作用机制分开。

计价物与变动的分解#

选择第 $k$ 种商品作为 Numeraire（计价物），将整个预算约束除以 $p_k$ ：

\sum_i\frac{p_i}{p_k}x_i\leq\frac{m}{p_k}.

于是第 $k$ 种商品的价格归一为 1，其他价格都表达为相对它的价格。

复杂的价格—收入变动可以拆成两步：

先固定收入、改变价格，再固定新价格、改变收入。
先固定价格、改变收入，再固定新收入、改变价格。

例如用商品 2 计价，令 $q=p_1/p_2$ 、 $w=m/p_2$ ，预算线写为 $qx_1+x_2=w$ 。从 $(q,w)$ 到 $(q',w')$ ，可经过 $(q',w)$ ，也可经过 $(q,w')$ 。

**不同路径的中间状态可以不同，最终预算集相同。**本节只是在分解预算线的旋转与平移，尚未给出后续斯勒茨基分解所需的补偿规则。

【配图占位 1】 插入本次 PPT 第 4—5 页：收入变化导致平移、价格变化导致旋转，以及“先变价格／先变收入”的两条分解路径。

课堂例题：价格与收入同时变化#

给定：

B_1=B((2,3),100),\quad B_2=B((4,5),200),\quad B_3=B((5,6),250).

求三个预算集的包含关系。

第一步：把收入统一，再比价格。

B_1=B((4,6),200).

与 $B_2$ 相比，收入相同、商品 1 的价格相同， $B_2$ 中商品 2 更便宜，所以：

B_1\subseteq B_2.

第二步：将 $B_2$ 的价格与收入同乘 $5/4$ 。

B_2=B\left(\left(5,\frac{25}{4}\right),250\right).

因为 $25/4=6.25>6$ ，所以：

B_2\subseteq B_3.

最终：

\boxed{B_1\subseteq B_2\subseteq B_3.}

三个横截距都等于 50，纵截距依次为 $100/3$ 、40、 $250/6$ 。因此图上表现为预算集逐步向上扩大。

对应的最优结果满足 $x_3\succeq x_2\succeq x_1$ ，但仍不能仅凭集合扩大断言福利严格增加。

预算约束的应用#

商品税与收入税#

商品税：改变某种商品的购买价格#

对商品 1 征收单位税 $t$ ，并按课堂模型假设消费者面对的价格由 $p_1$ 变为 $p_1+t$ ：

(p_1+t)x_1+p_2x_2\leq m.

纵截距不变，仍为 $m/p_2$ 。
横截距变为 $m/(p_1+t)$ ，向内缩小。
斜率变为 $-(p_1+t)/p_2$ ，相对价格改变。

这里采用的是给定税后消费者价格的简化模型，尚未讨论税负如何在消费者与生产者之间分担。

收入税：降低可支配收入#

把税额简化为给定的 $T$ ：

p_1x_1+p_2x_2\leq m-T.

预算线向内平行移动，相对价格不变。

老师借烟酒、高档消费品等说明不同商品可能承担不同税负。本节需要掌握的是两种税收改变预算约束的方式；课堂口头举出的具体税率、免税范围和税收规模，不作为本笔记的已核实政策事实。

**本节尚未完成税收效率比较。**不能只看两条预算线，就跳到“任何情况下某类税都更优”的结论。

【配图占位 2】 插入本次 PPT 第 6 页：商品税使预算线旋转，给定税额的收入税使预算线平移。商品税后的斜率应标为 $-(p_1+t)/p_2$ 。

商场促销：先明确坐标与规则#

商场出售食品 $F$ 和服装 $G$ ，消费者有现金 $m$ 。

本例的 $F,G$ 都按原价金额度量，例如 $G=100$ 表示原价价值 100 元的服装，不一定实际支付了 100 元。无优惠时：

F+G\leq m.

课堂采用可分商品的简化模型。以下按 $0<T\leq m$ 、优惠仅触发一次、代金券不能兑现金、可以部分使用 理解；若商场规则改变，预算图也要相应改变。

三种方案的共同门槛都是：先按原价购买 $T$ 元服装。

方案一：满 T 元，送 T 元服装专用券#

先用现金买满 $T$ 元服装，再获赠 $T$ 元服装券。

沿预算边界看：

$0\leq G\leq T$ ：增加 1 元服装，要减少 1 元食品。
$T\leq G\leq2T$ ：用赠券增加服装，食品可以保持在 $m-T$ 。
$G\geq2T$ ：赠券用完，继续买服装又要减少食品。

由课堂图补写的边界公式为：

F_{\max}(G)= \begin{cases} m-G,&0\leq G\leq T,\\ m-T,&T\leq G\leq2T,\\ m+T-G,&2T\leq G\leq m+T. \end{cases}

关键点依次是：

(0,m),\quad(T,m-T),\quad(2T,m-T),\quad(m+T,0).

中间的水平段表示：额外服装由专用券支付，暂时不用牺牲食品消费。

方案二：满 T 元以后，新增服装五折#

前 $T$ 元服装原价购买，超过门槛的部分按五折计价。因此：

F_{\max}(G)= \begin{cases} m-G,&0\leq G\leq T,\\ m-T-\dfrac{G-T}{2},&T\leq G\leq2m-T. \end{cases}

超过门槛后，预算线斜率从 $-1$ 变为 $-1/2$ 。

全部现金用来买服装时：

T+\frac{G-T}{2}=m \quad\Rightarrow\quad \boxed{G_{\max}=2m-T.}

横截距少于 $2m$ ，原因是前 $T$ 元仍按原价支付。不要把“超过门槛的部分五折”理解成“整单都五折”。

方案三：满 T 元，送 T 元全场通用券#

先购买 $T$ 元服装，获得的券可以购买食品，也可以购买服装。

在 $G=T$ 处：

原本最多买 $m-T$ 元食品。
现在可用赠券再买 $T$ 元食品，达到 $F=m$ 。

边界为：

F_{\max}(G)= \begin{cases} m-G,&0\leq G<T,\\ m+T-G,&T\leq G\leq m+T. \end{cases}

在门槛处可行范围向上扩展。图形包括原有预算集，以及满足 $G\geq T$ 、 $F+G\leq m+T$ 的新增区域。

**为什么比方案一更灵活？**因为方案一只能把赠券用于服装，方案三允许把它分配给两类商品，所以方案一的预算集包含于方案三的预算集。

**为什么与直接发 T 元通用券不同？**因为本方案仍要求先买满 $T$ 元服装；直接发券则从一开始就有 $F+G\leq m+T$ ，连 $G<T$ 的区域也会扩大。

【配图占位 3】 插入本次 PPT 第 7—8 页的促销条件及方案一、二预算图；另补方案三：横轴 $G$ 、纵轴 $F$ ，标出门槛 $T$ 、点 $(T,m)$ 与横截距 $m+T$ 。用不同阴影区分原预算集与新增区域。

建模时真正要抓住什么#

老师反复强调：现实商场商品很多，衣服也不能任意切分；模型通过控制条件，把促销对选择范围的作用单独呈现出来。

做题时先问：门槛针对什么、优惠覆盖什么、能否重复触发、坐标是数量还是原价金额。规则明确以后，再画预算集。

消费者选择与瓦尔拉斯需求#

从选择对应到需求函数#

在瓦尔拉斯预算集上的最优选择，称为 Walrasian Demand（瓦尔拉斯需求），也称 Marshallian Demand（马歇尔需求）。

更严格地区分记号：

D(p,m)=C(B(p,m)).

$D(p,m)$ 可以包含多个最优消费组合，称为需求对应。
如果它只有一个元素，记为 $D(p,m)=\{x(p,m)\}$ ，其中 $x(p,m)$ 就是需求函数。

课件用 $x(p,m)=C(B(p,m))$ 统一表示这两种情况。阅读时要看清当前把 $x$ 当作集合还是一个向量。

函数的要求是：每组给定的输入对应唯一输出。不同价格—收入组合可以产生相同需求，但同一组输入不能同时对应多个不同输出。

课堂例子：为什么最优选择可能不唯一#

若两种商品是完全替代品，无差异曲线可能与预算线重合。此时预算线上的许多点都达到同样的最高偏好水平，需求就是一个集合。

作为课堂图的公式化说明，若：

u(x_1,x_2)=x_1+x_2,\qquad p_1=p_2=1,

则所有满足 $x_1+x_2=m$ 的非负消费组合都最优。

在通常的凸预算集上，若最优解存在且偏好严格凸，最优解至多只有一个。直观上，若两个不同点都最优，它们之间的混合点会更好，就与“已经最优”矛盾。

【配图占位 4】 补入课堂无差异曲线示意：一幅为唯一最优点；另一幅为完全替代品的无差异曲线与预算线重合，整段都最优。录音约 01:02:51—01:05:14。

唯一最优点严格优于其他可行点#

当 $x(p,m)$ 是完整最优选择集合中唯一的元素时：

y\in B(p,m),\quad y\neq x(p,m) \quad\Rightarrow\quad x(p,m)\succ y.

若另一个可行点与它无差异，另一个点也应属于最优选择集合，就违背唯一性。

这里需要“最优解唯一”。如果只是从多个并列最优点中人为选一个记录下来，不能据此推出严格偏好。

需求的零次齐次性#

因为：

B(tp,tm)=B(p,m),

在偏好保持不变时：

\boxed{x(tp,tm)=x(p,m),\qquad t>0.}

同一个预算集、同一套偏好，最优选择相同。多值情况下，成立的是整个需求对应相同。

合意性与瓦尔拉斯定律#

合意性 Desirability#

课件采用的合意性也就是“多多益善”的严格单调性：

x\geq y,\quad x\neq y \quad\Rightarrow\quad x\succ y.

含义是：每一种商品都不少，并且至少一种更多，那么这个组合严格更好。

课堂的水果例子：3 个梨、4 个苹果，优于 3 个梨、3 个苹果。比较时必须保持商品维度一致。

这是一项偏好假设。若某种东西会令人厌恶，或者消费已达到饱和，就不能不加判断地套用。

瓦尔拉斯定律 Walras’ Law#

在本节的标准消费空间、正价格条件下，若偏好满足合意性，最优需求必定满足：

\boxed{p\cdot x(p,m)=m.}

也就是：最优点落在预算线上。

为什么内部点不会最优#

假设 $x^*$ 是最优点，却满足 $p\cdot x^*<m$ ，说明还剩下一点预算。

挑一种商品 $i$ ，增加足够小的 $\varepsilon>0$ ，使：

p\cdot x^*+p_i\varepsilon\leq m.

新组合 $y=x^*+\varepsilon e_i$ 仍可行，又有 $y\geq x^*$ 且不相等。由合意性， $y\succ x^*$ ，与 $x^*$ 最优矛盾。

因此，最优支出只能等于 $m$ 。

【配图占位 5】 插入本次 PPT 第 17 页：预算集内部的 $A$ 点，以及它右上方仍可购买、且严格优于 $A$ 的阴影区域。

预算约束与最优结果要分开#

表达式	含义	所属层次
$p\cdot x\leq m$	买得起	可行性约束
$p\cdot x^*=m$	合意性条件下，最优选择用尽所建模的预算	选择结果

建模时先写不等式，再说明在什么条件下最优解取等号。预算集本身不会自动推出预算耗尽。

现实中存钱，与定律冲突吗#

不冲突，关键是把选择的维度写全。

老师指出：若消费者选择保留货币，货币余额也可以进入选择向量，价格按计价单位记为 1。例如：

p_1x_1+p_2x_2+h\leq m,

其中 $h$ 是保留的现金余额。在相应偏好假设下，最优点满足：

p_1x_1+p_2x_2+h=m.

消费者完全可以取 $h>0$ 。这时预算用在“商品购买与现金保留”的完整组合上。储蓄也可在后续跨期模型中表示为未来消费。

老师还用“带两个馒头去交换，最后拿着一个馒头和一个包子”说明：计价与资源表示可以不同，必须先明确模型中包括哪些商品。

比较静态与价格效应#

比较静态 Comparative Statics#

比较静态研究：外生参数变化后，最优结果怎样变化。

这里外生参数为 $(p,m)$ ，结果为 $x(p,m)$ 。它比较变化前后的最优状态，不刻画中间如何逐步调整。

以下偏导数都在需求可微的局部范围讨论，并且保持未被求导的变量不变。

自身价格效应与交叉价格效应#

\frac{\partial x_i(p,m)}{\partial p_j}

表示商品 $j$ 的价格改变，对商品 $i$ 的需求产生的影响。

$i=j$ ：自身价格效应。
$i\neq j$ ：交叉价格效应。

老师补充的数学表示是雅可比矩阵：

D_px(p,m)= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial p_1}&\cdots&\dfrac{\partial x_1}{\partial p_n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \dfrac{\partial x_n}{\partial p_1}&\cdots&\dfrac{\partial x_n}{\partial p_n} \end{pmatrix}.

行表示“哪种商品的需求”，列表示“哪种商品的价格”。对角线是自身效应，非对角线是交叉效应。这一矩阵表示属于课堂补充，不要求本节证明其高级性质。

普通品与吉芬品#

按自身价格效应分类	条件	含义
普通品／非吉芬品	$\partial x_i/\partial p_i\leq0$	自身涨价，需求不增加
吉芬品 Giffen Good	$\partial x_i/\partial p_i>0$	自身涨价，需求反而增加

**术语校正：**课件第 19 页把第一类称为“正常品”，但“正常品”通常按收入效应定义。为避免混淆，本笔记将价格维度记为“普通品／吉芬品”，收入维度记为“正常品／劣等品”。

课堂例子：低收入家庭的主食消费#

老师用土豆、面包和奶油说明吉芬行为的直觉：

低收入家庭主要依赖便宜主食。
主食降价后，维持原主食数量所需支出减少，实际购买力改善。
家庭可以把一部分饮食换成更喜欢的面包、奶油等。
如果这种消费升级对主食需求的压低作用足够强，主食降价后，购买量反而减少。

这是理解机制的课堂故事。降价省钱并不自动意味着吉芬行为，还要比较价格变化的不同作用；正式分解留待后续课程。

课堂对欧洲饥荒的时间、地点有犹豫，未把这一故事当作已经核实的历史证据。

可核查的中国实证研究#

老师还提到中国低收入家庭接受特定食品补贴后，主食需求反而下降的研究。可核查的相关论文是 Jensen 与 Miller（2008）：实验在湖南与甘肃开展，发现湖南大米的吉芬行为证据较强，甘肃小麦的证据较弱。[1]

录音中的“河南、山西”等说法不采用；也不能据此把该实验直接等同于某次全国消费券政策。

吉芬品与炫耀性消费#

老师借豪华汽车降价、品牌溢价变化提出讨论：如果消费者看重价格所传递的身份信号，降价可能同时削弱炫耀价值。

需要区分：

吉芬行为：在给定偏好等条件下，考察自身价格对需求的影响。
炫耀性消费：价格、身份信号或品牌形象可能进入消费者评价。

因此，仅看到“价格下降、销量也下降”，不能直接认定吉芬品。还要排除收入、竞争、产品质量、偏好与市场环境等同时变化的影响。

课堂同时区分了汽车市场的两种观察口径：新增销售中的占比属于流量口径，现有车辆中的占比属于存量口径。销售占比本身不是数学上的“一阶导数”；这里保留口径差别，不记录未经核对的具体市场比例。

互补品与替代品#

在本节马歇尔需求框架下，保持收入与其他价格不变：

关系	判别式（ $i\neq j$ ）	课堂例子
总互补关系 Gross Complements	$\partial x_i/\partial p_j<0$	电信资费提高，手机需求减少；手机与通信服务配合使用
总替代关系 Gross Substitutes	$\partial x_i/\partial p_j>0$	包子涨价，转而多买馒头

上述例子展示关系的直觉，实际符号仍取决于消费者及所处条件。

两点必要的限定：

非对角线元素不必都是正数。“所有商品总替代”是一项额外假设，老师提及它与一般均衡分析有关，本节不展开。
马歇尔需求的交叉价格效应一般不对称，也不能直接由一个方向的互补／替代推出反方向相同。通常的对称性结论适用于满足相应条件的补偿需求及斯勒茨基矩阵。[2]

价格提供线与需求曲线#

固定 $m,p_2$ ，连续改变 $p_1$ ：

在 $(x_1,x_2)$ 平面中，将各条预算线上的最优点连接起来，得到 Price Offer Curve（价格提供线／价格消费曲线）。
把每个最优点的 $x_1$ 与对应的 $p_1$ 配对，转到横轴 $x_1$ 、纵轴 $p_1$ 的图上，得到商品 1 的需求曲线。

图形	横轴与纵轴	能直接看到什么
价格提供线	$x_1,x_2$	一种价格变化时，两种商品需求怎样共同变化
需求曲线	$x_1,p_1$	商品 1 的价格与其需求量如何对应

价格提供线包含消费组合的信息；需求曲线把价格—数量关系显示得更直观。

【配图占位 6】 插入本次 PPT 第 32—33 页：左侧预算线旋转及最优点轨迹，右侧对应需求曲线。用同色点标出同一次选择在两张图上的位置。

老师还提醒：经验数据可以用来拟合需求关系，但拟合曲线背后仍有模型假设。要把观察、理论推导与检验结合起来。

收入效应与恩格尔曲线#

正常品与劣等品#

保持价格不变，收入效应为：

\frac{\partial x_i(p,m)}{\partial m}.

分类	条件	含义
正常品 Normal Good	$\partial x_i/\partial m\geq0$	收入提高，需求不减少；通常讨论严格增加的情形
劣等品 Inferior Good	$\partial x_i/\partial m<0$	收入提高，需求减少

“劣等”描述的是需求对收入的反应，不等同于质量差。分类可能随收入区间和消费者不同而变化。

本节用“收入效应”指固定价格时收入变化的影响；后续价格分解中的收入效应还会涉及价格变动引起的实际购买力变化，要结合上下文理解。

收入提供线与恩格尔曲线#

固定价格、连续改变收入，预算线平行移动：

在 $(x_1,x_2)$ 平面中连接最优点，得到 Income Offer Curve（收入提供线／收入消费曲线）。
将某一种商品的最优数量与对应收入配对，得到 Engel Curve（恩格尔曲线）。

课件采用横轴 $x_i$ 、纵轴 $m$ 。其他资料也可能把坐标交换，判断弯曲方向前必须先看坐标。

**恩格尔曲线与恩格尔系数不同：**前者描述某种商品需求与收入的关系，后者是食品支出占消费总支出的比重。

【配图占位 7】 插入本次 PPT 第 35 页：预算线平移、收入提供线，以及由同色最优点对应得到的恩格尔曲线。

必需品与奢侈品：以收入弹性判断#

需求的收入弹性为：

\eta_i=\frac{\partial x_i}{\partial m}\frac{m}{x_i},\qquad m>0,\ x_i>0.

它回答：收入增加 1%，需求大约增加百分之几？

分类	收入弹性	直观含义
必需品 Necessity	$0<\eta_i<1$	需求增加的百分比小于收入增加的百分比
单位收入弹性	$\eta_i=1$	二者按相同比例增加
奢侈品 Luxury	$\eta_i>1$	需求增加的百分比大于收入增加的百分比

这里的“奢侈品”是经济学分类，不直接等于日常语言中的昂贵商品。

收入增长怎样改变支出结构#

设商品 $i$ 的预算份额为：

s_i=\frac{p_ix_i}{m}.

固定价格，对收入求导：

\frac{\partial s_i}{\partial m} =\frac{p_ix_i}{m^2}(\eta_i-1).

因此：

必需品：需求数量可以增加，但预算份额下降。
奢侈品：需求数量增加，预算份额也上升。
单位收入弹性商品：预算份额保持不变。

老师提醒：如果一个模型使所有商品需求都随收入同比例增长，消费结构就固定了。这类假设在某些范围内便于分析，但用于解释长期消费升级时需要谨慎。并非所有效用函数都必然产生固定支出结构。

课件的二阶导数表述怎样理解#

课件第 36 页用以下形状说明两类商品：

\text{必需品图示：}\quad \frac{\partial x_i}{\partial m}>0,\qquad \frac{\partial^2x_i}{\partial m^2}<0;

\text{奢侈品图示：}\quad \frac{\partial x_i}{\partial m}>0,\qquad \frac{\partial^2x_i}{\partial m^2}>0.

第一种表示新增收入带来的需求增量递减，第二种表示增量递增。这描述曲率，不能在缺少额外条件时替代收入弹性定义。

一个用于纠错的数学反例：令 $x(m)=10+m^2$ ，在 $m=1$ 时， $x''(m)=2>0$ ，但：

\eta=\frac{2m^2}{10+m^2}=\frac{2}{11}<1.

所以，二阶导数为正本身推不出奢侈品。若还补充适当的过原点及全区间凸凹条件，曲率才可能与弹性分类建立进一步联系。

课件第 37 页以 $m$ 为纵轴、 $x$ 为横轴，所以画的是逆关系。若 $x'(m)>0$ ：

\frac{d^2m}{dx^2}=-\frac{x''(m)}{[x'(m)]^3}.

因此图上的弯曲方向与 $x(m)$ 的二阶导数符号相反。

【配图占位 8】 插入本次 PPT 第 36—37 页，标注“课堂曲率示意；正式分类以收入弹性为准”，并突出横轴是数量、纵轴是收入。

显示偏好与弱公理#

为什么需要显示偏好#

偏好是私人信息，难以直接观察；预算集与实际选择通常可以观察。

**Revealed Preference（显示偏好）**的思路是：从一个人在可行选项之间怎样选择，推断其偏好关系，再看不同选择之间是否一致。

检验依赖几个前提：比较的是同一个主体、定义一致的商品组合，并将偏好视为稳定。商品品质或偏好发生变化时，不能直接把跨情境的不同选择判作逻辑矛盾。

显示偏好弱公理 WARP#

Weak Axiom of Revealed Preference：

若：

x,y\in B,\qquad x\in C(B),

并且在另一个集合中：

x,y\in B',\qquad y\in C(B'),

那么必须有：

\boxed{x\in C(B').}

直观理解：第一次 $x,y$ 都可选， $x$ 属于最优选项；第二次若 $y$ 最优，且 $x$ 仍可行，就不能把 $x$ 排除在最优选项之外。

这里 $C(B)$ 表示全部最优选项的集合。如果存在无差异，公理允许同时选择多个最优点；不意味着现实中必须把两个完整消费篮子一起买下。

为什么理性偏好会导出 WARP#

由 $x\in C(B)$ 且 $y\in B$ ：

x\succeq y.

由 $y\in C(B')$ ：

y\succeq z,\qquad\forall z\in B'.

利用传递性：

x\succeq z,\qquad\forall z\in B'.

再结合 $x\in B'$ ，可知 $x$ 也是 $B'$ 中的最优选项，即 $x\in C(B')$ 。

WARP 的实用推论#

若：

x,y\in B,\quad x\in C(B),\quad y\in C(B'),\quad x\notin C(B'),

则必须有：

\boxed{x\notin B'.}

意思是：后来选了 $y$ 、没有把 $x$ 列为最优选项，那么 $x$ 必须在后来的可行范围之外。

证明：若 $x\in B'$ ，由于 $y\in C(B')\subseteq B'$ ，WARP 就会要求 $x\in C(B')$ ，与已知矛盾。

老师用“换一家超市”解释：原来都能选时选了 $x$ ，后来退而选择 $y$ ，可由“原来的 $x$ 已不可选”解释。在预算模型中，“不可选”也可能是买不起，不限于没有出售。

课堂判断题一#

C(\{x,y\})=\{x\},\qquad C(\{x,y,z\})=\{y\}.

违反 WARP。

第一次 $x,y$ 都可行，选中 $x$ ；第二次二者仍可行，却只把 $y$ 列为最优选项，排除了 $x$ 。

课堂判断题二#

C(\{x\})=\{x\},\quad C(\{x,y\})=\{y\},\quad C(\{y,z\})=\{z\}.

未违反 WARP。

单元素集合中选择 $x$ ，没有显示 $x$ 优于 $y$ 。
$\{x,y\}$ 中选 $y$ ，与 $y$ 优于 $x$ 一致。
$\{y,z\}$ 中选 $z$ ，与 $z$ 优于 $y$ 一致。

这三次选择可以由 $z\succ y\succ x$ 解释，没有发现反向选择矛盾。

课堂判断题三#

C(\{x,y\})=\{x\},\qquad C(\{x,y,z\})=\{x,y\}.

也违反 WARP。

若只从左往右检查，“后来也选了 $x$ ”似乎没问题；但必须反向检查：

在大集合中， $x,y$ 都可行， $y$ 属于最优选择。
在小集合中，二者仍可行， $x$ 属于最优选择。
WARP 要求 $y$ 也属于小集合的最优选择，但题目把它排除了。

** $B$ 与 $B'$ 没有固定的先后顺序， $x,y$ 的符号也可以互换。**任何方向出现矛盾，都构成违反。

【配图占位 9】 可插入本次 PPT 第 43 页或第 53 页的三道集合判断题；第三题旁注明“必须双向检查”。

未违反 WARP 能说明什么#

老师用“疑罪从无”提醒大家：没有找到违反证据，就记为未违反。

严格表述是：**已有观察没有否定 WARP。**有限数据通过 WARP 检验，不自动证明所有可能情形都理性，也不能无条件替代更强的整体一致性检验。

消费者选择中的 WARP#

把集合语言翻译成价格与支出#

设两次观察的唯一最优需求为：

x=x(p,m),\qquad y=x(p',m'),\qquad x\neq y.

“ $x$ 在第二次买得起”等价于：

p'\cdot x\leq m'.

第二次却唯一选择了 $y$ ，说明 $y$ 严格优于 $x$ 。如果第一次 $y$ 也买得起，第一次唯一选择 $x$ 又说明 $x$ 严格优于 $y$ ，就会矛盾。

所以：

\boxed{ x\neq y,\quad p'\cdot x\leq m' \quad\Rightarrow\quad p\cdot y>m. }

也可以交换两次观察的角色：

x\neq y,\quad p\cdot y\leq m \quad\Rightarrow\quad p'\cdot x>m'.

**关键前提：两个选择必须不同，而且这里采用唯一最优需求。**课件第 44 页略去了 $x\neq y$ ；若两次选中同一组合，就不存在这种反向选择矛盾。

四个点积分别在问什么#

支出	问题
$p\cdot x$	第一次价格下，第一次选择花多少钱？
$p\cdot y$	第一次价格下，能否买第二次选择？
$p'\cdot x$	第二次价格下，能否买第一次选择？
$p'\cdot y$	第二次价格下，第二次选择花多少钱？

检验的核心是两个交叉支出。比较时用当前那次的价格和收入，不能把第二次自身支出直接拿来与第一次收入比较。

在合意性成立时，自己的选择满足 $p\cdot x=m$ 、 $p'\cdot y=m'$ 。这来自最优性与偏好假设，单靠预算集定义只能得到不等式。

课堂的三个图形判断#

橙色预算线对应橙色选择点，绿色预算线对应绿色选择点。

图形	可行性关系	结论
左图	两个选择点各自位于另一预算集之外	未违反，两次选择均未显示对另一消费组合的优劣
中图	绿色点在橙色预算集中；橙色点在绿色预算集之外	未违反，在橙色预算下选橙色；换到绿色预算后买不起原来的橙色点
右图	两个不同选择点都位于对方预算集中	违反，两次都买得起两个点，却出现相反的唯一选择

**预算线上的点也买得起。**因此“交叉点恰好位于边界”属于 $\leq$ 的情况，不能当作不可行。

【配图占位 10】 插入本次 PPT 第 45 页或第 54 页的三图判断。依次标注“未违反、未违反、违反”，并标明两次选择点在对方预算集内或外。

数据例题：课堂展示，下次继续#

老师在本节结尾展示下表，并说明因时间关系，下次再讲。本小节保留题目，解答为便于复习补写。

观察	$p_1$	$p_2$	$x_1$	$x_2$
A	2	3	5	6
B	2	2	6	6
C	3	2	6	5

若沿用本节合意性与预算耗尽假设，可由各次实际支出还原收入：

m_A=2\times5+3\times6=28,

m_B=2\times6+2\times6=24,

m_C=3\times6+2\times5=28.

把每个消费组合分别按每次价格计价：

采用哪次价格	A 组合 $(5,6)$	B 组合 $(6,6)$	C 组合 $(6,5)$	该次预算
A： $(2,3)$	28	30	27	28
B： $(2,2)$	22	24	22	24
C： $(3,2)$	27	30	28	28

逐对检查：

A 与 B：A 时买不起 B 组合；B 时可以买 A 组合。没有双向可负担的反向选择。
B 与 C：B 时可以买 C 组合；C 时买不起 B 组合。未违反。
A 与 C：A 时可以买 C 组合却选 A；C 时可以买 A 组合却选 C。两次选择不同，且双方都能负担对方，违反 WARP。

结论：这组观察中的 A、C 构成违反 WARP 的证据。

做题流程#

写出每次价格、收入与选择向量。
先确认不同观察选出的组合是否相同。
计算交叉支出，判断“另一组合买不买得起”。
对每一对观察双向检查。
不同的唯一选择若互相可负担，就违反 WARP。

本节易错点#

容易混淆的地方	正确理解
预算集扩大就一定严格变好	一般只能推出最优结果不变差
价格与收入都涨，所以无法比较	可以先利用零次齐次性，统一收入或计价单位
预算约束一开始就写等号	一般可行性写 $p\cdot x\leq m$ ；合意性等条件下最优点取等号
瓦尔拉斯定律要求现实中不能存钱	应把现金保留、储蓄或未来消费等选择纳入模型
需求永远是函数	多个并列最优点时，需求是对应
普通品与正常品是同一分类	前者看自身价格效应，后者看收入效应
交叉价格效应必为正、必定对称	都不属于一般马歇尔需求的必然性质
豪车降价且销量下降就属于吉芬品	还要控制偏好、竞争、收入等其他条件；炫耀机制另需分析
二阶导数可以直接定义必需品和奢侈品	一般应以需求收入弹性与 1 的比较为准
WARP 只需按题目顺序检查	观察顺序与符号可互换，必须双向检查
点在另一条预算线上就算买不起	边界点可行，条件是支出小于等于收入
两次需求相同也套交叉支出严格不等式	该形式需两次选择不同
通过有限次 WARP 检验就证明完全理性	只能说明已有观察未违反这一检验

资料与核对说明#

本节主要材料#

叶建亮，2026-09-21，《中级微观经济学》第 6—8 节课堂录音转写，附件《上课录音2(1).docx》。关键位置：预算集包含关系约 00:06—00:21；预算数值例题约 00:34—00:39；促销约 00:43—01:00；需求与预算耗尽约 01:00—01:18；比较静态约 01:18—01:55；显示偏好约 01:56—02:25；学习安排约 02:25—02:29。
叶建亮，课堂演示截图，附件《上课PPT2(1).pptx》。本笔记的页码均指该附件的实际幻灯片序号，包含课间界面截图；不等同于原始讲义页码。
《Chapter6(2).md》仅作为网页元信息、标题层级、目录、短段落及中英文术语的排版参考。

用于纠错与补充的来源#

[1] Jensen, Robert T., & Miller, Nolan H. (2008). Giffen Behavior and Subsistence Consumption. American Economic Review, 98(4), 1553–1577. DOI: 10.1257/aer.98.4.1553。期刊 PDF；作者网站 PDF 版本；开放全文。用于核对中国吉芬行为实验的地点、对象与结论。

[2] MIT OpenCourseWare (2015). Consumer Theory — Lecture Slides. 14.121 Microeconomic Theory I, Fall 2015，尤其幻灯片 36—41。官方 PDF。用于核对正常品与普通品的术语区别，以及补偿需求对称性不能直接套用于马歇尔需求的限定。

**整理原则：**机器转写中的“外省”“零次其次”“吉分品”“弱功率”等，按上下文分别更正为“外生”“零次齐次”“吉芬品”“弱公理”。未能核实的口头历史细节与现实统计不写成确定事实；促销分段公式、部分证明和最后的数据表解答为依据课堂内容补出的学习说明。