Oceanography-Lesson7：海水运动基本方程组：动量方程、科氏力与盐量扩散方程

WARNING
考试 / 作业提示

考试高频：老师明确提醒，直角坐标系下 $x,y,z$ 三个方向的动量方程很可能要求现场写出。重点应放在“从矢量式展开”的逻辑，尤其是对流项 $(\mathbf V\cdot\nabla)\mathbf V$ 、科氏项和拉普拉斯项，避免只靠死记。

本节暂无作业：老师在下课前说明，准备等这一部分整体讲完后再统一布置作业。

录音为机器转写，其中“科室力 / 引朝历 / 年度”等词存在识别误差。以下笔记以课件中的标准术语统一写作 科氏力 / 引潮力 / 盐度（盐量），并按老师课堂推导补全中间数学步骤。

概述#

这一节课可以分成两大部分：

完成并整理动量方程：从牛顿第二定律出发，用莱布尼兹公式（控制体形式）与高斯定理得到局地动量方程；随后逐项讨论压强梯度力、摩擦力、重力、引潮力以及旋转地球坐标系中的科氏力，并最终写成直角坐标系下的三个分量方程。
进入第四章“海水基本方程组和边界条件”：回顾质量守恒得到连续方程，再把完全相同的“控制体守恒”思路推广到盐量守恒，得到盐量扩散方程。

本节的主线可以压缩成：

守恒定律 → 控制体积分式 → 高斯定理 → 任意控制体 → 局地方程 → 利用连续方程化简。

流体运动基本方程的守恒定律框架

课件给出的整体框架是：

动量守恒 $\rightarrow$ 运动方程（Navier–Stokes 方程）
质量守恒 $\rightarrow$ 连续方程
盐量守恒 $\rightarrow$ 盐量扩散方程
能量守恒 $\rightarrow$ 热传导方程；机械能守恒还可导出波动方程
角动量守恒 $\rightarrow$ 涡度守恒方程

本节实际讲到 连续方程与盐量扩散方程；热传导方程、边界条件与时间平均方程留待后续课程。

目录#

一、从牛顿第二定律推导动量方程
二、作用在海水微团上的力
三、旋转地球坐标系与科氏力
四、最终动量方程
五、第四章：海水运动基本方程组
- 1. 连续方程的重新推导
- 2. 不可压缩与定常的区别
六、盐量扩散方程
七、本节最核心的逻辑链

一、从牛顿第二定律推导动量方程#

1. 系统总动量#

牛顿第二定律写成动量形式：

\frac{D\mathbf P}{Dt}=\sum \mathbf F

对于连续海水，不能再写成单个质点的 $m\mathbf V$ ，要把每个微小体积 $dV$ 的动量累加起来：

d\mathbf P=\rho\mathbf V\,dV

所以系统总动量为

\boxed{\mathbf P=\iiint_{V(t)}\rho\mathbf V\,dV}

这里 $V(t)$ 随流体运动，因此积分区域本身随时间变化。

系统动量、莱布尼兹公式与高斯定理

2. 莱布尼兹公式：为什么会出现“局地变化 + 通量”#

对随时间变化的流体区域求导，不能只把偏导数直接放进积分号。课堂中用莱布尼兹公式把总变化分为两部分：

\frac{D}{Dt}\iiint_{V(t)}\rho\mathbf V\,dV = \iiint_V\frac{\partial(\rho\mathbf V)}{\partial t}\,dV + \iint_A\rho\mathbf V(\mathbf V\cdot d\mathbf A)

两项分别表示：

$\displaystyle \iiint_V\frac{\partial(\rho\mathbf V)}{\partial t}dV$ ：固定空间内动量自身随时间的变化；
$\displaystyle \iint_A\rho\mathbf V(\mathbf V\cdot d\mathbf A)$ ：动量随海水穿过边界流进、流出的净通量。

这就是本节反复出现的核心结构：

一个守恒量在控制体内的变化 = 局地变化 + 由边界输运造成的变化。

第二项是面积分，而后面要和体积力一起相加，因此利用高斯定理：

\iint_A\rho\mathbf V(\mathbf V\cdot d\mathbf A) = \iiint_V\nabla\cdot(\rho\mathbf V\mathbf V)\,dV

于是

\boxed{ \frac{D\mathbf P}{Dt} = \iiint_V \left[ \frac{\partial(\rho\mathbf V)}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\mathbf V\mathbf V) \right]dV }

TIP
$\rho\mathbf V\mathbf V$ 可以理解成“动量通量张量”：流体以速度 $\mathbf V$ 穿过边界，同时携带单位体积动量 $\rho\mathbf V$ 。

3. 合外力：体积力与表面力#

课堂把作用在海水微团上的力分为两类：

体积力 / 质量力#

作用于组成微团的全部质量，大小与质量或体积成正比，例如重力、引潮力：

\mathbf G=\iiint_V\rho\mathbf g\,dV

表面力 / 应力#

由周围介质通过微团表面施加，例如压力、摩擦剪切力。若应力张量为 $\boldsymbol\tau$ ：

\mathbf F_s=\iint_A\boldsymbol\tau\cdot d\mathbf A

再次用高斯定理：

\mathbf F_s=\iiint_V\nabla\cdot\boldsymbol\tau\,dV

因此牛顿第二定律成为

\iiint_V \left[ \frac{\partial(\rho\mathbf V)}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\mathbf V\mathbf V) -\rho\mathbf g -\nabla\cdot\boldsymbol\tau \right]dV=0

4. 从积分式到局地动量方程#

由于控制体 $V$ 的大小和形状可以任意选取，要让上式对任意 $V$ 都成立，只能要求被积函数处处为零：

\boxed{ \frac{\partial(\rho\mathbf V)}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\mathbf V\mathbf V) =\rho\mathbf g+\nabla\cdot\boldsymbol\tau }

这一步是“积分守恒律 $\rightarrow$ 局地微分方程”的关键。

5. 利用连续方程化简#

左边看起来还比较复杂，课堂将它逐项展开：

\frac{\partial(\rho\mathbf V)}{\partial t} = \rho\frac{\partial\mathbf V}{\partial t} +\mathbf V\frac{\partial\rho}{\partial t}

以及

\nabla\cdot(\rho\mathbf V\mathbf V) = \rho(\mathbf V\cdot\nabla)\mathbf V +\mathbf V\,\nabla\cdot(\rho\mathbf V)

两式相加：

\begin{aligned} &\frac{\partial(\rho\mathbf V)}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\mathbf V\mathbf V)\\ =&\rho\left[ \frac{\partial\mathbf V}{\partial t} +(\mathbf V\cdot\nabla)\mathbf V \right] +\mathbf V\left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\mathbf V) \right] \end{aligned}

而质量连续方程给出

\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf V)=0

所以第二个方括号整体消失，留下

\boxed{ \rho\frac{D\mathbf V}{Dt} = \rho\mathbf g+\nabla\cdot\boldsymbol\tau }

其中

\frac{D\mathbf V}{Dt} = \frac{\partial\mathbf V}{\partial t} +(\mathbf V\cdot\nabla)\mathbf V

动量项展开后利用连续方程消去一组项

TIP
这一段推导最值得掌握的不是最后一行，而是一个反复使用的技巧：

先把乘积展开，再主动寻找连续方程 $\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho\mathbf V)=0$ 。

后面的盐量守恒推导还会完全复用这个思路。

二、作用在海水微团上的力#

老师强调：前面推导得到的是“骨架”，真正决定海水怎样运动的是动量方程右端具体有哪些力。

1. 压强梯度力#

压强 $p$ 本身是标量。一个微小立方体相对两面压强不同，才会产生净力。

以 $x$ 方向为例，微团尺寸为 $\Delta x\Delta y\Delta z$ 。两侧压力之差可近似为

F_x \approx -\frac{\partial p}{\partial x}\Delta x\Delta y\Delta z

三个方向合起来：

\mathbf F_p = -\nabla p\,\Delta V

微团质量为 $\rho\Delta V$ ，所以单位质量所受压强梯度力：

\boxed{ \mathbf f_p=-\frac{1}{\rho}\nabla p }

压强梯度力的微团示意与公式

为什么有负号？因为 $\nabla p$ 指向压强增大最快的方向，而净压力推动流体从高压向低压，方向与 $\nabla p$ 相反。

课堂总结的三个性质：

压强梯度力是推动海水运动最根本的动力之一；
它垂直于等压面，指向压强减小方向；
压强梯度既能产生运动，也能因海水运动造成的密度或海面变化而形成。

2. 摩擦力：分子粘性与湍流摩擦#

分子粘性力#

若相邻两层流体速度不同，分子运动会把动量从快层传给慢层。牛顿粘性定律写成

\tau=\mu\frac{du}{dn}

其中：

$\tau$ ：切应力；
$\mu$ ：动力粘性系数；
$n$ ：界面法向坐标。

若只考虑 $u=u(z)$ ：

\tau_{xz}=\mu\frac{\partial u}{\partial z}

而单位质量微团受到的 $x$ 向粘性力是应力的空间变化：

F_x = \frac{1}{\rho}\frac{\partial\tau_{xz}}{\partial z} = \frac{\mu}{\rho}\frac{\partial^2u}{\partial z^2}

定义运动粘性系数

\nu=\frac{\mu}{\rho}

得到

F_x=\nu\frac{\partial^2u}{\partial z^2}

三维形式：

\boxed{\mathbf f_\nu=\nu\nabla^2\mathbf V}

课件给出的海水运动粘性系数量级：

\nu(0^\circ\mathrm C)\approx1.787\times10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}

\nu(20^\circ\mathrm C)\approx1.004\times10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}

TIP
为什么出现二阶导数？

应力取决于速度的一阶梯度： $\tau\sim \partial u/\partial z$ ；

净力取决于应力在空间上的一阶梯度： $F\sim\partial\tau/\partial z$ ；

两次一阶导数叠加，就得到 $\partial^2u/\partial z^2$ 。

湍流摩擦#

大洋内部大尺度环流中，分子粘性通常太弱；海水稍强运动就会出现大量不同尺度的涡旋，涡旋之间同样会交换动量。

课堂采用“类比牛顿粘性定律”的参数化方法，引入涡动粘性系数 $A$ ：

\frac{\tau}{\rho}=A\frac{du}{dn}

若只考虑垂向变化：

\boxed{ F_x=\frac{\partial}{\partial z} \left(A\frac{\partial u}{\partial z}\right) }

湍流摩擦与涡动粘性系数

这里不能一般性地写成 $A\partial^2u/\partial z^2$ ，因为 $A$ 本身往往随空间变化。

3. 重力：地心引力与惯性离心力的合力#

课件中的“重力”采用有效重力的含义：

\boxed{ \mathbf g=\mathbf G+\Omega^2\mathbf R }

其中：

$\mathbf G$ ：地心引力；
$\Omega^2\mathbf R$ ：因地球自转引入的惯性离心效应；
$\mathbf R$ ：到地球自转轴的垂直位置矢量。

地心引力与惯性离心力合成有效重力

课件给出有效重力随纬度 $\varphi$ 与高度 $z$ 的近似：

\begin{aligned} g(\varphi,z)=&\ 9.80616 -0.025928\cos2\varphi +0.00069\cos^22\varphi\\ &-0.000003086z \qquad(\mathrm{m/s^2}) \end{aligned}

课堂计算中通常直接取

g\approx9.81\ \mathrm{m/s^2}

4. 引潮力与位势力#

天体引潮力主要来自月球与太阳。课堂强调，引潮力应理解成：

天体对某海水微团的引力 − 天体对地球质心的引力。

在“地球—月球共同公转”的参考系中，可以等价看成月球引力与共同公转惯性离心力的合力。

对于地球上一点 $P$ ，月球引力与共同公转离心项可写成

\mathbf F_M = K M_M\left( \frac{1}{D^2}\frac{\mathbf D}{D} - \frac{1}{L^2}\frac{\mathbf L}{L} \right)

其中 $D$ 是地心到月球距离， $L$ 是点 $P$ 到月球距离。

不同位置的月球引潮力方向

方向上：

近月点：引潮力指向月球；
远月点：引潮力背向月球；
与地月连线垂直的两侧：引潮力大体指向地心。

因此潮汐是一个空间上方向、大小都随位置变化的周期性强迫。

位势力#

若一个力所做的功只取决于初末位置，与路径无关，就可以写成某个标量位势的负梯度：

\boxed{\mathbf F_p=-\nabla\phi}

课堂列出的重力、惯性离心力和引潮力都属于位势力。

月球引潮势的课堂表达为

\phi_M =-K M_M\left( \frac{1}{L}-\frac{1}{D}-\frac{r}{D^2}\cos\theta \right)

月球引潮势的组成

位势本身是标量，取梯度后才得到矢量力。把位势引入方程的主要好处是方便后续数学处理。

三、旋转地球坐标系与科氏力#

1. 为什么地球坐标系不是惯性系#

惯性坐标系是牛顿定律可以直接成立的参考系。固定在地球上的坐标系随地球自转，因此属于旋转的非惯性坐标系。

要继续在地球坐标系里使用牛顿第二定律，需要把旋转产生的惯性效应显式加入方程。课堂重点讨论：

惯性离心效应：并入有效重力；
科氏效应：保留为单独的科氏力。

2. 速度变换#

设：

下标 $a$ ：惯性坐标系（absolute）；
无下标：随地球旋转坐标系中的相对量；
$\boldsymbol\Omega$ ：地球自转角速度；
$\mathbf R$ ：质点相对地轴/地心的位置矢量。

旋转刚体本身在该位置的速度为

\boldsymbol\Omega\times\mathbf R

所以绝对速度为

\boxed{ \mathbf V_a = \mathbf V+\boldsymbol\Omega\times\mathbf R }

这就是“相对运动 + 坐标系本身运动”。

3. 加速度变换的逐步推导#

对任意矢量 $\mathbf A$ ，惯性系与旋转系的时间导数关系为

\boxed{ \left(\frac{d\mathbf A}{dt}\right)_a = \left(\frac{d\mathbf A}{dt}\right)_r +\boldsymbol\Omega\times\mathbf A }

现在令 $\mathbf A=\mathbf V_a$ ：

\frac{d\mathbf V_a}{dt} = \left(\frac d{dt}\right)_r (\mathbf V+\boldsymbol\Omega\times\mathbf R) + \boldsymbol\Omega\times (\mathbf V+\boldsymbol\Omega\times\mathbf R)

第一部分展开：

\left(\frac d{dt}\right)_r\mathbf V = \frac{d\mathbf V}{dt}

\left(\frac d{dt}\right)_r (\boldsymbol\Omega\times\mathbf R) = \frac{d\boldsymbol\Omega}{dt}\times\mathbf R + \boldsymbol\Omega\times\frac{d\mathbf R}{dt}

而在旋转系里

\frac{d\mathbf R}{dt}=\mathbf V

所以这一部分给出

\frac{d\boldsymbol\Omega}{dt}\times\mathbf R +\boldsymbol\Omega\times\mathbf V

第二部分展开：

\boldsymbol\Omega\times\mathbf V + \boldsymbol\Omega\times (\boldsymbol\Omega\times\mathbf R)

把两部分合并：

\boxed{ \mathbf a_a = \frac{d\mathbf V}{dt} + \frac{d\boldsymbol\Omega}{dt}\times\mathbf R + 2\boldsymbol\Omega\times\mathbf V + \boldsymbol\Omega\times (\boldsymbol\Omega\times\mathbf R) }

旋转坐标系与惯性坐标系的加速度变换

对稳定自转的地球：

\frac{d\boldsymbol\Omega}{dt}\approx0

因此只保留：

相对加速度 $d\mathbf V/dt$ ；
$2\boldsymbol\Omega\times\mathbf V$ ：科氏项；
$\boldsymbol\Omega\times(\boldsymbol\Omega\times\mathbf R)$ ：离心项。

将后两项移到旋转系牛顿方程右端后，惯性力方向取反，因此单位质量科氏力为

\boxed{ \mathbf f_C=-2\boldsymbol\Omega\times\mathbf V }

4. 科氏力与科氏参数#

取局地直角坐标：

$x$ ：向东；
$y$ ：向北；
$z$ ：竖直向上。

地球自转角速度可分解为

\boldsymbol\Omega =(0,\Omega\cos\varphi,\Omega\sin\varphi)

海流速度

\mathbf V=(u,v,w)

完整科氏项中会出现 $\cos\varphi$ 与 $\sin\varphi$ 两组分量。课堂采用大尺度海洋中的常见简化：

垂向速度 $w$ 远小于水平速度，含 $w$ 的项忽略；
垂向科氏分量与重力相比很小，也忽略。

最终只保留水平上的 $\sin\varphi$ 项，定义科氏参数：

\boxed{f=2\Omega\sin\varphi}

科氏力分量与科氏参数

在北半球，科氏力水平分量指向运动方向右侧；南半球方向相反。

WARNING
科氏项的正负号不要脱离“放在哪一侧”单独记。
本课最终统一使用
$+f\mathbf k\times\mathbf V_H$
放在动量方程左边。由于
$\mathbf k\times(u\mathbf i+v\mathbf j) =-v\mathbf i+u\mathbf j$
所以左边分量必然是：

$x$ 方程： $-fv$

$y$ 方程： $+fu$

如果把科氏项移到右边，符号整体反过来。

四、最终动量方程#

1. 矢量形式#

把压强梯度力、有效重力、科氏力、分子粘性力和引潮力合在一起，课件先给出一般形式：

\frac{\partial\mathbf V}{\partial t} +(\mathbf V\cdot\nabla)\mathbf V = \mathbf g -2\boldsymbol\Omega\times\mathbf V -\frac{1}{\rho}\nabla p +\nu\nabla^2\mathbf V -\nabla\phi_T

完整动量方程的矢量形式

本节随后暂时搁置引潮项，并把保留的水平科氏项移到左边：

\boxed{ \frac{\partial\mathbf V}{\partial t} +(\mathbf V\cdot\nabla)\mathbf V +f\mathbf k\times\mathbf V_H = -\frac1\rho\nabla p +\mathbf g +\nu\nabla^2\mathbf V }

2. 直角坐标系三个分量#

这是老师明确提醒的考试重点。

先记

\mathbf V=(u,v,w)

以及

\mathbf V\cdot\nabla = u\frac{\partial}{\partial x} +v\frac{\partial}{\partial y} +w\frac{\partial}{\partial z}

$x$ 方向#

\boxed{ \frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} +w\frac{\partial u}{\partial z} -fv = -\frac1\rho\frac{\partial p}{\partial x} +\nu\left( \frac{\partial^2u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2u}{\partial y^2} +\frac{\partial^2u}{\partial z^2} \right) }

$y$ 方向#

\boxed{ \frac{\partial v}{\partial t} +u\frac{\partial v}{\partial x} +v\frac{\partial v}{\partial y} +w\frac{\partial v}{\partial z} +fu = -\frac1\rho\frac{\partial p}{\partial y} +\nu\left( \frac{\partial^2v}{\partial x^2} +\frac{\partial^2v}{\partial y^2} +\frac{\partial^2v}{\partial z^2} \right) }

$z$ 方向#

\boxed{ \frac{\partial w}{\partial t} +u\frac{\partial w}{\partial x} +v\frac{\partial w}{\partial y} +w\frac{\partial w}{\partial z} = -\frac1\rho\frac{\partial p}{\partial z} -g +\nu\left( \frac{\partial^2w}{\partial x^2} +\frac{\partial^2w}{\partial y^2} +\frac{\partial^2w}{\partial z^2} \right) }

这里：

水平两个方向没有直接重力分量；
$z$ 轴向上，所以重力为 $-g$ ；
本课的传统近似下，垂向科氏项已忽略。

3. 两个最容易写错的微分算子#

对流算子#

\boxed{ \mathbf V\cdot\nabla = u\partial_x+v\partial_y+w\partial_z }

例如它作用在 $u$ 上：

(\mathbf V\cdot\nabla)u =u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} +w\frac{\partial u}{\partial z}

WARNING
即使写的是 $x$ 方向动量方程，对流项仍然同时含 $u,v,w$ 。因为海水可以从 $x,y,z$ 三个方向把不同的 $u$ 输运到这个位置。

拉普拉斯算子#

\boxed{ \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2} +\frac{\partial^2}{\partial z^2} }

例如

\nabla^2u = \frac{\partial^2u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2u}{\partial y^2} +\frac{\partial^2u}{\partial z^2}

现场写分量方程最稳妥的办法：先把矢量式写出来，再按“局地项 → 对流项 → 科氏项 → 压强 → 重力 → 摩擦”的顺序逐项取分量。

五、第四章：海水运动基本方程组#

课件第四章分为：

海水运动基本方程组；
边界条件；
时间平均的基本方程和边界条件。

老师说明：当前推导的方程首先针对较理想的瞬时流动；后续为了处理真实海洋中的湍流随机性，会进行时间平均。

1. 连续方程的重新推导#

取一个固定几何控制体 $\tau$ ，边界为闭合曲面 $\sigma$ ，外法向速度分量为

V_n=\mathbf V\cdot\mathbf n

质量守恒说：

控制体内质量的增加率 = 通过边界流入的净质量通量。

由于 $V_n$ 规定向外为正，向外流出会减少内部质量，因此：

\iiint_\tau\frac{\partial\rho}{\partial t}\,d\tau = -\iint_\sigma \rho V_n\,d\sigma

用高斯定理：

\iint_\sigma \rho V_n\,d\sigma = \iiint_\tau\nabla\cdot(\rho\mathbf V)\,d\tau

所以

\iiint_\tau \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\mathbf V) \right]d\tau=0

由于 $\tau$ 任意：

\boxed{ \frac{\partial\rho}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\mathbf V)=0 }

将散度项展开：

\nabla\cdot(\rho\mathbf V) =\mathbf V\cdot\nabla\rho+\rho\nabla\cdot\mathbf V

得到另一种形式：

\boxed{ \frac{D\rho}{Dt}+\rho\nabla\cdot\mathbf V=0 }

连续方程的两种形式

这里：

$\nabla\cdot(\rho\mathbf V)$ ：质量通量的散度，表示单位体积的净流出程度；
$\nabla\cdot\mathbf V$ ：速度散度，反映流体微团在运动中的相对膨胀 / 压缩。

2. 不可压缩与定常的区别#

不可压缩#

对随流体运动的微团：

\frac{D\rho}{Dt}=0

由连续方程立即得到

\boxed{\nabla\cdot\mathbf V=0}

在直角坐标系：

\boxed{ \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z}=0 }

海洋的大多数动力学问题常采用这一近似。

定常#

定常仅表示固定位置处不随时间变化，例如密度满足

\frac{\partial\rho}{\partial t}=0

此时连续方程变成

\nabla\cdot(\rho\mathbf V)=0

WARNING
“定常”与“不可压缩”是两个不同条件：

定常约束的是时间偏导数；

不可压缩约束的是随体密度变化。

六、盐量扩散方程#

1. 盐量守恒的物理图像#

定义：

$s$ ：单位质量海水中所含的盐量，课堂中近似作为盐度；
$\rho s$ ：单位体积海水中所含的盐量。

盐量守恒定律：

溶于海水中的盐，在海水运动中不会自动产生，也不会自动消失。

盐量、盐量守恒与两种输运机制

和质量守恒相比，盐量进入控制体有两种机制：

平流 / 对流输运：海水本身带着盐流进、流出；
分子扩散：即使没有整体流动，只要盐度有梯度，盐也会从高盐度向低盐度扩散。

这正是盐量方程比连续方程多出一个扩散通量项的原因。

2. 控制体积分式#

仍取固定控制体 $\tau$ ，边界 $\sigma$ 。

控制体内盐量变化率：

\iiint_\tau \frac{\partial(\rho s)}{\partial t}\,d\tau

平流造成的向外盐通量：

\iint_\sigma \rho s V_n\,d\sigma

再定义 $\mathbf S$ 为盐浓度扩散通量密度，法向分量

S_n=\mathbf S\cdot\mathbf n

于是扩散造成的向外盐通量：

\iint_\sigma S_n\,d\sigma

因为法向规定向外为正，而我们计算控制体内盐量增加，所以二者都带负号：

\boxed{ \iiint_\tau \frac{\partial(\rho s)}{\partial t}\,d\tau = -\iint_\sigma\rho sV_n\,d\sigma -\iint_\sigma S_n\,d\sigma }

盐量守恒控制体：平流通量与分子扩散通量

3. 化成局地方程#

两个面积分都用高斯定理：

\iint_\sigma\rho sV_n\,d\sigma = \iiint_\tau\nabla\cdot(\rho s\mathbf V)\,d\tau

\iint_\sigma S_n\,d\sigma = \iiint_\tau\nabla\cdot\mathbf S\,d\tau

因此

\iiint_\tau \left[ \frac{\partial(\rho s)}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho s\mathbf V) +\nabla\cdot\mathbf S \right]d\tau=0

控制体任意，所以：

\boxed{ \frac{\partial(\rho s)}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho s\mathbf V) +\nabla\cdot\mathbf S=0 }

盐量守恒的局地方程

4. 用连续方程化简#

这是本节第二次出现同样的技巧。

先展开第一项：

\frac{\partial(\rho s)}{\partial t} = \rho\frac{\partial s}{\partial t} +s\frac{\partial\rho}{\partial t}

再展开平流项：

\nabla\cdot(\rho s\mathbf V) = \rho\mathbf V\cdot\nabla s +s\nabla\cdot(\rho\mathbf V)

代回：

\rho\left( \frac{\partial s}{\partial t} +\mathbf V\cdot\nabla s \right) +s\left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\mathbf V) \right] +\nabla\cdot\mathbf S=0

方括号正是连续方程，所以为零：

\rho\left( \frac{\partial s}{\partial t} +\mathbf V\cdot\nabla s \right) =-\nabla\cdot\mathbf S

即

\boxed{ \frac{Ds}{Dt} =-\frac1\rho\nabla\cdot\mathbf S }

左边 $Ds/Dt$ 表示一个随海水移动的微团，其盐度随时间的变化；右边表示分子扩散通量的辐合 / 辐散。

5. Fick 型扩散关系与最终方程#

盐总是从高盐度向低盐度扩散，因此扩散通量与盐度梯度反向：

\boxed{\mathbf S=-k\nabla s}

若 $k$ 近似常数：

\nabla\cdot\mathbf S = -k\nabla\cdot(\nabla s) =-k\nabla^2s

其中

\nabla^2s = \frac{\partial^2s}{\partial x^2} +\frac{\partial^2s}{\partial y^2} +\frac{\partial^2s}{\partial z^2}

代回：

\frac{Ds}{Dt} = \frac{k}{\rho}\nabla^2s

定义分子盐量扩散系数

k_D=\frac{k}{\rho}

课件给出的量级约为

k_D\approx1.1\times10^{-9}\ \mathrm{m^2/s}

最终得到盐量扩散方程：

\boxed{ \frac{\partial s}{\partial t} +\mathbf V\cdot\nabla s =k_D\nabla^2s }

盐量扩散方程的最终形式

物理意义非常清楚：

$\partial s/\partial t$ ：固定位置盐度的局地变化；
$\mathbf V\cdot\nabla s$ ：海流平流输运造成的变化；
$k_D\nabla^2s$ ：分子扩散把盐度差异逐渐“抹平”。

七、本节最核心的逻辑链#

1. 动量方程#

\text{牛顿第二定律} \rightarrow \text{控制体动量} \rightarrow \text{莱布尼兹公式} \rightarrow \text{高斯定理} \rightarrow \text{局地动量方程} \rightarrow \text{连续方程化简}

得到

\rho\frac{D\mathbf V}{Dt} = \text{各种单位体积力 / 表面力}

再逐项加入压强梯度、摩擦、有效重力、科氏力与引潮力。

2. 旋转坐标系#

\mathbf V_a=\mathbf V+\boldsymbol\Omega\times\mathbf R

进一步求导得到

\mathbf a_a = \mathbf a_r +2\boldsymbol\Omega\times\mathbf V +\boldsymbol\Omega\times(\boldsymbol\Omega\times\mathbf R)

从而识别出科氏项与离心项，并在传统近似下定义

f=2\Omega\sin\varphi

3. 连续方程与盐量方程的共同模板#

连续方程只有平流：

\text{内部变化} = -\text{边界平流净流出}

盐量方程多一个扩散：

\text{内部盐量变化} = -\text{平流盐通量} -\text{扩散盐通量}

两者都经历：

\boxed{ \text{面积分} \xrightarrow{\text{高斯定理}} \text{体积分} \xrightarrow{\text{控制体任意}} \text{局地微分方程} }

TIP
如果后续自学时只记一件事，记住老师这一整节真正反复训练的是：

先用守恒定律写“账本”，再用高斯定理把边界通量变成局地散度，最后利用已有守恒方程消项。

掌握这个模板之后，热量守恒、示踪物输运以及更多海洋动力学方程都会更容易理解。

概述#

目录#

一、从牛顿第二定律推导动量方程#

1. 系统总动量#

2. 莱布尼兹公式：为什么会出现“局地变化 + 通量”#

3. 合外力：体积力与表面力#

体积力 / 质量力#

表面力 / 应力#

4. 从积分式到局地动量方程#

5. 利用连续方程化简#

二、作用在海水微团上的力#

1. 压强梯度力#

2. 摩擦力：分子粘性与湍流摩擦#

分子粘性力#

湍流摩擦#

3. 重力：地心引力与惯性离心力的合力#

4. 引潮力与位势力#

位势力#

三、旋转地球坐标系与科氏力#

1. 为什么地球坐标系不是惯性系#

2. 速度变换#

3. 加速度变换的逐步推导#

4. 科氏力与科氏参数#

四、最终动量方程#

1. 矢量形式#

2. 直角坐标系三个分量#

xxx 方向#

yyy 方向#

zzz 方向#

3. 两个最容易写错的微分算子#

对流算子#

拉普拉斯算子#

五、第四章：海水运动基本方程组#

1. 连续方程的重新推导#

2. 不可压缩与定常的区别#

不可压缩#

定常#

六、盐量扩散方程#

1. 盐量守恒的物理图像#

2. 控制体积分式#

3. 化成局地方程#

4. 用连续方程化简#

5. Fick 型扩散关系与最终方程#

七、本节最核心的逻辑链#

1. 动量方程#

2. 旋转坐标系#

3. 连续方程与盐量方程的共同模板#

$x$ 方向#

$y$ 方向#

$z$ 方向#