概述#

这一讲把上一部分的偏好理论进一步转化为可以计算的数学工具，并为后面的消费者最优化问题做准备。

核心链条是：

偏好排序 → 用 效用函数 表示 → 用 无差异曲线 看等效用组合 → 用 边际替代率 MRS 描述局部替代 → 用 凸性 / 替代弹性 描述偏好的形状 → 用 拉格朗日法与 KKT 条件 求约束下的最优选择。

这一讲最需要抓住的三个区别：

效用值本身通常只有序数意义：真正重要的是“谁比谁更好”的排序。
边际效用 MU 依赖效用函数的具体刻度；边际替代率 MRS 在单调递增变换下保持不变，因此更能反映偏好本身。
有约束最优化时，不能只机械写“导数等于 0”，还必须判断约束是否真正起作用，即 binding / unbinding constraint。

效用函数#

效用函数的定义#

消费者理论一开始用偏好关系 $\succeq$ 来表达选择：

$\mathbf{x}\succeq\mathbf{y}$ ：消费者认为消费束 $\mathbf{x}$ 至少不差于 $\mathbf{y}$ 。
$\mathbf{x}\succ\mathbf{y}$ ：严格偏好 $\mathbf{x}$ 。
$\mathbf{x}\sim\mathbf{y}$ ：两者无差异。

但直接操作偏好关系比较麻烦，所以引入 效用函数（utility function）。

从商品空间 $X$ 到实数集的映射 $u:X\to\mathbb{R}$ ，如果满足：

\mathbf{x}\succeq\mathbf{y} \quad\Longleftrightarrow\quad u(\mathbf{x})\ge u(\mathbf{y}),

则称 $u(\cdot)$ 代表（represent） 这一偏好。

这里最重要的是：

效用函数的任务，是把消费者对消费束的排序转换成数字之间的大小比较。

例如：

u(A)=10,\quad u(B)=7

只说明 $A\succ B$ 。通常不能进一步解释为“ $A$ 带来的幸福是 $B$ 的 $10/7$ 倍”。

序数效用与单调递增变换#

偏好的核心是排序，所以现代消费者理论主要采用 序数效用（ordinal utility）。

假设 $u(\mathbf{x})$ 已经代表某个偏好，并对它做一个严格单调递增变换：

v(\mathbf{x})=f(u(\mathbf{x})),\qquad f'(u)>0.

由于 $f$ 单调递增：

u(\mathbf{x})\ge u(\mathbf{y}) \Longleftrightarrow f(u(\mathbf{x}))\ge f(u(\mathbf{y})),

所以 $v(\mathbf{x})$ 与 $u(\mathbf{x})$ 代表同一个偏好。

TIP
因此，一个偏好通常可以由无数个不同的效用函数表示。
真正需要保持的是排序，并不要求保持效用数字本身。

例：C-D 效用函数的对数变换#

若

u(x_1,x_2)=Ax_1^{\alpha}x_2^{\beta},

对其取对数：

\ln u =\ln A+\alpha\ln x_1+\beta\ln x_2.

因为 $\ln(\cdot)$ 是严格单调递增函数，所以

Ax_1^{\alpha}x_2^{\beta}

与

\ln A+\alpha\ln x_1+\beta\ln x_2

代表相同的偏好。

课件把常数项写成 $A$ 的形式时，核心意思不变：只要是单调递增变换，偏好排序就不会改变。

常用效用函数#

Cobb-Douglas（C-D）效用函数#

一般形式：

u(\mathbf{x})=A\prod_{i=1}^{N}x_i^{\alpha_i}.

两种商品时：

u(x_1,x_2)=Ax_1^{\alpha}x_2^{\beta}.

典型特征：

两种商品通常都“有用”；
无差异曲线向原点凸；
后面会看到，它具有平滑、递减的边际替代率。

Leontief 效用函数#

u(\mathbf{x})=\min\{\alpha_i x_i\}.

两种商品时：

u(x_1,x_2)=\min\{ax_1,bx_2\}.

它描述的是完全互补品（perfect complements）。

典型例子：左鞋和右鞋。只有按一定比例配套增加，效用才真正提高。

因此其无差异曲线呈 L 形。

Linear 效用函数#

u(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^{N}\alpha_i x_i.

两种商品时：

u(x_1,x_2)=ax_1+bx_2.

它对应完全替代品（perfect substitutes）。

因为两种商品可以按照固定比例互相替代，所以无差异曲线是直线。

CES 效用函数#

CES = Constant Elasticity of Substitution，不变替代弹性。

一般形式：

u(\mathbf{x})= \left(\sum_{i=1}^{N}\alpha_i x_i^{\rho}\right)^{1/\rho}, \qquad \rho\le 1.

两种商品时：

u(x_1,x_2)= \left[\gamma x_1^{\rho}+(1-\gamma)x_2^{\rho}\right]^{1/\rho}.

$\rho$ 控制两种商品之间的替代程度。

CES 的重要之处在于：它可以把几种常见偏好统一到一个框架里：

$\rho\to 1$ ：趋近线性效用函数 → 完全替代；
$\rho\to 0$ ：趋近 C-D 效用函数；
$\rho\to-\infty$ ：趋近 Leontief 效用函数 → 完全互补。

WARNING
$\rho=0$ 时原表达式本身不能直接代入计算；这里说的是 $\rho\to0$ 的极限。

CES 的商品加总（aggregation）#

课件给出一个很有用的性质：可以先把一组商品聚合成一个“复合商品”。

令

v= \left(\sum_{i=1}^{L}\alpha_i x_i^{\rho}\right)^{1/\rho},

w= \left(\sum_{i=L+1}^{N}\alpha_i x_i^{\rho}\right)^{1/\rho}.

则原 CES 结构可以继续写成：

u(\mathbf{x})= \left(v^{\rho}+w^{\rho}\right)^{1/\rho}.

直观上：

先把一组细分商品合成为“商品组 $v$ ”，另一组合成为“商品组 $w$ ”，再研究两个商品组之间的替代关系。

这使 CES 在宏观、贸易、产业等模型里非常方便。

拟线性（quasi-linear）效用函数#

u(\mathbf{x})=x_1+v(\mathbf{x}_{-1}),

其中

\mathbf{x}_{-1}=(x_2,x_3,\dots,x_N).

$x_1$ 称为 计价物（numeraire）。

两种商品时：

u(x_1,x_2)=x_1+v(x_2).

它的特点是：效用关于 $x_1$ 是线性的，因此 $x_1$ 的边际效用恒定。

效用函数可以嵌套组合#

课件给出的例子是：

u(x_0,\mathbf{x}) =x_0^{1-\gamma} \left(\sum_{i=1}^{N}\alpha_i x_i^{\rho}\right)^{\gamma/\rho}.

可以分两层理解：

$\mathbf{x}$ 内部先用 CES 结构聚合；
聚合后的 $\mathbf{x}$ 与 $x_0$ 再构成 C-D 关系。

所以现实建模时，常见效用函数并不一定单独使用，也可以按经济含义做成嵌套结构。

无差异集与无差异曲线#

给定一个消费束 $\mathbf{x}^*$ ，与它无差异的所有消费束构成无差异集（indifference set）：

I(\mathbf{x}^*) =\{\mathbf{x}\in X:\mathbf{x}\sim\mathbf{x}^*\}.

因为效用函数表示偏好：

I(\mathbf{x}^*) =\{\mathbf{x}\in X:u(\mathbf{x})=u(\mathbf{x}^*)=u^*\}.

在两种商品情况下，这就是无差异曲线（indifference curve）：

u(x_1,x_2)=u^*.

C-D 无差异曲线#

若

u(x_1,x_2)=Ax_1^{\alpha}x_2^{\beta}=u^*,

解出 $x_2$ ：

x_2 =\left(\frac{u^*}{Ax_1^{\alpha}}\right)^{1/\beta}.

若两种商品都是“越多越好”，更高的无差异曲线代表更高的效用水平。

不同效用水平对应的无差异曲线

不同效用函数对应的典型无差异曲线#

常见效用函数的无差异曲线形状

Leontief：L 形 → 完全互补；
C-D：平滑、向原点凸；
一般 CES：形状介于完全替代与完全互补之间；
Linear：直线 → 完全替代。

TIP
无差异曲线比效用数值本身更接近“偏好”的本质。
如果两个效用函数产生完全相同的无差异曲线，并保持高低方向一致，它们就代表同一个偏好。

效用函数的性质#

边际效用#

边际效用（marginal utility, MU）：在其他商品数量不变时，某一种商品消费量边际增加所带来的效用变化。

对商品 $i$ ：

MU_i(\mathbf{x}) =\frac{\partial u(\mathbf{x})}{\partial x_i}.

若商品“越多越好”，通常有：

MU_i(\mathbf{x})\ge0.

但要注意：MU 取决于你给效用函数用了什么数字刻度。

同一个偏好经过单调递增变换后，效用函数会变，MU 通常也会变。

因此 MU 具有明显的基数特征。

边际效用递减#

边际效用递减规律（law of diminishing marginal utility）：随着某种商品消费量增加，再多消费一单位所增加的效用越来越小。

数学上：

\frac{\partial MU_i(\mathbf{x})}{\partial x_i} =\frac{\partial^2u(\mathbf{x})}{\partial x_i^2} \le0.

课件将其称为 Gossen’s First Law（戈森第一定律）。

直观例子：

很饿时第一块面包带来的满足感很大；
吃到第五、第六块时，再增加一块的额外满足通常已经很小。

课件还把这一现象与心理学中的 affective habituation（情感习惯） 和 hedonic adaptation（享乐适应） 联系起来，用来帮助直观理解“同一种刺激重复出现后，新增感受趋弱”。

WARNING
边际效用递减不是序数偏好的不变性质。
同一个偏好可以用不同的单调变换效用函数表示，而二阶导数的符号可能受到变换影响。因此后面研究偏好形状时，更重要的是 MRS、凸性等序数概念。

边际替代率 MRS#

边际替代率（marginal rate of substitution, MRS）：沿着同一条无差异曲线，增加一种商品时，为维持效用不变，需要用多少另一种商品来补偿。

在两种商品情形，沿无差异曲线：

u(x_i,x_j)=\bar u.

全微分：

du =MU_i\,dx_i+MU_j\,dx_j=0.

因此：

MU_i\,dx_i=-MU_j\,dx_j,

进而得到：

\frac{dx_j}{dx_i} =-\frac{MU_i}{MU_j}.

课件采用的定义是：

MRS_{ij} =\frac{dx_j}{dx_i} =-\frac{MU_i}{MU_j}.

它就是无差异曲线在该点的斜率。

WARNING
不同教材对 MRS 的符号约定可能不同。

本课课件： $MRS_{ij}=dx_j/dx_i<0$ ；

另一些教材把“愿意放弃多少 $x_j$ ”定义成正数，因此写成 $-dx_j/dx_i=MU_i/MU_j$ 。

做题时先看老师采用哪一种约定。

直观理解#

如果某点：

MRS_{12}=-3,

可以理解为：

在保持效用不变的局部范围内， $x_1$ 增加约 1 单位时，消费者愿意减少约 3 单位 $x_2$ 。

为什么 MRS 不受单调递增变换影响#

这是本讲一个很关键的逻辑。

设新的效用函数为：

v(\mathbf{x})=f(u(\mathbf{x})),\qquad f'(u)>0.

对商品 $i$ ：

\frac{\partial v}{\partial x_i} =f'(u)\frac{\partial u}{\partial x_i} =f'(u)MU_i.

同理：

\frac{\partial v}{\partial x_j} =f'(u)MU_j.

所以新的 MRS 为：

MRS_{ij}^{v} =-\frac{f'(u)MU_i}{f'(u)MU_j} =-\frac{MU_i}{MU_j} =MRS_{ij}^{u}.

中间共同的 $f'(u)$ 被约掉了。

因此：

MU 会因为效用刻度变化而变化；MRS 不会。

MRS 保留的是偏好的局部斜率信息，所以属于序数偏好本身的性质。

偏好凸性#

偏好凸性（convexity）的定义：如果

\mathbf{x}\succeq\mathbf{z}, \qquad \mathbf{y}\succeq\mathbf{z},

则对任意 $\alpha\in[0,1]$ ：

\alpha\mathbf{x}+(1-\alpha)\mathbf{y} \succeq\mathbf{z}.

偏好凸性的几何含义

这里的

\alpha\mathbf{x}+(1-\alpha)\mathbf{y}

是 $\mathbf{x}$ 与 $\mathbf{y}$ 的加权平均消费束，也就是连接两点线段上的某一点。

直观上：

如果 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 都至少和 $\mathbf{z}$ 一样好，那么把 $\mathbf{x}$ 、 $\mathbf{y}$ 混合起来的组合，也不会比 $\mathbf{z}$ 更差。

这体现消费者对**多样化（diversity）**的偏好。

非凸偏好#

课件同时给出了非凸的无差异曲线形状：

偏好非凸的情形

非凸时，两端消费束都可能很好，但它们的平均组合反而更差，这与“喜欢多样化”的常见假设相冲突。

边际替代率递减#

边际替代率递减的直观含义：

随着商品 $x_1$ 越来越多，消费者为了再得到一点 $x_1$ ，愿意放弃的 $x_2$ 越来越少。

边际替代率递减

沿图中的 A → B → C → D：

左侧 $x_1$ 很少、 $x_2$ 很多时，消费者很缺 $x_1$ ，愿意用较多 $x_2$ 换一点 $x_1$ ；
右侧 $x_1$ 已经很多、 $x_2$ 较少时，继续增加 $x_1$ 的吸引力变小，愿意放弃的 $x_2$ 也减少。

因此无差异曲线会逐渐变平：

|MRS_{12}|\downarrow \qquad \text{as }x_1\uparrow.

课件强调：

边际替代率递减源于偏好凸性。

对光滑、单调的偏好来说，向原点凸的无差异曲线就体现了这一点。

与“边际效用递减”的区别#

这两个概念很容易混：

边际效用递减：看单个 $MU_i$ 随 $x_i$ 怎样变化，依赖效用函数的基数刻度；
边际替代率递减：看 $MU_i/MU_j$ 的相对比率怎样变化，反映无差异曲线形状与偏好凸性。

所以不能简单把“边际效用递减”当成“边际替代率递减”的同义表达。

替代弹性#

**替代弹性（elasticity of substitution）**衡量：

商品消费比例变化，对边际替代率变化的敏感程度。

课件定义：

\sigma_{ij} =\frac{d\ln(x_j/x_i)}{d\ln|MRS_{ij}|}.

为什么用对数？

因为

d\ln z\approx \frac{dz}{z},

所以它比较的是百分比变化。

可以把替代弹性理解为：

\sigma_{ij} \approx \frac{\text{消费比例的百分比变化}} {\text{MRS 绝对值的百分比变化}}.

$\sigma$ 大：相对价格 / MRS 变化一点，消费比例就调整很多 → 容易替代；
$\sigma$ 小：MRS 变化很多，消费比例仍不愿调整 → 不容易替代。

因为 MRS 在单调递增变换下不变，所以替代弹性也属于偏好本身的序数性质。

CES 效用函数与替代弹性#

两种商品的 CES 效用函数：

u(x_1,x_2) =\left[\gamma x_1^{\rho}+(1-\gamma)x_2^{\rho}\right]^{1/\rho}.

第一步：求边际效用之比#

对 $x_1$ ：

MU_1 =\left[\gamma x_1^{\rho}+(1-\gamma)x_2^{\rho}\right]^{\frac1\rho-1} \gamma x_1^{\rho-1}.

对 $x_2$ ：

MU_2 =\left[\gamma x_1^{\rho}+(1-\gamma)x_2^{\rho}\right]^{\frac1\rho-1} (1-\gamma)x_2^{\rho-1}.

共同部分约掉：

\left|MRS_{12}\right| =\frac{MU_1}{MU_2} =\frac{\gamma}{1-\gamma} \left(\frac{x_1}{x_2}\right)^{\rho-1}.

第二步：取对数#

\ln|MRS_{12}| =\ln\frac{\gamma}{1-\gamma} +(\rho-1)\ln\frac{x_1}{x_2}.

因为

\ln\frac{x_1}{x_2} =-\ln\frac{x_2}{x_1},

所以：

d\ln|MRS_{12}| =(1-\rho)d\ln\frac{x_2}{x_1}.

于是：

\boxed{\sigma_{12}=\frac{1}{1-\rho}}.

这就是“Constant Elasticity of Substitution”的来源：给定 $\rho$ 后，替代弹性是一个常数。

对应关系：

$\rho\to1$ ： $\sigma\to\infty$ → 完全替代；
$\rho\to0$ ： $\sigma=1$ → C-D；
$\rho\to-\infty$ ： $\sigma\to0$ → 完全不可替代。

最优化的数学问题#

一维无约束极值#

考虑：

\max_x f(x).

若最优点 $x^*$ 是光滑函数的内部极值点，则一阶必要条件（FOC）为：

f'(x^*)=0.

但 $f'(x^*)=0$ 只说明曲线在这里“变平”，不能单独保证它是最大值。

因此还要看二阶条件（SOC）：

极大值：

f''(x^*)<0;

极小值：

f''(x^*)>0.

几何上：

$f''<0$ ：曲线在该点附近向下弯；
$f''>0$ ：曲线在该点附近向上弯。

有约束最优化为什么更复杂#

现在加入约束，例如：

x\le x_c.

约束改变可行域

原来无约束的极大值点，可能已经落在可行域外面。

此时真正最优点有两种典型情况：

内部最优：无约束最优点刚好仍在可行域内部；
边界最优：无约束最优点不可行，只能停在约束边界。

因此，面对约束时，简单使用

f'(x)=0

可能直接错过最优点。

拉格朗日方程#

考虑：

\max_x f(x)

subject to

g(x)\le0.

本课采用的最大化拉格朗日函数写法是：

\mathcal{L}(x,\lambda) =f(x)-\lambda g(x).

拉格朗日法的核心思想是：

把“约束”通过乘子 $\lambda$ 放进目标函数，使约束优化问题能够用类似无约束微分的方法处理。

如果机械地对 $x$ 和 $\lambda$ 都令偏导为 0：

\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=0,

\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=0,

第二个式子会推出：

g(x^*)=0.

这等于默认“最优点一定在约束边界上”。

但对于不等式约束，这不总成立。

约束可能在最优点处不起作用

图中 $x^*<x_c$ ，此时约束 $x\le x_c$ 并没有真正卡住最优点。

所以必须进一步引入 KKT / Kuhn-Tucker 条件。

库恩-塔克条件#

对于

\max_x f(x)

subject to

g(x)\le0,

采用

\mathcal{L}=f(x)-\lambda g(x),

其一阶 KKT 条件可以整理为：

1. Stationarity（驻点条件）#

\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x} =f'(x^*)-\lambda^*g'(x^*)=0.

2. Primal feasibility（原问题可行性）#

g(x^*)\le0.

3. Dual feasibility（乘子可行性）#

\lambda^*\ge0.

4. Complementary slackness（互补松弛）#

\boxed{\lambda^*g(x^*)=0}.

互补松弛是理解 KKT 的关键。

因为两个量相乘为 0，所以至少有一个必须为 0。

情况 A：约束起作用（binding constraint）#

如果约束刚好卡住最优点：

g(x^*)=0.

此时可以有：

\lambda^*>0.

经济含义：放松这个约束可能提高最优目标值，所以这个约束“有价值”。

情况 B：约束不起作用（unbinding / non-binding constraint）#

如果最优点严格位于可行域内部：

g(x^*)<0,

互补松弛立即要求：

\lambda^*=0.

也就是说，该约束虽然写在问题里，但没有真正限制最优选择。

TIP
记忆 KKT 最直观的一句话：

约束若“卡住”最优点，乘子可以为正；约束若还有富余，乘子必须为 0。

多重约束#

如果有两个不等式约束：

\max_x f(x)

subject to

g(x)\le0,

h(x)\le0,

则：

\mathcal{L}(x,\lambda,\mu) =f(x)-\lambda g(x)-\mu h(x).

每个约束都有自己的乘子和互补松弛条件：

\lambda\ge0, \qquad \lambda g(x)=0,

\mu\ge0, \qquad \mu h(x)=0.

多重约束下的 binding 与 unbinding

课件图中的三个点非常典型：

A 点： $g(x)=0$ ， $h(x)<0$ → $g$ 起作用， $h$ 不起作用；
B 点： $h(x)=0$ ， $g(x)<0$ → $h$ 起作用， $g$ 不起作用；
C 点： $g(x)=0$ 且 $h(x)=0$ → 两个约束都起作用。

多重约束下，出现至少一个 unbinding constraint 是很常见的。

隐藏约束、角点解与内点解#

做消费者问题时，经常有一些容易忘掉的约束，例如：

x_i\ge0.

如果统一把约束写成

g(x)\le0,

那么

x_i\ge0

可以改写成：

-x_i\le0.

课件特别提醒要注意这种隐藏约束。

内点解（interior solution）#

所有非负约束都严格松弛，例如：

x_1^*>0,\quad x_2^*>0.

这时通常可以直接使用光滑的一阶条件。

角点解（corner solution）#

至少有一种商品消费量碰到边界，例如：

x_2^*=0.

此时不能再简单要求关于 $x_2$ 的普通内部 FOC 等于 0，必须结合 KKT 条件判断。

这也是为什么消费者选择里会出现“把钱全部花在一种商品上”的最优解。

最大化与最小化的符号约定#

本课建议先把约束统一写成：

g(x)\le0.

然后：

最大化问题使用：

\max\ \mathcal{L}=f(x)-\lambda g(x).

最小化问题使用：

\min\ \mathcal{L}=f(x)+\lambda g(x).

这样更不容易把乘子的符号条件写乱。

多维空间的极值问题#

现在考虑：

f(x_1,x_2).

二维函数不像一维曲线，某一点可能：

各方向都向上 → 局部最小值；
各方向都向下 → 局部最大值；
一个方向向上、另一个方向向下 → 鞍点（saddle point）。

多维空间中的局部最小、局部最大与鞍点

所以多维问题中，仅有一阶条件还不够。

一阶条件：梯度为 0#

全微分：

df =\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 +\frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2.

记：

f_1=\frac{\partial f}{\partial x_1}, \qquad f_2=\frac{\partial f}{\partial x_2}.

则：

df=(f_1,f_2) \begin{pmatrix} dx_1\\ dx_2 \end{pmatrix}.

如果在内部极值点，任意微小方向 $(dx_1,dx_2)$ 的一阶变化都不能让函数继续上升或下降，就需要：

\boxed{f_1=0,\qquad f_2=0}.

也就是：

\nabla f=\mathbf{0}.

二阶条件：看 Hessian#

二阶微分可以写成：

d^2f =f_{11}dx_1^2 +2f_{12}dx_1dx_2 +f_{22}dx_2^2,

在二阶偏导连续时 $f_{12}=f_{21}$ 。

矩阵形式：

d^2f = \begin{pmatrix} dx_1 & dx_2 \end{pmatrix} \underbrace{ \begin{pmatrix} f_{11} & f_{12}\\ f_{21} & f_{22} \end{pmatrix} }_{H\text{：Hessian 海塞矩阵}} \begin{pmatrix} dx_1\\ dx_2 \end{pmatrix}.

NOTE
课件第 12 页的二阶微分公式中，右下角与部分下标存在明显的排版 / 识别重复。这里按 Hessian 的标准形式整理为 $f_{22}$ ，并保留课件真正要表达的结论。

对于局部最大值，希望从该点往任意微小方向移动，函数的二阶变化都不为正：

d^2f\le0.

因此 Hessian 需要是负半定（negative semidefinite）；若要严格局部极大，一般要求负定。

相应地：

局部最大：Hessian 负半定 / 负定；
局部最小：Hessian 正半定 / 正定；
Hessian 呈不定性时，常见结果是鞍点。

TIP
二维问题做题时的常用判别法（补充）
令
$D=f_{11}f_{22}-f_{12}^2.$
在驻点：

$D>0$ 且 $f_{11}<0$ → 局部极大；

$D>0$ 且 $f_{11}>0$ → 局部极小；

$D<0$ → 鞍点；

$D=0$ → 该判别法不能直接判断。

本讲知识链条#

这一讲的逻辑可以压缩成下面一条主线：

1. 偏好先被效用函数“数字化”#

\mathbf{x}\succeq\mathbf{y} \Longleftrightarrow u(\mathbf{x})\ge u(\mathbf{y}).

效用函数只是偏好的表示工具，所以可以做任意严格单调递增变换。

2. 固定效用水平，得到无差异曲线#

u(x_1,x_2)=\bar u.

曲线上的所有点对消费者来说同样好。

3. 沿无差异曲线做微小移动，得到 MRS#

MRS_{12} =\frac{dx_2}{dx_1} =-\frac{MU_1}{MU_2}.

MRS 描述消费者愿意如何在两种商品之间做局部替代。

4. 偏好凸性带来递减 MRS#

随着 $x_1$ 增多：

|MRS_{12}|\downarrow.

这反映消费者通常偏好多样化消费。

5. 替代弹性衡量“替代有多容易”#

\sigma_{12} =\frac{d\ln(x_2/x_1)}{d\ln|MRS_{12}|}.

CES 的替代弹性恰好恒定：

\sigma=\frac{1}{1-\rho}.

6. 最后进入选择问题：在约束下最大化效用#

后续消费者理论真正要解决的是：

\max_{\mathbf{x}}u(\mathbf{x})

subject to 预算约束以及 $x_i\ge0$ 等条件。

数学工具就是本讲最后建立的：

内点问题：FOC + SOC；
等式 / 起作用的约束：Lagrange；
不等式与角点：KKT；
多维极值：梯度 + Hessian。

到这里，前面的“偏好几何”已经和后面的“消费者最优化”完整接上了。