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39 分钟
Oceanography-Lesson5：海水运动方程（一）
2026-09-28
课程笔记
物理海洋学

概述#

本节正式进入 第三章：海水运动方程。课堂从数学工具开始，随后建立描述海水运动的基本变量，介绍研究流体运动的两种观点，最后从 质量守恒 推出连续性方程。

本节的主线可以压缩成：

数学工具 →\rightarrow 海水运动的基本变量 →\rightarrow 拉格朗日 / 欧拉观点 →\rightarrow 随体导数 →\rightarrow 流场几何描述 →\rightarrow 质量守恒 →\rightarrow 连续性方程

本堂课实际讲到 第二节：连续性方程 并下课。课件章目录还列有“第三节：作用在海水微团上的外力”和“第四节：动量方程”，但本节尚未展开，因此这里不提前写入正文。

课堂对应录音大致从 00:25:11 开始第三章，到 01:31:40 结束。

目录#

预备知识#

这一部分的目的很明确：

后面所有海水运动方程都要用到 向量、微分算子、通量和积分定理。
如果这里不熟，后面看到 ∇p\nabla p、∇⋅u⃗\nabla\cdot\vec u、∇×u⃗\nabla\times\vec u 会很容易混乱。

场 Field#

在数学和物理中，把空间坐标的函数统称为 场（field）。

即：空间中每一个位置都有一个物理量与之对应。

海洋中常见的场包括：

  • 温度场 T(x,y,z,t)T(x,y,z,t)
  • 盐度场 S(x,y,z,t)S(x,y,z,t)
  • 密度场 ρ(x,y,z,t)\rho(x,y,z,t)
  • 压强场 p(x,y,z,t)p(x,y,z,t)
  • 速度场 u⃗(x,y,z,t)\vec u(x,y,z,t)

这里的区别在于：

  • 温度、盐度、密度、压强只有“大小” →\rightarrow 标量场
  • 速度既有“大小”又有“方向” →\rightarrow 矢量场

标量与矢量#

标量 Scalar#

选定测量单位以后，只需要一个数值就可以完整描述。

课堂列出的典型标量：

  • 长度
  • 质量
  • 时间
  • 密度
  • 功
  • 能量
  • 温度
  • 电流强度

矢量 Vector#

除了大小，还必须给出方向。

典型矢量：

  • 力
  • 位移
  • 速度
  • 加速度
  • 动量
  • 冲量
  • 电场强度
  • 磁感应强度

在笛卡尔坐标系中，一个三维矢量可以写成

a⃗=(a1,a2,a3)\vec a=(a_1,a_2,a_3)

或

a⃗=a1i⃗+a2j⃗+a3k⃗\vec a=a_1\vec i+a_2\vec j+a_3\vec k

矢量分析：点积与叉积#

设

a⃗=(a1,a2,a3),b⃗=(b1,b2,b3)\vec a=(a_1,a_2,a_3),\qquad \vec b=(b_1,b_2,b_3)

两者夹角为 θ\theta。

点积 Scalar product / Dot product#

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec a\cdot\vec b = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 = |\vec a||\vec b|\cos\theta

结果是 标量。

物理上，它衡量两个矢量在“同一方向上”的程度：

  • θ=0\theta=0：点积最大
  • θ=90∘\theta=90^\circ：点积为 0
  • θ>90∘\theta>90^\circ：点积为负

叉积 Vector product / Cross product#

a⃗×b⃗=∣i⃗j⃗k⃗a1a2a3b1b2b3∣\vec a\times\vec b = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3 \end{vmatrix}

其大小为

∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡θ|\vec a\times\vec b| = |\vec a||\vec b|\sin\theta

结果是一个 矢量：

  • 大小衡量两矢量“垂直”的程度
  • 方向同时垂直于 a⃗\vec a 和 b⃗\vec b
  • 方向由 右手定则 决定

展开：

a⃗×b⃗=(a2b3−a3b2)i⃗−(a1b3−a3b1)j⃗+(a1b2−a2b1)k⃗\vec a\times\vec b = (a_2b_3-a_3b_2)\vec i - (a_1b_3-a_3b_1)\vec j + (a_1b_2-a_2b_1)\vec k
TIP

课堂在这里提醒了一遍行列式展开的符号：

+−++\quad-\quad+

也就是 j⃗\vec j 对应的第二项前面带负号。

Nabla 算子#

课堂称为 Hamilton 算子 / Nabla 算子，符号为

∇\nabla

在笛卡尔坐标系下：

∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)

它是一个 矢量微分算子：

  • “矢量”属性：有 x,y,zx,y,z 三个方向分量
  • “微分”属性：每个分量又是偏微分运算

最重要的一点：

∇\nabla 的微分作用只作用在它 后面的量 上，因此不能像普通矢量一样随意交换乘法顺序。

例如：

∇⋅a⃗=∂a1∂x+∂a2∂y+∂a3∂z\nabla\cdot\vec a = \frac{\partial a_1}{\partial x} + \frac{\partial a_2}{\partial y} + \frac{\partial a_3}{\partial z}

这是一个已经算完的 标量。

但

a⃗⋅∇=a1∂∂x+a2∂∂y+a3∂∂z\vec a\cdot\nabla = a_1\frac{\partial}{\partial x} + a_2\frac{\partial}{\partial y} + a_3\frac{\partial}{\partial z}

本身仍然是一个 微分算子，后面还应该继续作用于某个函数。

例如它作用在温度 TT 上：

(a⃗⋅∇)T=a1∂T∂x+a2∂T∂y+a3∂T∂z(\vec a\cdot\nabla)T = a_1\frac{\partial T}{\partial x} + a_2\frac{\partial T}{\partial y} + a_3\frac{\partial T}{\partial z}

所以：

∇⋅a⃗≠a⃗⋅∇\boxed{\nabla\cdot\vec a\neq \vec a\cdot\nabla}
WARNING

这是后面“随体导数”最容易看错的地方。

(u⃗⋅∇)φ(\vec u\cdot\nabla)\varphi

表示的是“速度矢量 u⃗\vec u 与微分算子 ∇\nabla 做点积以后，再去作用于 φ\varphi”。

它不能理解成普通的三个量随意交换。

梯度 Gradient#

梯度作用于 标量场。

若

T=T(x,y,z)T=T(x,y,z)

则温度梯度为

∇T=(∂T∂x,∂T∂y,∂T∂z)\nabla T = \left( \frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z} \right)

结果是一个 矢量。

梯度的物理意义#

一个标量场的梯度，指向该标量 增加最快的方向；其大小表示沿这个方向的最大变化率。

因此：

  • 温度本身没有方向
  • 但“温度往哪里升得最快”有方向
  • 所以 ∇T\nabla T 是矢量

对二维等值线图而言：

梯度总是垂直于等值线，并指向数值增大的方向。

课堂用海表温度图举例：

  • 白色 / 红色区域温度较高
  • 蓝色区域温度较低
  • 某一点的温度梯度应从低温一侧指向高温一侧
  • 梯度方向与当地等温线垂直

同时要注意：图上的小箭头是叠加的 速度矢量，并不是温度梯度。

【Slides 图占位｜Slide 29–30】
插入“梯度方向示意图 + 海表温度场与速度矢量图”。重点标注：梯度垂直等值线，并指向温度增大最快方向。

散度 Divergence#

散度作用于 矢量场。

设

a⃗=(a1,a2,a3)\vec a=(a_1,a_2,a_3)

则

∇⋅a⃗=∂a1∂x+∂a2∂y+∂a3∂z\nabla\cdot\vec a = \frac{\partial a_1}{\partial x} + \frac{\partial a_2}{\partial y} + \frac{\partial a_3}{\partial z}

结果是一个 标量。

对于速度场

u⃗=(u,v,w)\vec u=(u,v,w)

有

∇⋅u⃗=∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z\nabla\cdot\vec u = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}

散度的物理意义#

散度描述矢量场在某一点的 发散 / 汇聚程度。

可以把一个很小的流体体积想象成小盒子：

  • 流出去的多于流进来的 →\rightarrow 盒子有“膨胀趋势” →\rightarrow 散度为正
  • 流进来的多于流出去的 →\rightarrow 盒子有“压缩趋势” →\rightarrow 散度为负
  • 流进 = 流出 →\rightarrow 散度为零

课堂用 源（source） 和 汇（sink） 来理解：

∇⋅a⃗>0⇒source\nabla\cdot\vec a>0 \quad\Rightarrow\quad \text{source}∇⋅a⃗<0⇒sink\nabla\cdot\vec a<0 \quad\Rightarrow\quad \text{sink}

把水龙头放在水槽内部：

  • 水龙头不断向外放水，相当于内部存在“源”
  • 周围流体向外发散
  • 散度为正

如果中间有一个排水口：

  • 周围水不断向中间汇聚
  • 相当于“汇”
  • 散度为负

【Slides 图占位｜Slide 32–33】
插入“source / sink 示意图”和课堂展示的二维散度场。用于区分向外发散（正散度）与向内汇聚（负散度）。

旋度 Curl#

旋度也作用于 矢量场。

对于速度场

u⃗=(u,v,w)\vec u=(u,v,w)

旋度为

rot⁡(u⃗)=∇×u⃗=∣i⃗j⃗k⃗∂∂x∂∂y∂∂zuvw∣\operatorname{rot}(\vec u) = \nabla\times\vec u = \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ u&v&w \end{vmatrix}

展开为

∇×u⃗=(∂w∂y−∂v∂z,∂u∂z−∂w∂x,∂v∂x−∂u∂y)\nabla\times\vec u = \left( \frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}, \frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} \right)

结果仍然是一个 矢量。

速度场的旋度也称为 涡度（vorticity）：

ω⃗=∇×u⃗\boxed{\vec\omega=\nabla\times\vec u}

旋度的物理意义#

衡量流场在某一点附近的局地旋转程度。

可以想象在流体中放一个非常小的桨轮：

  • 如果小桨轮会转，说明当地存在旋转
  • 转得越明显，旋度越大
  • 旋度方向由右手定则确定

如果流动在纸面内：

  • 四指沿流体旋转方向弯曲
  • 大拇指方向就是旋度方向

例如：

  • 逆时针旋转 →\rightarrow 旋度垂直纸面向外
  • 顺时针旋转 →\rightarrow 旋度垂直纸面向里
TIP

“流动方向”与“旋度方向”不要混淆。

二维图里的水流在纸面内转，但旋度矢量通常垂直于纸面。

【Slides 图占位｜Slide 41–42】
插入“均一旋度场 / 非均一旋度场”和二维旋转流示意图。建议在图旁标注右手定则。

通量 Flux#

通量描述“一个场通过某个面积的量”。

先定义面积矢量：

dS⃗=n⃗ dSd\vec S=\vec n\,dS

其中 n⃗\vec n 为曲面的单位法向量。

标量场的通量#

若 φ\varphi 为标量场，则

∬Sφ dS⃗\iint_S \varphi\,d\vec S

结果是一个 矢量。

原因很直观：

  • φ\varphi 是标量
  • dS⃗d\vec S 有方向
  • 积分之后仍保留方向

矢量场的标通量#

若 a⃗\vec a 为矢量场，则

∬Sa⃗⋅dS⃗\iint_S \vec a\cdot d\vec S

结果是一个 标量。

点积只保留 a⃗\vec a 在曲面法向方向上的分量。

体积流量#

若 u⃗\vec u 为速度场，则

Q=∬Su⃗⋅dS⃗Q = \iint_S \vec u\cdot d\vec S

表示单位时间通过曲面 SS 的 体积流量。

如果 SS 是闭合控制面的边界，并取外法向为正：

  • Q>0Q>0：净流出
  • Q<0Q<0：净流入

课堂在这里已经为连续性方程埋下伏笔：

如果物质不生不灭，区域内质量 / 密度的变化，只可能来自边界上的流入和流出。

高斯定理 Gauss theorem#

高斯定理也称 散度定理（divergence theorem）。

设 VV 是三维体积，∂V\partial V 是包围它的闭合曲面，则

∬∂Va⃗⋅dS⃗=∭V∇⋅a⃗ dV\boxed{ \iint_{\partial V}\vec a\cdot d\vec S = \iiint_V \nabla\cdot\vec a\,dV }

左边：

∬∂Va⃗⋅dS⃗\iint_{\partial V}\vec a\cdot d\vec S

表示通过整个闭合曲面的 净向外通量。

右边：

∭V∇⋅a⃗ dV\iiint_V \nabla\cdot\vec a\,dV

表示体积内部所有“源”和“汇”的代数总和。

因此：

边界上的净流出 = 内部所有源 / 汇的总效应。

课堂用水槽解释：

如果水槽内部有水龙头不断出水：

  • 内部有正散度，即“源”
  • 为了不让水无限堆积，必须有同样多的水从边界流出去

如果内部有排水口：

  • 内部有负散度，即“汇”
  • 就必须有水从边界流入补充

这就是高斯定理的物理图像。

【Slides 图占位｜Slide 45–47】
插入“闭合体积 + 外法向量 + 内部 source/sink”的高斯定理示意图。

斯托克斯定理 Stokes theorem#

斯托克斯定理把 旋度 和 环流 联系起来。

设曲面为 AA，其边界闭合曲线为 C=∂AC=\partial A，则

∬A(∇×u⃗)⋅dA⃗=∮Cu⃗⋅ds⃗\boxed{ \iint_A (\nabla\times\vec u)\cdot d\vec A = \oint_C \vec u\cdot d\vec s }

左边：

  • 曲面上所有局地旋转的总效果
  • 即旋度穿过曲面的通量

右边：

  • 沿曲面边界一圈的 环流（circulation）

定义

Γ=∮Cu⃗⋅ds⃗\Gamma = \oint_C \vec u\cdot d\vec s

因此 Stokes 定理可以理解为：

边界一圈测到的总环流 = 曲面内部全部局地旋转的总和。

课堂用了“小轮子”来理解：

  • 在流体中放一个很小的轮子，当地旋度越大，轮子转得越明显
  • 如果把整个曲面内部无数小轮子的旋转效果加起来
  • 就等价于沿着最外侧闭合边界测得的总环流

曲线方向与法向方向#

二者必须满足右手定则：

  • 四指沿着闭合曲线 CC 的正方向弯曲
  • 大拇指指向曲面法向 dA⃗d\vec A 的正方向

【Slides 图占位｜Slide 48–49】
插入“曲面 A、边界 C、法向量”的 Stokes 定理示意图。

散度与旋度的局地意义#

课堂把 Gauss / Stokes 定理进一步缩小到“无穷小体积 / 面积”。

散度：单位体积的净通量#

由高斯定理：

∬∂Va⃗⋅dS⃗=∭V∇⋅a⃗ dV\iint_{\partial V}\vec a\cdot d\vec S = \iiint_V\nabla\cdot\vec a\,dV

当体积 V→0V\rightarrow 0 时：

∇⋅a⃗=lim⁡V→01V∬∂Va⃗⋅dS⃗\boxed{ \nabla\cdot\vec a = \lim_{V\rightarrow 0} \frac{1}{V} \iint_{\partial V}\vec a\cdot d\vec S }

所以散度可以理解为：

无穷小体积的单位体积净向外通量。

这就是为什么：

  • 正散度对应膨胀 / 发散
  • 负散度对应压缩 / 汇聚

旋度：单位面积的局地环流#

由 Stokes 定理：

∮Cu⃗⋅ds⃗=∬A(∇×u⃗)⋅dA⃗\oint_C\vec u\cdot d\vec s = \iint_A(\nabla\times\vec u)\cdot d\vec A

对很小的平面面积 AA，法向量为 n⃗\vec n：

(∇×u⃗)⋅n⃗=lim⁡A→01A∮Cu⃗⋅ds⃗\boxed{ (\nabla\times\vec u)\cdot\vec n = \lim_{A\rightarrow 0} \frac{1}{A} \oint_C\vec u\cdot d\vec s }

所以：

旋度在某个方向上的分量 = 垂直该方向的无穷小面积上，单位面积的环流。

WARNING

课件为了直观，把“旋度”直接和“环流 / 面积”写在一起。严格地说，

ΓA\frac{\Gamma}{A}

首先给出的是 旋度在该面积法向方向上的分量：

(∇×u⃗)⋅n⃗(\nabla\times\vec u)\cdot\vec n

这样写在数学上更严谨。

流体的运动方程组#

描述海水运动的 7 个基本变量#

课堂把海水运动状态归结为 7 个基本未知量。

一个矢量场：速度#

u⃗=(u,v,w)\vec u=(u,v,w)

也就是三个速度分量：

  1. uu：xx 方向速度
  2. vv：yy 方向速度
  3. ww：zz 方向速度

四个标量场#

  1. 温度 TT 或位温 θ\theta
  2. 盐度 SS
  3. 密度 ρ\rho
  4. 压强 pp

合计：

3+4=73+4=7

也就是 7 个未知变量。

因此如果要完整求解海水运动，最终需要建立一套足够的方程组来约束它们。

本节首先建立其中最基础的一条守恒关系：

连续性方程——质量守恒。

【Slides 图占位｜Slide 54–59】
插入“流体的运动方程组：7 个基本变量 + Newton 三定律”这一页。

牛顿三定律与海洋中的适用性#

牛顿第一定律#

物体不受外力时，保持：

  • 静止
  • 或匀速直线运动

因此要改变运动状态，就必须有力。

牛顿第二定律#

F⃗=ma⃗\vec F=m\vec a

加速度：

  • 与合外力成正比
  • 与质量成反比
  • 方向与合外力相同

牛顿第三定律#

两个物体之间的作用力与反作用力：

  • 大小相等
  • 方向相反
  • 位于同一直线上

为什么海洋问题还需要额外处理？#

牛顿定律最自然地适用于：

  • 低速运动
  • 宏观物体
  • 惯性坐标系

海洋研究通常相对地球来描述，而地球在自转：

地球坐标系是 非惯性坐标系。

课堂说明后续的处理方法：

  • 仍希望把运动方程写成 Newton 第二定律的形式
  • 因此在旋转坐标系中需要引入相应的惯性力项
  • 其中最重要的就是 科里奥利力（Coriolis force）

同时，真实海水运动过于复杂，后续还会根据问题尺度做近似和简化：

  • 哪些因素重要
  • 哪些因素可以忽略
  • 密度如何近似
  • 是否考虑黏性等

这些是后续海洋 N-S 方程简化的核心。

第一节 研究流体的两种运动观点#

流体由数量极多的流体质点组成。

研究流体时有两种完全不同的“看法”：

拉格朗日：盯着水走。
欧拉：站在原地看水经过。

拉格朗日观点#

Lagrangian viewpoint 的着眼点是：

流体质点。

选定某一个流体质点后，跟着它一起运动，研究：

  • 它去了哪里
  • 速度怎样变化
  • 温度怎样变化
  • 密度怎样变化
  • 其他物理属性怎样随时间改变

如何标记某个质点？#

因为质点一直在移动，不能用“它现在在哪里”来给它永久命名。

所以用它在初始时刻 t=0t=0 的位置

r⃗0\vec r_0

来标记它。

以后该质点的位置写成：

r⃗=r⃗(r⃗0,t)\vec r=\vec r(\vec r_0,t)

某个物理量写成：

φL=φL(r⃗0,t)\varphi_L=\varphi_L(\vec r_0,t)

这里：

  • r⃗0\vec r_0 决定“是哪一个质点”
  • tt 决定“现在是什么时刻”

海洋学例子：漂流浮标#

把一个漂流浮标丢进海里：

  • 浮标跟着海流运动
  • 它的位置随时间变化
  • 我们追踪同一个浮标的轨迹

这就是典型的 Lagrangian 思想。

欧拉观点#

Eulerian viewpoint 的着眼点是：

空间中的固定位置。

在空间中固定一个位置

r⃗=(x,y,z)\vec r=(x,y,z)

然后研究不同时间经过这里的流体状态。

物理量写成：

φE=φE(r⃗,t)\varphi_E=\varphi_E(\vec r,t)

这里：

  • r⃗\vec r 是固定空间位置
  • tt 是时间

欧拉观点不关心：

  • 现在流过来的水以前在哪里
  • 它以后会流到哪里

只关心：

此时此刻，在这个位置上的水是什么状态。

海洋学例子：定点观测#

例如在某个固定位置布放海洋仪器：

  • 流速仪
  • 温度计
  • 压力传感器

仪器固定不动，让不同水团不断流过。

这就是 Eulerian 观测。

两种观点的比较#

Lagrangian 拉格朗日Eulerian 欧拉
着眼点流体质点空间固定点
“谁不动”质点编号 r⃗0\vec r_0 固定空间坐标 r⃗\vec r 固定
描述形式φL(r⃗0,t)\varphi_L(\vec r_0,t)φE(r⃗,t)\varphi_E(\vec r,t)
优点物理意义直观，直接知道粒子从哪里来到哪里去适合建立场方程，工程与观测中最常用
缺点流体质点数量巨大，直接追踪很困难不能直接给出某一个质点的完整轨迹
典型应用漂流浮标、污染物扩散、泥沙输运、水团追踪固定海洋仪器、流速 / 压力 / 温度场、N-S 方程

课堂用了“鸭子过桥”的比喻：

拉格朗日：

  • 坐在小船上
  • 认准其中一只鸭子
  • 一直跟着这只鸭子走

欧拉：

  • 站在桥上不动
  • 数经过桥下的鸭子
  • 上一秒和下一秒经过的可以是不同鸭子

这个比喻非常适合记忆。

【Slides 图占位｜Slide 60–63】
插入“拉格朗日质点轨迹 / 欧拉固定空间点”对比图，以及课堂的“鸭子过桥”示意图。

随体导数 Material derivative#

这是本节最关键的公式之一。

问题从哪里来？#

欧拉观点给出的物理量是

φ=φ(x,y,z,t)\varphi=\varphi(x,y,z,t)

但如果现在问：

“跟着某一团水一起运动，这团水感受到的 φ\varphi 到底变化多快？”

由于水团本身在移动：

x=x(t),y=y(t),z=z(t)x=x(t),\qquad y=y(t),\qquad z=z(t)

所以沿着这个水团的轨迹，

φ=φ[x(t),y(t),z(t),t]\varphi = \varphi[x(t),y(t),z(t),t]

要对它求时间变化率，就必须使用多元函数的链式法则。

第一步：链式法则#

DφDt=∂φ∂t+dxdt∂φ∂x+dydt∂φ∂y+dzdt∂φ∂z\frac{D\varphi}{Dt} = \frac{\partial\varphi}{\partial t} + \frac{dx}{dt}\frac{\partial\varphi}{\partial x} + \frac{dy}{dt}\frac{\partial\varphi}{\partial y} + \frac{dz}{dt}\frac{\partial\varphi}{\partial z}

因为

dxdt=u,dydt=v,dzdt=w\frac{dx}{dt}=u,\qquad \frac{dy}{dt}=v,\qquad \frac{dz}{dt}=w

所以

DφDt=∂φ∂t+u∂φ∂x+v∂φ∂y+w∂φ∂z\boxed{ \frac{D\varphi}{Dt} = \frac{\partial\varphi}{\partial t} + u\frac{\partial\varphi}{\partial x} + v\frac{\partial\varphi}{\partial y} + w\frac{\partial\varphi}{\partial z} }

又因为

u⃗=(u,v,w)\vec u=(u,v,w)

以及

∇φ=(∂φ∂x,∂φ∂y,∂φ∂z)\nabla\varphi = \left( \frac{\partial\varphi}{\partial x}, \frac{\partial\varphi}{\partial y}, \frac{\partial\varphi}{\partial z} \right)

因此后三项正好就是：

u⃗⋅∇φ\vec u\cdot\nabla\varphi

最终得到矢量形式：

DφDt=∂φ∂t+(u⃗⋅∇)φ\boxed{ \frac{D\varphi}{Dt} = \frac{\partial\varphi}{\partial t} + (\vec u\cdot\nabla)\varphi }

其中 φ\varphi 可以是：

  • 温度
  • 压强
  • 密度
  • 盐度
  • 速度分量
  • 其他流体物理量

为什么叫“随体导数”？#

因为

DφDt\frac{D\varphi}{Dt}

描述的是：

跟着某一个流体质点一起运动时，这个质点实际经历的物理量变化率。

当地导数与迁移导数#

随体导数可以分成两部分：

DφDt=∂φ∂t⏟当地导数+(u⃗⋅∇)φ⏟迁移 / 对流导数\frac{D\varphi}{Dt} = \underbrace{\frac{\partial\varphi}{\partial t}}_{\text{当地导数}} + \underbrace{(\vec u\cdot\nabla)\varphi}_{\text{迁移 / 对流导数}}

1. 当地导数 Local derivative#

∂φ∂t\frac{\partial\varphi}{\partial t}

含义：

固定在同一个空间位置，观察该点的物理量怎样随时间变化。

如果 φ=T\varphi=T：

∂T∂t\frac{\partial T}{\partial t}

就是固定观测点的水温随时间变化率。

课堂例子：

假设水完全不流动，但太阳持续照射。

即使

u=v=w=0u=v=w=0

这个位置的水仍然会因为太阳加热而升温，因此

∂T∂t>0\frac{\partial T}{\partial t}>0

这就是当地变化。

2. 迁移导数 / 对流导数 Advective derivative#

(u⃗⋅∇)φ(\vec u\cdot\nabla)\varphi

展开：

u∂φ∂x+v∂φ∂y+w∂φ∂zu\frac{\partial\varphi}{\partial x} + v\frac{\partial\varphi}{\partial y} + w\frac{\partial\varphi}{\partial z}

含义：

因为流体本身在运动，把别处不同的物理量“搬运”到这里，从而引起变化。

它必须同时具备：

  1. 有空间梯度
  2. 有跨梯度方向的流动

只有速度而没有空间差异，搬过来的东西都一样，不会产生对流变化。

只有空间差异而没有流动，也没有东西被搬运过来。

课堂用了两个非常直观的例子。

上游有温泉：

  • 上游水温高
  • 下游观测点较冷
  • 水流把高温水带到下游

于是观测点升温，这部分属于 对流项。

上游有冰川融水：

  • 冰川融水温度低
  • 冷水被流动带到观测点
  • 观测点因此降温

这同样属于对流变化。

两部分可以相互抵消#

非常重要：

DTDt=0\frac{DT}{Dt}=0

并不意味着

∂T∂t=0\frac{\partial T}{\partial t}=0

和

(u⃗⋅∇)T=0(\vec u\cdot\nabla)T=0

分别都成立。

完全可能出现：

  • 当地太阳加热：
∂T∂t>0\frac{\partial T}{\partial t}>0
  • 同时冰川冷水被输送过来：
(u⃗⋅∇)T<0(\vec u\cdot\nabla)T<0

两者恰好抵消：

DTDt=0\frac{DT}{Dt}=0

所以一个水团的总变化率要看 局地变化 + 输运变化 的共同结果。

TIP

建议把随体导数背成一句话：

我站在这里看到的变化 + 水流从别处带来的变化 = 跟着这团水真正经历的变化。

流线、迹线与染色线#

流场有三种常见的几何描述。

1. 流线 Streamline#

定义：

在某一瞬间，空间中处处与当地速度矢量相切的曲线。

特点：

  • 描述某一时刻的 速度场几何结构
  • 是一张瞬时“快照”
  • 并不一定是某个真实质点曾经走过的轨迹

二维中可写为

dxu=dyv\frac{dx}{u} = \frac{dy}{v}

三维中：

dxu=dyv=dzw\frac{dx}{u} = \frac{dy}{v} = \frac{dz}{w}

2. 迹线 Pathline#

定义：

单个流体质点在连续时间中的真实运动轨迹。

这就是典型的 Lagrangian 描述。

如果质点位置为

r⃗(t)\vec r(t)

则满足

dr⃗dt=u⃗(r⃗,t)\frac{d\vec r}{dt} = \vec u(\vec r,t)

把不同时间的位置连起来，就是该质点的迹线。

3. 染色线 / 脉线 Streakline#

定义：

某一给定时刻，所有曾经经过同一个固定空间点的流体质点所组成的曲线。

经典实验：

  • 在固定点连续滴入染料
  • 某一时刻拍照
  • 照片上所有染料所在的线，就是 streakline

三者什么时候相同？#

若流动为 定常流 / 稳态流：

∂u⃗∂t=0\frac{\partial\vec u}{\partial t}=0

则：

streamline=pathline=streakline\boxed{ \text{streamline} = \text{pathline} = \text{streakline} }

若为 非定常流，三者通常不同。

【Slides 图占位｜Slide 68】
插入 streamline / pathline / streakline 三图对比。建议在图下注明：“稳态流三者重合，非稳态流一般不同”。

第二节 连续性方程#

连续性方程的物理本质#

连续性方程来自最基本的物理原则：

质量守恒。

物质不能凭空产生，也不能凭空消失。

因此，对于任意一团流体：

  • 如果跟着这团水一起走，它的总质量不会改变
  • 如果固定看一个空间区域，区域内质量的改变一定来自边界上的净流入 / 净流出

这两个视角分别对应：

  1. Lagrangian
  2. Eulerian

最终必须得到同一个局地方程。

拉格朗日观点下的推导#

Step 1：选定一团“固定身份”的流体质点#

选一个随流体一起运动、一起变形的物质体积

V(t)V(t)

它的边界也跟着流体走。

关键：

框的形状可以改变，但里面始终是 同一批流体质点。

因此这团流体的总质量是

m=∭V(t)ρ dVm = \iiint_{V(t)} \rho\,dV

由于质量守恒：

DmDt=0\boxed{ \frac{Dm}{Dt}=0 }

Step 2：把质量守恒写成体积分#

课堂课件直接写成：

DmDt=∭V(t)[∂ρ∂t+∇⋅(ρu⃗)]dV=0\frac{Dm}{Dt} = \iiint_{V(t)} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\vec u) \right]dV = 0

这里的括号里有两部分：

∂ρ∂t\frac{\partial\rho}{\partial t}

表示固定位置密度的局地变化；

∇⋅(ρu⃗)\nabla\cdot(\rho\vec u)

表示质量通量的净发散。

NOTE

为便于理解，课件中这一步可以看成一个“移动控制体”的输运关系：

物质体内部总质量的变化 = 内部局地变化 + 边界随流体运动造成的输运效果。

因为这个控制体本身就是跟着流体一起跑的，所以它始终包住同一批质点。

Step 3：利用“任意体积”条件#

上式对 任意 物质体积 V(t)V(t) 都成立：

∭V(t)[∂ρ∂t+∇⋅(ρu⃗)]dV=0\iiint_{V(t)} \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\vec u) \right]dV = 0

如果括号内在某处不等于 0，就总能选一个足够小的控制体只包住那一小块区域，使积分不为 0。

因此只能有：

∂ρ∂t+∇⋅(ρu⃗)=0\boxed{ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\vec u) = 0 }

这就是连续性方程。

【Slides 图占位｜Slide 69–71】
插入“随流体变形的物质体”示意图：tt 时刻与 t+Δtt+\Delta t 时刻形状不同，但框内始终是同一批质点。

欧拉观点下的推导#

欧拉观点更适合直接理解“固定控制体”。

Step 1：取一个固定不动的控制体#

取空间中固定的体积

VV

它的边界

A=∂VA=\partial V

也固定不动。

这一回：

  • 框不动
  • 水不断从框中流进流出

所以框内“是哪一批质点”会不断改变。

Step 2：写出控制体内部质量#

控制体内总质量：

M=∭Vρ dVM = \iiint_V\rho\,dV

因为 VV 固定，所以单位时间的质量变化为

dMdt=∭V∂ρ∂t dV\frac{dM}{dt} = \iiint_V \frac{\partial\rho}{\partial t} \,dV

Step 3：计算穿过边界的质量通量#

速度为 u⃗\vec u。

体积流量微元：

u⃗⋅dA⃗\vec u\cdot d\vec A

乘上密度 ρ\rho：

ρu⃗⋅dA⃗\rho\vec u\cdot d\vec A

就是质量流量微元。

对整个闭合边界积分：

∬Aρu⃗⋅dA⃗\iint_A \rho\vec u\cdot d\vec A

取 外法向为正，因此它代表：

净向外质量通量。

所以：

  • 正值：净流出
  • 负值：净流入

Step 4：质量守恒#

控制体内质量增加率 = 净流入率。

而“净流入” = “负的净流出”，所以：

∭V∂ρ∂t dV=−∬Aρu⃗⋅dA⃗\boxed{ \iiint_V \frac{\partial\rho}{\partial t} \,dV = - \iint_A \rho\vec u\cdot d\vec A }

这个负号非常重要。

Step 5：用高斯散度定理#

由

∬Aρu⃗⋅dA⃗=∭V∇⋅(ρu⃗) dV\iint_A \rho\vec u\cdot d\vec A = \iiint_V \nabla\cdot(\rho\vec u) \,dV

所以

∭V∂ρ∂t dV=−∭V∇⋅(ρu⃗) dV\iiint_V \frac{\partial\rho}{\partial t} \,dV = - \iiint_V \nabla\cdot(\rho\vec u) \,dV

移到同一边：

∭V[∂ρ∂t+∇⋅(ρu⃗)]dV=0\iiint_V \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\vec u) \right]dV = 0

因为这对任意固定控制体 VV 都成立：

∂ρ∂t+∇⋅(ρu⃗)=0\boxed{ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\vec u) = 0 }

与拉格朗日观点得到完全相同的结果。

【Slides 图占位｜Slide 72–75】
插入“固定控制体：质点流入与流出”的示意图，并标出外法向 dA⃗d\vec A 与质量通量 ρu⃗⋅dA⃗\rho\vec u\cdot d\vec A。

连续性方程的等价形式#

最基本形式：

∂ρ∂t+∇⋅(ρu⃗)=0\boxed{ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\vec u) = 0 }

利用乘积求导公式：

∇⋅(ρu⃗)=u⃗⋅∇ρ+ρ∇⋅u⃗\nabla\cdot(\rho\vec u) = \vec u\cdot\nabla\rho + \rho\nabla\cdot\vec u

所以：

∂ρ∂t+u⃗⋅∇ρ+ρ∇⋅u⃗=0\frac{\partial\rho}{\partial t} + \vec u\cdot\nabla\rho + \rho\nabla\cdot\vec u = 0

前两项正好构成密度的随体导数：

DρDt=∂ρ∂t+u⃗⋅∇ρ\frac{D\rho}{Dt} = \frac{\partial\rho}{\partial t} + \vec u\cdot\nabla\rho

因此：

DρDt+ρ∇⋅u⃗=0\boxed{ \frac{D\rho}{Dt} + \rho\nabla\cdot\vec u = 0 }

再除以 ρ\rho：

1ρDρDt+∇⋅u⃗=0\boxed{ \frac{1}{\rho} \frac{D\rho}{Dt} + \nabla\cdot\vec u = 0 }

这几个形式表达的是同一件事。

如何理解最后一个式子？#

1ρDρDt=−∇⋅u⃗\frac{1}{\rho}\frac{D\rho}{Dt} = -\nabla\cdot\vec u

如果

∇⋅u⃗>0\nabla\cdot\vec u>0

流体微团有膨胀趋势，则

DρDt<0\frac{D\rho}{Dt}<0

密度下降。

如果

∇⋅u⃗<0\nabla\cdot\vec u<0

流体微团有压缩趋势，则

DρDt>0\frac{D\rho}{Dt}>0

密度升高。

这正好把“散度”和“密度变化”连接起来。

不可压缩流体#

课堂最后引入假设：

流体不可压缩。

它表示跟着流体质点运动时，该质点的密度不因压缩 / 膨胀发生改变：

DρDt=0\boxed{ \frac{D\rho}{Dt}=0 }

代入

DρDt+ρ∇⋅u⃗=0\frac{D\rho}{Dt} + \rho\nabla\cdot\vec u = 0

得到

ρ∇⋅u⃗=0\rho\nabla\cdot\vec u=0

因为海水密度 ρ≠0\rho\neq 0：

∇⋅u⃗=0\boxed{ \nabla\cdot\vec u=0 }

在笛卡尔坐标系下：

∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z=0\boxed{ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0 }

这就是不可压缩流体最常见的连续性方程。

物理意义#

任取一个很小的流体微团：

单位时间从各个方向流出去的总体积，必须和流进来的总体积相等。

也就是：

净体积通量=0\text{净体积通量}=0

因此一个不可压缩流体微团不能因为流动而凭空变大或变小。

WARNING

“不可压缩”对应的是

DρDt=0\frac{D\rho}{Dt}=0

也就是 跟着流体质点走，密度不变。

不要直接把它写成

∂ρ∂t=0\frac{\partial\rho}{\partial t}=0

后者只表示某一个固定空间点的密度不随时间变化，物理意义不同。

另外，课件最后一页的随体导数分母排版混用了 ∂t\partial t；结合前文定义，这里应理解为

DρDt\frac{D\rho}{Dt}

而非 Dρ∂t\frac{D\rho}{\partial t}。

【Slides 图占位｜Slide 76–77】
插入连续性方程从一般形式化到不可压缩形式的公式页，重点框出
∂ρ∂t+∇⋅(ρu⃗)=0\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\vec u)=0
和
∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z=0\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0。

本节知识链#

把本节所有内容串起来：

1. 为什么先讲 ∇\nabla？#

因为海洋里的物理量都是“场”。

我们需要描述：

  • 标量如何在空间变化 →\rightarrow 梯度
  • 流体是否在发散 / 汇聚 →\rightarrow 散度
  • 流体是否在旋转 →\rightarrow 旋度

于是自然出现：

∇φ,∇⋅u⃗,∇×u⃗\nabla\varphi,\qquad \nabla\cdot\vec u,\qquad \nabla\times\vec u

2. 为什么讲 Gauss 定理？#

连续性方程要把：

边界上的流入 / 流出

转化为：

控制体内部的局地变化

Gauss 定理正好完成：

surface flux⟷volume divergence\text{surface flux} \longleftrightarrow \text{volume divergence}

即：

∬∂Vρu⃗⋅dS⃗=∭V∇⋅(ρu⃗)dV\iint_{\partial V}\rho\vec u\cdot d\vec S = \iiint_V\nabla\cdot(\rho\vec u)dV

3. 为什么讲 Lagrangian / Eulerian？#

物理守恒最直观的说法是 Lagrangian：

跟着一团水走，它的质量不变。

但真正建立偏微分方程更方便的是 Eulerian：

在固定空间点上描述 ρ(x,y,z,t)\rho(x,y,z,t) 和 u⃗(x,y,z,t)\vec u(x,y,z,t)。

随体导数

DDt=∂∂t+u⃗⋅∇\frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \vec u\cdot\nabla

就是连接这两个视角的桥梁。

4. 最终得到什么？#

一般连续性方程：

∂ρ∂t+∇⋅(ρu⃗)=0\boxed{ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\vec u) = 0 }

等价形式：

DρDt+ρ∇⋅u⃗=0\boxed{ \frac{D\rho}{Dt} + \rho\nabla\cdot\vec u = 0 }

不可压缩海水：

∇⋅u⃗=0\boxed{ \nabla\cdot\vec u=0 }

也就是：

∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z=0\boxed{ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0 }

易错点整理#

1. ∇⋅a⃗\nabla\cdot\vec a 和 a⃗⋅∇\vec a\cdot\nabla 不一样#

∇⋅a⃗\nabla\cdot\vec a

是散度，算出来是一个标量。

a⃗⋅∇\vec a\cdot\nabla

是微分算子，需要继续作用于后面的函数。

2. 梯度、散度、旋度的输入输出要记清#

运算输入输出物理意义
∇φ\nabla\varphi标量矢量最大增长方向
∇⋅a⃗\nabla\cdot\vec a矢量标量发散 / 汇聚
∇×a⃗\nabla\times\vec a矢量矢量局地旋转

一句话：

标量做梯度变矢量；矢量做散度变标量；矢量做旋度仍是矢量。

3. Gradient 指向“增大最快”，不是“减小最快”#

如果图上高值在左、低值在右：

∇T\nabla T

应指向左。

它垂直于等值线。

4. Divergence 看“净流出”#

取外法向为正：

  • 净流出 >> 0 →\rightarrow 正散度
  • 净流入 >> 0 →\rightarrow 负散度

5. Curl 的方向不在二维旋转平面内#

二维流动在 x−yx-y 平面旋转时：

∇×u⃗\nabla\times\vec u

通常沿 zz 方向。

用右手定则判断正负。

6. 当地导数与随体导数不要混#

∂T∂t\frac{\partial T}{\partial t}

是固定位置的温度变化。

DTDt\frac{DT}{Dt}

是跟着水团一起走时，水团实际经历的温度变化。

两者之间差一个对流项：

DTDt=∂T∂t+u⃗⋅∇T\frac{DT}{Dt} = \frac{\partial T}{\partial t} + \vec u\cdot\nabla T

7. 稳态不等于“水不动”#

稳态只表示：

∂∂t=0\frac{\partial}{\partial t}=0

流场可以有很大的速度，只要每个固定空间点的场量不随时间改变即可。

8. 连续性方程里的负号来自“外法向为正”#

控制体边界通量

∬Aρu⃗⋅dA⃗\iint_A\rho\vec u\cdot d\vec A

定义的是 净流出。

而控制体质量增加来自 净流入，因此：

dMdt=−净流出\frac{dM}{dt} = -\text{净流出}

9. “不可压缩”不要写成 ∂ρ/∂t=0\partial\rho/\partial t=0#

课堂最后真正需要的是：

DρDt=0\frac{D\rho}{Dt}=0

再由连续性方程推出：

∇⋅u⃗=0\nabla\cdot\vec u=0

这条关系后面会反复使用。

一句话总结#

本节真正建立的是一条从 “跟着水团看质量不变” 到 “固定空间中 ∂ρ∂t+∇⋅(ρu⃗)=0\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\vec u)=0” 的桥梁；Nabla 算子、Gauss 定理、Lagrangian / Eulerian 观点和随体导数，全部是在为这一步服务。

Oceanography-Lesson5：海水运动方程（一）
https://www.sleepyfish2031.top/posts/课程笔记/物理海洋学/lesson5/
作者
Sleepyfish
发布于
2026-09-28
许可协议
CC BY-NC-SA 4.0
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