Oceanography-Lesson8：第四章：海水基本方程组和边界条件（上）

课程信息与成绩相关提醒#

授课日期：2026-10-12，第 1—2 节；授课教师：袁野平。
作业 / 测试 / 考试说明：本次课件中未发现明确的作业题、测试时间、考试范围或评分要求。所提供的《上课录音8.docx》经检查仅包含时间戳和课堂投屏截图，缺少可读取的语音转写，因此无法核实教师是否口头布置了作业或说明了成绩要求；如有课程群通知，以教师通知为准。
资料范围：本笔记以本次 79 页投屏截图所展示的内容为依据；重要公式增加了逐步推导和直观解释。课件末尾仅展开至有质量交换时的海面运动学边界条件，后续动力学与温度边界条件在本次课件中只列出名称。

概述#

本课主线：先用守恒定律说明海水的质量、盐量和热量如何变化，再借助状态方程，把它们与已经学过的动量方程组成一个完整的海水运动方程组；最后回答：在海面、海底等边界上，这些方程需要满足什么附加条件？

上一部分已经利用牛顿第二定律建立了动量方程。现在补齐另外三类重要关系：

质量守恒 → 连续方程：海水不会凭空产生或消失。
盐量守恒、热量守恒 → 盐量扩散方程、热传导方程：盐和热随海水流动，也能因分子运动而扩散。
海水状态方程 → 密度与温度、盐度、压强之间的联系。

最后将上述关系与动量方程联立，并讨论运动学边界条件。

第四章知识框架：由四种守恒定律建立海水基本方程组

本课知识框架#

模块	出发点	最终要得到什么
连续方程	质量守恒	$\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho\mathbf V)=0$
盐量扩散	盐量守恒 + 分子扩散	$Ds/Dt=K_s\Delta s$
热传导	热量守恒 + 傅里叶定律	$D\theta/Dt=K_\theta\Delta\theta$
状态方程	海水热力学性质	$\rho=\rho(\theta,s,p)$
海水基本方程组	动量方程 + 以上关系	7 个未知量、7 个标量方程
边界条件	海面、海底的运动约束	海面、海底的不可穿透条件及淡水交换修正

本课反复使用的两个算子：

\frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+\mathbf V\cdot\nabla, \qquad \Delta=\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}.

其中 $D/Dt$ 是随体导数：跟着某个海水质点移动时所感受到的变化率； $\Delta$ 是拉普拉斯算子，衡量一个量与周围空间分布的差异。

一、连续方程：质量守恒#

1. 先明确研究对象：固定控制体#

质量守恒定律：海水在流动过程中，总质量保持守恒；在没有质量源汇的情形下，任意固定空间内的质量变化，只能来自海水穿过其边界。

取由封闭曲面 $\sigma$ 包围的一个固定控制体 $\tau$ ，设：

$\rho(x,y,z,t)$ ：海水密度，单位 $\mathrm{kg\,m^{-3}}$ ；
$\mathbf V=(u,v,w)$ ：海水速度，单位 $\mathrm{m\,s^{-1}}$ ；
$\mathbf n$ ：封闭曲面的向外单位法向量；
$V_n=\mathbf V\cdot\mathbf n$ ：海水沿外法向的速度分量。

固定控制体的质量为：

M(t)=\iiint_\tau \rho\,d\tau.

因此，单位时间内控制体质量的增加量为：

\frac{dM}{dt}=\iiint_\tau\frac{\partial\rho}{\partial t}\,d\tau.

这里可以把微分直接放进积分内，因为控制体固定不动，积分区域不随时间变化。

而单位面积、单位时间通过边界的向外质量通量为 $\rho V_n$ ，整个边界的净流出量为：

\oiint_\sigma\rho\,\mathbf V\cdot\mathbf n\,d\sigma.

净流出越多，内部质量减少越多，所以出现一个负号：

\boxed{\iiint_\tau\frac{\partial\rho}{\partial t}\,d\tau =-\oiint_\sigma\rho\mathbf V\cdot\mathbf n\,d\sigma.} \tag{1}

质量守恒与高斯散度定理：从积分形式走向微分形式

2. 利用高斯散度定理：面通量转成体积分#

高斯公式：

\oiint_\sigma\mathbf A\cdot\mathbf n\,d\sigma =\iiint_\tau\nabla\cdot\mathbf A\,d\tau.

令 $\mathbf A=\rho\mathbf V$ ，代入式（1）：

\iiint_\tau\frac{\partial\rho}{\partial t}\,d\tau =-\iiint_\tau\nabla\cdot(\rho\mathbf V)\,d\tau.

把它们移到同一侧：

\iiint_\tau\left[\frac{\partial\rho}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\mathbf V)\right]d\tau=0.

由于所选控制体的大小、位置和形状都可以任意变化，括号内必须处处为零：

\boxed{\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf V)=0.} \tag{2}

这就是质量连续方程的欧拉形式（通量形式）。

两项的意义：

$\partial\rho/\partial t$ ：固定位置的密度局地变化率；
$\nabla\cdot(\rho\mathbf V)$ ：单位体积的净向外质量通量。

例如某处 $\nabla\cdot(\rho\mathbf V)>0$ ，意味着流出去的质量多于流进来的质量，该处密度随时间减小。

3. 为什么它还能写成随体导数形式？#

用乘积求导公式展开散度：

\begin{aligned} \nabla\cdot(\rho\mathbf V) &=\frac{\partial(\rho u)}{\partial x} +\frac{\partial(\rho v)}{\partial y} +\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}\\ &=u\frac{\partial\rho}{\partial x} +v\frac{\partial\rho}{\partial y} +w\frac{\partial\rho}{\partial z} +\rho\left(\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z}\right)\\ &=\mathbf V\cdot\nabla\rho+\rho\nabla\cdot\mathbf V. \end{aligned}

代回式（2）：

\underbrace{\left(\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf V\cdot\nabla\rho\right)}_{D\rho/Dt} +\rho\nabla\cdot\mathbf V=0.

因此得到拉格朗日形式：

\boxed{\frac{D\rho}{Dt}+\rho\nabla\cdot\mathbf V=0.} \tag{3}

直观理解：海水质点的密度变化和这团水的体积膨胀或收缩相对应。

$\nabla\cdot\mathbf V>0$ ：局部有体积膨胀趋势， $D\rho/Dt<0$ ；
$\nabla\cdot\mathbf V<0$ ：局部有体积收缩趋势， $D\rho/Dt>0$ 。

4. 不可压缩近似与体积连续方程#

课件指出：海水的可压缩性很小，在很多海水运动问题中可采用不可压缩近似，令海水质点随流运动时的密度变化近似为零：

\frac{D\rho}{Dt}\approx0.

代入式（3），在 $\rho>0$ 的条件下得到：

\boxed{\nabla\cdot\mathbf V=0} \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z}=0.} \tag{4}

它叫体积连续方程。

不可压缩流体的体积连续方程

TIP
例子：体积连续方程并不要求每个速度分量都为零。
考虑二维流动 $u=ax,\ v=-ay,\ w=0$ ，其中 $a$ 为常数：
$\nabla\cdot\mathbf V=\frac{\partial(ax)}{\partial x} +\frac{\partial(-ay)}{\partial y}+0=a-a=0.$
该流动在 $x$ 方向拉伸，在 $y$ 方向压缩，两种效应恰好抵消，流体微团总体积保持不变。

NOTE
一个容易混淆的近似：真实海水的密度依然会受到温度、盐度和压强影响，后文还要使用 $\rho=\rho(\theta,s,p)$ 。在常见的布辛涅斯克（Boussinesq）近似中，连续方程采用 $\nabla\cdot\mathbf V\simeq0$ ，同时允许温盐造成的密度差影响浮力。这属于建模近似，不能据此断言所有海域密度在时空上严格恒定。

二、盐量扩散方程：盐量守恒#

1. 为什么盐度还需要一个单独的方程？#

质量守恒描述整个海水体系；盐量守恒进一步研究其中的溶解盐如何输运。

本节采用：

$s$ ：单位质量海水中的盐量，按盐质量分数理解，近似表征盐度；
$\rho s$ ：单位体积海水中含有的盐量；
$\mathbf S$ ：盐分由于分子不规则运动产生的扩散质量通量。

对于固定控制体，内部盐量的增减由两种跨边界输运决定：

平流（advection）：海水整体移动，把盐带进或带出；
分子扩散（molecular diffusion）：盐分由浓度较高的地方向较低的地方扩散。

要区分“盐量不会凭空消失”和“一个空间里的盐量可能变化”这两件事：固定空间中有流入、流出，盐量当然会变化。

2. 从固定控制体上的盐量收支推导#

固定体积 $\tau$ 内总盐量为：

M_s=\iiint_\tau\rho s\,d\tau.

单位时间内的盐量变化 = 负的平流净流出 + 负的扩散净流出：

\iiint_\tau\frac{\partial(\rho s)}{\partial t}\,d\tau =-\oiint_\sigma\rho s\mathbf V\cdot\mathbf n\,d\sigma -\oiint_\sigma\mathbf S\cdot\mathbf n\,d\sigma. \tag{5}

两次使用高斯公式：

\iiint_\tau\left[ \frac{\partial(\rho s)}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho s\mathbf V) +\nabla\cdot\mathbf S\right]d\tau=0.

由于体积任意，得到局地盐量守恒方程：

\boxed{\frac{\partial(\rho s)}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho s\mathbf V) =-\nabla\cdot\mathbf S.} \tag{6}

这里 $-\nabla\cdot\mathbf S$ 表示分子扩散造成的净盐量汇入率。

3. 关键步骤：利用质量连续方程消去密度项#

把式（6）左边逐项展开：

\begin{aligned} \frac{\partial(\rho s)}{\partial t} &=s\frac{\partial\rho}{\partial t}+\rho\frac{\partial s}{\partial t},\\[2pt] \nabla\cdot(\rho s\mathbf V) &=s\nabla\cdot(\rho\mathbf V)+\rho\mathbf V\cdot\nabla s. \end{aligned}

合并同类项：

\underbrace{s\left[\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf V)\right]}_{=0\ \text{（连续方程）}} +\rho\left(\frac{\partial s}{\partial t}+\mathbf V\cdot\nabla s\right) =-\nabla\cdot\mathbf S.

因此：

\boxed{\frac{\partial s}{\partial t} +\mathbf V\cdot\nabla s =-\frac{1}{\rho}\nabla\cdot\mathbf S.} \tag{7}

这一步很重要：以后推导其他守恒标量的输运方程，也可使用同一方法，即先写“单位体积所含物质量”的守恒，再用质量连续方程化简。

4. 分子扩散：菲克定律（Fick’s law）#

课件采用扩散通量与盐度梯度成正比、方向相反的近似：

\boxed{\mathbf S=-k\nabla s.} \tag{8}

$\nabla s$ ：盐度增加最快的方向；
负号：盐从高盐度侧向低盐度侧扩散；
$k$ ：课件使用的盐通量—梯度比例系数，满足 $k/\rho$ 为盐的分子扩散系数。

当 $k$ 可以视为常数时：

\nabla\cdot\mathbf S =\nabla\cdot(-k\nabla s) =-k\nabla\cdot(\nabla s) =-k\Delta s.

代入式（7）：

\frac{\partial s}{\partial t} +\mathbf V\cdot\nabla s =\frac{k}{\rho}\Delta s.

定义盐的分子扩散系数 $K_s=k/\rho$ ，最终：

\boxed{\frac{\partial s}{\partial t} +\mathbf V\cdot\nabla s =K_s\Delta s,\qquad K_s\approx1.1\times10^{-9}\ \mathrm{m^2/s}.} \tag{9}

盐量扩散方程：局地变化、平流输运和分子扩散

5. 每一项到底是什么意思？#

\underbrace{\frac{\partial s}{\partial t}}_{\text{局地盐度变化}} +\underbrace{u\frac{\partial s}{\partial x}+v\frac{\partial s}{\partial y}+w\frac{\partial s}{\partial z}}_{\text{平流造成的变化}} =\underbrace{K_s\left(\frac{\partial^2s}{\partial x^2}+\frac{\partial^2s}{\partial y^2}+\frac{\partial^2s}{\partial z^2}\right)}_{\text{分子扩散}}.

例如：海流从高盐水区流入低盐水区，会改变固定站位的盐度；同时，即使暂时没有海流，盐度差异也可通过分子扩散逐渐减弱。

WARNING
公式适用条件：课件写成 $K_s\Delta s$ ，隐含把扩散系数看作常数。如果扩散系数随位置变化，应保留 $\nabla\cdot(K_s\nabla s)$ 一类更一般的形式。课件此处只讨论分子扩散，后面海洋湍混合模型经常使用的湍扩散系数需要另外处理。

三、热传导方程：热量守恒#

1. 热量同样有“随水流动”和“分子传导”两种输运#

本节课件使用：

$\theta$ ：海水温度；
$c_p$ ：定压比热容，单位 $\mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ ；
$\rho c_p\theta$ ：相对于选定参考温度的单位体积热量的近似表示；
$\mathbf H$ ：分子热传导通量，单位 $\mathrm{W\,m^{-2}}$ 。

类比盐量守恒，固定空间内的热量变化由平流热通量和分子热传导通量共同决定。

2. 热量守恒的积分与微分形式#

固定控制体内热量的近似表达式：

Q=\iiint_\tau\rho c_p\theta\,d\tau.

热量守恒：

\iiint_\tau\frac{\partial(\rho c_p\theta)}{\partial t}\,d\tau =-\oiint_\sigma\rho c_p\theta\mathbf V\cdot\mathbf n\,d\sigma -\oiint_\sigma\mathbf H\cdot\mathbf n\,d\sigma. \tag{10}

经高斯定理变为：

\boxed{\frac{\partial(\rho c_p\theta)}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho c_p\theta\mathbf V) +\nabla\cdot\mathbf H=0.} \tag{11}

3. 傅里叶热传导定律（Fourier’s law）#

热量沿着温度降低的方向传导：

\boxed{\mathbf H=-\lambda\nabla\theta.} \tag{12}

其中 $\lambda$ 为热导率（课件也用 $\kappa$ 类符号表示热传导比例系数；此处换成 $\lambda$ ，避免与后文的海水压缩系数混淆）。

若 $\lambda$ 为空间常数：

\nabla\cdot\mathbf H=-\lambda\Delta\theta.

代入式（11）：

\frac{\partial(\rho c_p\theta)}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho c_p\theta\mathbf V) =\lambda\Delta\theta. \tag{13}

4. 为什么最后会得到与盐量类似的形式？#

假设 $c_p$ 为常数，把左侧提出 $c_p$ ，用乘积法则：

\begin{aligned} &\frac{\partial(\rho c_p\theta)}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho c_p\theta\mathbf V)\\ &=c_p\left\{\theta\left[\frac{\partial\rho}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\mathbf V)\right] +\rho\left(\frac{\partial\theta}{\partial t}+\mathbf V\cdot\nabla\theta\right)\right\}\\ &=\rho c_p\left(\frac{\partial\theta}{\partial t}+\mathbf V\cdot\nabla\theta\right). \end{aligned}

第二步消掉的仍然是质量连续方程。所以：

\frac{\partial\theta}{\partial t}+\mathbf V\cdot\nabla\theta =\frac{\lambda}{\rho c_p}\Delta\theta.

定义热扩散系数 $K_\theta=\lambda/(\rho c_p)$ ，得到：

\boxed{\frac{\partial\theta}{\partial t} +\mathbf V\cdot\nabla\theta =K_\theta\Delta\theta,\qquad K_\theta\approx1.4\times10^{-7}\ \mathrm{m^2/s}.} \tag{14}

热传导方程及课件给出的分子热扩散系数

5. 盐量扩散与热传导：结构完全对应#

比较	盐量	热量
被输运的量	盐度 $s$	温度 $\theta$
整体流动造成的输运	$\mathbf V\cdot\nabla s$	$\mathbf V\cdot\nabla\theta$
分子过程遵守的近似定律	菲克定律	傅里叶定律
分子输运项	$K_s\Delta s$	$K_\theta\Delta\theta$
课件给出的扩散系数	$1.1\times10^{-9}\,\mathrm{m^2/s}$	$1.4\times10^{-7}\,\mathrm{m^2/s}$

由这些代表值可见，热的分子扩散通常比盐的分子扩散快约两个数量级。课件给出的方程建立在无额外内部热源、热导率与 $c_p$ 近似恒定等条件上；在真实海洋热收支中，还可能需要考虑辐射、海气热通量和湍混合。

四、海水状态方程#

1. 为什么需要状态方程？#

动量方程涉及密度 $\rho$ 和压强 $p$ ；温度与盐度方程又给出 $\theta,s$ 的变化。要使这些量彼此关联，需要海水状态方程（Equation of State, EOS）：

F(\rho,\theta,s,p)=0, \qquad \boxed{\rho=\rho(\theta,s,p).} \tag{15}

含义：海水密度取决于温度、盐度和压强。

经验规律：

温度升高，一般密度降低；
盐度增加，一般密度增加；
压强升高，一般密度增加。

课件先给出了忽略盐度与压强变化的简单线性形式：

\rho\approx\rho_0(1-\alpha_0\theta), \tag{16}

其中 $\rho_0$ 是参考温度下的密度， $\alpha_0$ 表示常数热膨胀系数。这一式子仅适用于温盐、压强变化范围较小的近似讨论。

2. 状态方程的全微分：一步步来#

既然 $\rho$ 是三个变量的函数，当 $\theta,s,p$ 都发生微小变化时：

\boxed{d\rho= \left(\frac{\partial\rho}{\partial\theta}\right)_{s,p}d\theta+ \left(\frac{\partial\rho}{\partial s}\right)_{\theta,p}ds+ \left(\frac{\partial\rho}{\partial p}\right)_{\theta,s}dp.} \tag{17}

两边除以 $\rho$ ，为三个偏导数分别引入物理系数：

\boxed{\begin{aligned} \alpha&=-\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial\rho}{\partial\theta}\right)_{s,p} &&\text{热膨胀系数},\\ \beta&=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial\rho}{\partial s}\right)_{\theta,p} &&\text{盐收缩系数},\\ \kappa_T&=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial\rho}{\partial p}\right)_{\theta,s} &&\text{等温压缩系数（密度形式）}. \end{aligned}} \tag{18}

于是：

\boxed{\frac{d\rho}{\rho} =-\alpha\,d\theta+\beta\,ds+\kappa_T\,dp.} \tag{19}

怎么记？ 升温通常使密度减小，前面对应负号；加盐、加压通常使密度增大，前面对应正号。

海水状态方程、热膨胀、盐收缩、压缩系数以及两个非线性效应

WARNING
课件符号核对：第 41 张投屏中的热膨胀系数一行写作 $\alpha=(1/\rho)\partial\rho/\partial T$ ，但同页又使用 $d\rho/\rho=-\alpha\,dT+\cdots$ ，两者在通常海水升温密度减小的情况下符号不一致。为了与该页的全微分式以及标准热膨胀定义一致，本笔记采用上式带负号的 $\alpha$ 定义。这里属于对课件的公式校核。

3. 海水密度的两个重要非线性效应#

状态方程 $\rho(\theta,s,p)$ 通常有明显非线性。课件特别介绍了两个海洋学效应。

（1）卡贝尔效应（cabbeling）#

两团温度、盐度不同的海水混合后，混合水的密度可能大于两团水原密度的线性加权平均值。

直观理解：密度随温盐变化的关系是一张弯曲的曲面。对两个水团的温盐取平均，再代入状态方程，通常不等于分别计算两个密度后直接取平均。

这可能使混合后的海水相对周围环境更重，促进下沉。

（2）热压效应（thermobaricity）#

海水的热膨胀系数会随**压力（深度）**改变。因此，水团上下移动时，它与周围海水的密度差、浮力变化可能与浅层情形不同。

课件强调：这对理解大西洋深层水的形成等过程有重要意义。

两个概念的区分：cabbeling 关注不同水团混合引起的非线性密度变化；thermobaricity 关注热膨胀对压强的依赖。

五、海水运动基本方程组#

1. 为什么需要“方程组”？#

到这里，我们已有：动量方程、连续方程、盐量扩散方程、热传导方程和状态方程。这些方程共同决定海水在时空中的运动和物理状态。

本课考虑 7 个未知量：

\boxed{u,\ v,\ w,\ \rho,\ s,\ \theta,\ p.}

对应：

3 个动量方程（ $x,y,z$ 各一个）；
1 个连续方程；
1 个盐量方程；
1 个温度方程；
1 个状态方程。

共 7 个标量方程，构成课件所列的闭合基本方程组。这里“方程数相同”只是形式上的闭合；实际求解还要给定初始条件、边界条件，以及各扩散/黏性参数。

2. 向量形式#

在课件的层流、各向同性常系数黏性近似下：

\boxed{\left\{\begin{aligned} \frac{D\mathbf V}{Dt} &=-\frac{1}{\rho}\nabla p -2\boldsymbol\Omega\times\mathbf V +\mathbf g+\nu\Delta\mathbf V-\nabla\Phi_T,\\[2pt] \frac{D\rho}{Dt}+\rho\nabla\cdot\mathbf V&=0,\\[2pt] \frac{\partial s}{\partial t}+\mathbf V\cdot\nabla s&=K_s\Delta s,\\[2pt] \frac{\partial\theta}{\partial t}+\mathbf V\cdot\nabla\theta&=K_\theta\Delta\theta,\\[2pt] \rho&=\rho(\theta,s,p). \end{aligned}\right.} \tag{20}

课件将动量方程的黏性系数记作 $\gamma$ ；本笔记统一写作常用的运动黏度 $\nu$ ，二者在该模型中表示同一黏性系数。

各项物理含义：

动量方程项	物理作用
$D\mathbf V/Dt$	海水质点的加速度
$-\nabla p/\rho$	压强梯度力（单位质量）
$-2\boldsymbol\Omega\times\mathbf V$	科氏力（单位质量）
$\mathbf g$	重力加速度
$\nu\Delta\mathbf V$	黏性作用的简化形式
$-\nabla\Phi_T$	与引潮势 $\Phi_T$ 对应的单位质量引潮力

课件中的海水运动基本方程组及层流和湍流的定义

NOTE
课件区分了层流（流动有较规则的层次、流层之间混合较弱）与湍流（具有不规则脉动、混合作用明显），并提到可利用雷诺数 $Re=UL/\nu$ 的大小判断惯性作用与黏性作用的相对重要性。是否转捩为湍流还与几何形状、边界条件、稳定度等有关，不能凭单一通用临界雷诺数判断所有海洋流动。

3. 展开为直角坐标：三条动量方程#

取局地坐标： $x$ 向东， $y$ 向北， $z$ 向上，速度 $\mathbf V=(u,v,w)$ 。

定义：

f=2\Omega\sin\varphi,\qquad \widetilde f=2\Omega\cos\varphi,

其中 $\Omega$ 是地球自转角速度， $\varphi$ 是地理纬度。将 $\boldsymbol\Omega=(0,\Omega\cos\varphi,\Omega\sin\varphi)$ 代入科氏力，可得：

-2\boldsymbol\Omega\times\mathbf V =(fv-\widetilde f w,\ -fu,\ \widetilde f u). \tag{21}

于是：

\boxed{\frac{Du}{Dt}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} +fv-\widetilde f w+\nu\Delta u -\frac{\partial\Phi_T}{\partial x}.} \tag{22}

\boxed{\frac{Dv}{Dt}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y} -fu+\nu\Delta v -\frac{\partial\Phi_T}{\partial y}.} \tag{23}

\boxed{\frac{Dw}{Dt}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} +\widetilde f u-g+\nu\Delta w -\frac{\partial\Phi_T}{\partial z}.} \tag{24}

随体导数不要漏掉平流加速度，例如：

\frac{Du}{Dt}=\frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} +w\frac{\partial u}{\partial z}.

其余 $Dv/Dt,Dw/Dt$ 完全同理。

课件直角坐标系中的七个标量方程

4. 科氏力方向与公式校核#

课件中的自转坐标示意图说明，纬度决定自转矢量在局地北向和局地竖直向上的分量。

地球自转矢量在局地坐标中的分解；注意该页行列式计算有符号笔误

完整展开：

\begin{aligned} \boldsymbol\Omega\times\mathbf V &=\begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ 0&\Omega\cos\varphi&\Omega\sin\varphi\\ u&v&w \end{vmatrix}\\ &=(\Omega w\cos\varphi-\Omega v\sin\varphi)\mathbf i +(\Omega u\sin\varphi)\mathbf j -(\Omega u\cos\varphi)\mathbf k,\\ -2\boldsymbol\Omega\times\mathbf V &=(2\Omega v\sin\varphi-2\Omega w\cos\varphi)\mathbf i -2\Omega u\sin\varphi\,\mathbf j +2\Omega u\cos\varphi\,\mathbf k. \end{aligned}

WARNING
课件第 48 张截图需要辨别符号：该页写了 $-2\boldsymbol\Omega\times\mathbf V$ ，但行列式后显示的三个分量实际对应 $+2\boldsymbol\Omega\times\mathbf V$ 。本笔记使用的式（21）与课件第 44、53 张中的直角坐标动量方程一致。记科氏力时以式（21）为准。

科氏力总是垂直于 $\boldsymbol\Omega$ 和 $\mathbf V$ 。在通常的水平运动和传统近似下，北半球水平科氏加速度指向运动方向右侧，南半球指向左侧。

5. 直角坐标中的另外四个标量方程#

质量：

\frac{D\rho}{Dt} +\rho\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\right)=0.

盐量：

\frac{\partial s}{\partial t} +u\frac{\partial s}{\partial x}+v\frac{\partial s}{\partial y}+w\frac{\partial s}{\partial z} =K_s\left(\frac{\partial^2s}{\partial x^2}+\frac{\partial^2s}{\partial y^2}+\frac{\partial^2s}{\partial z^2}\right).

热量：

\frac{\partial\theta}{\partial t} +u\frac{\partial\theta}{\partial x}+v\frac{\partial\theta}{\partial y}+w\frac{\partial\theta}{\partial z} =K_\theta\left(\frac{\partial^2\theta}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\theta}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\theta}{\partial z^2}\right).

状态： $\rho=\rho(\theta,s,p)$ 。

这些方程构成课件所介绍的层流海水运动基本方程组，理论上可描述各类时空尺度的海水运动；实际海洋研究还需要引入针对尺度的近似及合适的边界条件。

六、边界条件的意义与分类#

1. 为什么仅有方程组仍然不够？#

海洋与大气、海底、海岸接触。对内部海水建立的连续介质微分方程，求解时必须同时描述海面与海底上的物理约束。

例如：海水通常不能从固体海底直接穿过去；海表面可以升降；大气可以通过风应力向海洋传递动量，还可以通过降水、蒸发和热通量改变海洋。

课件归纳的四类边界条件：

无质量交换的运动学边界条件；
存在质量交换时的运动学边界条件；
动力学边界条件；
温度边界条件。

本节列出的四类边界条件

本次课件重点推导前两类。动力学边界条件（如界面应力）和温度边界条件（如规定温度或热通量）的具体数学形式本节未展开。

2. 用一个函数表示任意曲面#

令一个随时间变化的界面为：

\boxed{F(x,y,z,t)=0.} \tag{25}

示例：

海面 $z=\zeta(x,y,t)$ ： $F=z-\zeta(x,y,t)$ ；
静止海底 $z=-h(x,y)$ ： $F=z+h(x,y)$ 。

曲面上任一点的法线由梯度给出：

\boxed{\mathbf n=\frac{\nabla F}{|\nabla F|}.} \tag{26}

为什么梯度垂直于曲面？ 沿曲面的任意切向位移 $d\mathbf r$ ，函数值保持 $F=0$ 不变；因此 $dF=\nabla F\cdot d\mathbf r=0$ 。所以 $\nabla F$ 与所有切向位移垂直。

七、无质量交换的运动学边界条件#

1. 核心想法：边界上的质点始终留在边界上#

考虑随时间移动的界面。设界面上一点在时刻 $t$ 的位置为 $\mathbf r(t)$ ，界面几何运动速度为 $\mathbf C=d\mathbf r/dt$ 。

因为该点始终满足 $F(\mathbf r(t),t)=0$ ，沿其运动轨迹求全导数：

\frac{dF}{dt}=\frac{\partial F}{\partial t} +\frac{d\mathbf r}{dt}\cdot\nabla F=0.

于是得到界面自身的运动条件：

\boxed{\frac{\partial F}{\partial t}+\mathbf C\cdot\nabla F=0.} \tag{27}

其中 $\mathbf C$ 是界面几何运动速度；海水质点的速度用 $\mathbf V$ 表示。这两个速度概念应当分开。

控制曲面法向量、界面方程及界面运动的几何含义

2. 无质量交换意味着什么？#

界面不可被流体质点穿透，意味着流体相对于界面的法向速度为零：

\boxed{(\mathbf V-\mathbf C)\cdot\mathbf n=0.} \tag{28}

等价地：

\mathbf V\cdot\mathbf n=\mathbf C\cdot\mathbf n.

只要求法向分量相同：流体仍可以沿界面切向流动。

把 $\mathbf n=\nabla F/|\nabla F|$ 和式（27）代入，得到：

\mathbf V\cdot\nabla F=\mathbf C\cdot\nabla F=-\frac{\partial F}{\partial t}.

所以：

\boxed{\frac{\partial F}{\partial t}+\mathbf V\cdot\nabla F=0.} \tag{29}

这是无质量交换的运动学边界条件的一般形式。

3. 如果界面两侧都是流体？#

设界面两侧速度分别为 $\mathbf V_1,\mathbf V_2$ ，且两侧均不能穿过界面：

\boxed{\mathbf V_1\cdot\mathbf n =\mathbf V_2\cdot\mathbf n =\mathbf C\cdot\mathbf n.} \tag{30}

因此两侧分别满足：

\frac{\partial F}{\partial t}+\mathbf V_1\cdot\nabla F=0, \qquad \frac{\partial F}{\partial t}+\mathbf V_2\cdot\nabla F=0.

两种流体分界面：两侧法向速度与界面法向速度一致

直观理解：海面上方空气和下方海水可以沿界面不同方向流动；在没有质量穿越界面的理想化设定下，两侧的法向速度都必须与界面的法向运动匹配。

4. 海面运动学边界条件：完整推导#

令海面高度相对静止海面为 $\zeta(x,y,t)$ ，即：

F(x,y,z,t)=z-\zeta(x,y,t)=0.

先求偏导：

\frac{\partial F}{\partial t}=-\frac{\partial\zeta}{\partial t},\qquad \nabla F=\left(-\frac{\partial\zeta}{\partial x}, -\frac{\partial\zeta}{\partial y},1\right).

令 $\mathbf V=(u,v,w)$ ，则：

\mathbf V\cdot\nabla F =-u\frac{\partial\zeta}{\partial x} -v\frac{\partial\zeta}{\partial y}+w.

代入式（29）：

-\frac{\partial\zeta}{\partial t} -u\frac{\partial\zeta}{\partial x} -v\frac{\partial\zeta}{\partial y}+w=0.

整理得到：

\boxed{\frac{\partial\zeta}{\partial t} +u\frac{\partial\zeta}{\partial x} +v\frac{\partial\zeta}{\partial y}=w \qquad(z=\zeta).} \tag{31}

设水平速度 $\mathbf V_H=(u,v)$ 、水平梯度 $\nabla_H=(\partial_x,\partial_y)$ ，则：

\boxed{\frac{\partial\zeta}{\partial t}+\mathbf V_H\cdot\nabla_H\zeta-w=0.}

海面几何形状与运动学边界条件

三个部分分别表示：

$\partial\zeta/\partial t$ ：固定位置海面的升降；
$\mathbf V_H\cdot\nabla_H\zeta$ ：水平流动沿倾斜海面产生的垂直几何效应；
$w$ ：海面上海水质点的真实垂向速度。

TIP
具体例子：海面倾斜时，即使海面高度不随时间变化， $w$ 也可以不为零。
若海面形状为 $\zeta=ax$ ，并且 $\partial_t\zeta=0$ ，海水沿 $x$ 方向以速度 $u=U$ 运动， $v=0$ ，则：
$w=U\frac{\partial\zeta}{\partial x}=Ua.$
海水沿着斜坡状海面运动，会有与坡度相匹配的垂向速度，仍满足无穿透条件。

5. 海底运动学边界条件：完整推导#

仍以静止海面为 $z=0$ 、竖直向上为正，令海底水深 $h(x,y)>0$ ：

z=-h(x,y),\qquad F(x,y,z,t)=z+h(x,y)=0.

静止海底不随时间变化：

\frac{\partial F}{\partial t}=0,\qquad \nabla F=\left(\frac{\partial h}{\partial x},\frac{\partial h}{\partial y},1\right).

代入式（29）：

0+u\frac{\partial h}{\partial x} +v\frac{\partial h}{\partial y}+w=0.

所以：

\boxed{w=-u\frac{\partial h}{\partial x}-v\frac{\partial h}{\partial y} =-\mathbf V_H\cdot\nabla_H h \qquad(z=-h).} \tag{32}

海底地形及无质量交换的海底运动学边界条件

物理意义：沿倾斜海底运动的水，其垂向速度必须与地形坡度相配合，才能沿海底滑动而不穿越海底。

例如水深朝东增加，即 $\partial h/\partial x>0$ ；如果海水向东流动 $u>0$ ，则 $w<0$ ，海水会沿着向深处下倾的海底运动。

特殊情形：平坦海底 $\nabla_Hh=0$ ，于是：

\boxed{w=0\quad(z=-h).}

注意：此处 $w=0$ 是平坦、静止、不可渗透的海底上的条件。在起伏地形上，通常需要使用完整式（32）。

八、有质量交换的海面运动学边界条件#

1. 为什么海面还存在“有质量交换”的情况？#

真实海气界面会发生：

蒸发：水从海洋进入大气；
降水：水从大气进入海洋。

课件强调，理想化地将这些质量交换视为纯水交换，盐分仍留在海水中。引入符号：

$\rho_w$ ：纯水组分的质量密度；
$\rho_s$ ：盐分组分的质量密度；
$\mathbf V_w,\mathbf V_s$ ：纯水、盐分组分的运动速度；
$\rho=\rho_w+\rho_s$ ：海水总密度；
$b$ ：单位时间、单位水平面积上的纯水质量交换通量，单位 $\mathrm{kg\,m^{-2}\,s^{-1}}$ 。

在课件法线取向下， $b>0$ 表示海水向外损失纯水（如蒸发）， $b<0$ 表示海洋获得纯水（如降水）。

海气界面质量通量 b 的法向分解示意图

2. 为什么出现 $\cos\gamma$ ？#

海面可能倾斜。 $b$ 以水平投影面积定义，而质量通量的通用边界表达式使用曲面真实面积及其法向分量。

记 $\gamma$ 为海面法向 $\mathbf n$ 与竖直方向 $\mathbf e_z$ 的夹角：

\cos\gamma=\mathbf n\cdot\mathbf e_z =\frac{\partial F/\partial z}{|\nabla F|}. \tag{33}

若表面面积为 $dA$ ，其水平投影面积为 $dA\cos\gamma$ ，故边界通量中会出现 $b\cos\gamma$ 。

3. 写出纯水和盐分各自的交换条件#

设 $\mathbf C$ 为海面几何移动速度。沿海水指向大气的法向，课件分别给出：

纯水组分：

\boxed{\rho_w(\mathbf V_w-\mathbf C)\cdot\mathbf n=b\cos\gamma.} \tag{34}

盐分组分：

\boxed{\rho_s(\mathbf V_s-\mathbf C)\cdot\mathbf n=0.} \tag{35}

盐分方程的右边为零，表示此处假定盐不会随纯水蒸发跨界面流走。

两式相加：

(\rho_w\mathbf V_w+\rho_s\mathbf V_s) \cdot\mathbf n-(\rho_w+\rho_s)\mathbf C\cdot\mathbf n =b\cos\gamma.

4. 定义海水质心速度，合并为一个方程#

定义海水的质量加权平均速度（质心速度）：

\boxed{\mathbf V= \frac{\rho_w\mathbf V_w+\rho_s\mathbf V_s} {\rho_w+\rho_s}.} \tag{36}

由于 $\rho=\rho_w+\rho_s$ ，可将上式化为：

\rho(\mathbf V-\mathbf C)\cdot\mathbf n=b\cos\gamma.

除以 $\rho$ ：

\boxed{(\mathbf V-\mathbf C)\cdot\mathbf n =\frac{b}{\rho}\cos\gamma.} \tag{37}

与无质量交换的 $(\mathbf V-\mathbf C)\cdot\mathbf n=0$ 比较：新增了跨界面纯水通量项。

5. 变成便于海洋计算的海面高度方程#

把曲面几何关系代入式（37）：

\mathbf n=\frac{\nabla F}{|\nabla F|},\qquad \mathbf C\cdot\mathbf n=-\frac{\partial F/\partial t}{|\nabla F|},\qquad \cos\gamma=\frac{\partial F/\partial z}{|\nabla F|}.

于是：

\frac{\mathbf V\cdot\nabla F+\partial F/\partial t}{|\nabla F|} =\frac{b}{\rho}\frac{\partial F/\partial z}{|\nabla F|}.

乘以 $|\nabla F|$ ，得到有质量交换的通用界面条件：

\boxed{\frac{\partial F}{\partial t}+\mathbf V\cdot\nabla F =\frac{b}{\rho}\frac{\partial F}{\partial z}.} \tag{38}

现在令自由海面 $F=z-\zeta(x,y,t)$ 。此前已计算：

\frac{\partial F}{\partial t}=-\frac{\partial\zeta}{\partial t},\quad \mathbf V\cdot\nabla F=-u\zeta_x-v\zeta_y+w,\quad \frac{\partial F}{\partial z}=1.

代入式（38）：

-\zeta_t-u\zeta_x-v\zeta_y+w=\frac{b}{\rho}.

移项，得到本课推导的最终结果：

\boxed{\frac{\partial\zeta}{\partial t} +\mathbf V_H\cdot\nabla_H\zeta-w =-\frac{b}{\rho}\qquad(z=\zeta).} \tag{39}

海面有纯水质量交换时的运动学边界条件：从两组分通量到海面高度方程

6. 用两个极端情形检验正负号#

情形 A：没有蒸发和降水。 若 $b=0$ ，式（39）退化为：

\zeta_t+\mathbf V_H\cdot\nabla_H\zeta-w=0,

恰好恢复前面推导的无质量交换海面条件。

情形 B：静止、水平的海面，只发生蒸发。 取 $\mathbf V_H=0,w=0$ ，且 $b>0$ ：

\frac{\partial\zeta}{\partial t}=-\frac{b}{\rho}<0.

海面下降，与蒸发导致海水损失的直观判断一致。若是降水， $b<0$ ，则 $\partial\zeta/\partial t>0$ ，海面上升。

NOTE
这一步是一个非常好用的符号自检方法。在边界条件推导中，遇到 $\zeta$ 、 $h$ 、 $F$ 、法线方向、质量通量正负等符号时，可以代入“静止水平海面 + 单独蒸发”的情形检查是否合理。

九、本课公式汇总与易错点#

1. 九个必须掌握的公式#

公式	表达式	使用情形
质量连续方程	$\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho\mathbf V)=0$	可压缩的一般质量守恒
随体形式	$D\rho/Dt+\rho\nabla\cdot\mathbf V=0$	与质点体积变化联系
不可压缩连续方程	$\nabla\cdot\mathbf V=0$	适用不可压缩近似时
盐量扩散方程	$Ds/Dt=K_s\Delta s$	常系数分子扩散
热传导方程	$D\theta/Dt=K_\theta\Delta\theta$	常系数分子传导
状态方程	$\rho=\rho(\theta,s,p)$	联系密度、温盐与压强
无交换通用边界	$\partial_tF+\mathbf V\cdot\nabla F=0$	不可穿透界面
自由海面条件	$\zeta_t+\mathbf V_H\cdot\nabla_H\zeta=w$	无海气质量交换
海底与有交换海面	$w=-\mathbf V_H\cdot\nabla_Hh$ ； $\zeta_t+\mathbf V_H\cdot\nabla_H\zeta-w=-b/\rho$	起伏海底 / 蒸发降水

2. 五个最容易出错的地方#

两个连续方程要区分： $\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho\mathbf V)=0$ 是一般质量守恒； $\nabla\cdot\mathbf V=0$ 是在不可压缩近似下得到的体积连续方程。
别把盐量平流项当成扩散项： $\mathbf V\cdot\nabla s$ 描述随水流动， $K_s\Delta s$ 描述分子扩散；温度方程同理。
热膨胀系数的符号：标准定义 $\alpha=-(1/\rho)(\partial\rho/\partial\theta)_{s,p}$ ；课件对应页存在符号笔误。
科氏力叉乘与坐标分量：正确的单位质量科氏加速度为 $-2\boldsymbol\Omega\times\mathbf V$ 。课件行列式展开页与直角坐标式的符号不一致，应以完整叉乘重新检查。
海面与海底的地形函数符号：海面 $F=z-\zeta$ ，海底 $F=z+h$ ；这直接决定 $\zeta$ 梯度和 $h$ 梯度的正负号。质量交换还要明确 $b$ 的正方向。

3. 最后用一条推导链串起来#

\boxed{\begin{gathered} \text{守恒定律}\ \longrightarrow\ \text{固定控制体积分形式}\\ \xrightarrow{\text{高斯公式}}\text{局地守恒方程}\\ \xrightarrow{\text{连续方程消去密度项}} \text{随体输运方程}\\ \xrightarrow{\text{扩散定律、状态方程}} \text{海水运动基本方程组}\\ \xrightarrow{F(x,y,z,t)=0} \text{海面和海底运动学边界条件}. \end{gathered}}

这一课最值得自己动笔重做的三次推导：

从固定控制体的质量守恒推到 $\partial_t\rho+\nabla\cdot(\rho\mathbf V)=0$ ，再变为 $D\rho/Dt+\rho\nabla\cdot\mathbf V=0$ ；
从 $\partial_t(\rho s)+\nabla\cdot(\rho s\mathbf V)=-\nabla\cdot\mathbf S$ 出发，利用连续方程推导盐量扩散方程，并将相同方法迁移到温度方程；
从一般界面 $F=0$ 推到 $\partial_tF+\mathbf V\cdot\nabla F=0$ ，依次得到海面、海底和有纯水质量交换的海面条件。

资料说明#

课程原始资料：袁野平，浙江大学《物理海洋学》，2026-10-12 第 1—2 节课堂 PPT 投屏截图（第 6—75 张含本课教学内容）。
录音附件的可用性：所提供的 DOCX 内有课堂投屏图片及时间戳，但无可读取的口述转写。因此笔记没有将未核实的口头例子、作业、考试要求写成教师原话。
讲解扩展范围：文中的控制体与分子通量逐步展开、速度场例子、倾斜海面例子、符号自检和课件符号校核为辅助自学的补充说明；其出发公式均来自本次课件。

课程信息与成绩相关提醒#

概述#

本课知识框架#

目录#

一、连续方程：质量守恒#

1. 先明确研究对象：固定控制体#

2. 利用高斯散度定理：面通量转成体积分#

3. 为什么它还能写成随体导数形式？#

4. 不可压缩近似与体积连续方程#

二、盐量扩散方程：盐量守恒#

1. 为什么盐度还需要一个单独的方程？#

2. 从固定控制体上的盐量收支推导#

3. 关键步骤：利用质量连续方程消去密度项#

4. 分子扩散：菲克定律（Fick’s law）#

5. 每一项到底是什么意思？#

三、热传导方程：热量守恒#

1. 热量同样有“随水流动”和“分子传导”两种输运#

2. 热量守恒的积分与微分形式#

3. 傅里叶热传导定律（Fourier’s law）#

4. 为什么最后会得到与盐量类似的形式？#

5. 盐量扩散与热传导：结构完全对应#

四、海水状态方程#

1. 为什么需要状态方程？#

2. 状态方程的全微分：一步步来#

3. 海水密度的两个重要非线性效应#

（1）卡贝尔效应（cabbeling）#

（2）热压效应（thermobaricity）#

五、海水运动基本方程组#

1. 为什么需要“方程组”？#

2. 向量形式#

3. 展开为直角坐标：三条动量方程#

4. 科氏力方向与公式校核#

5. 直角坐标中的另外四个标量方程#

六、边界条件的意义与分类#

1. 为什么仅有方程组仍然不够？#

2. 用一个函数表示任意曲面#

七、无质量交换的运动学边界条件#

1. 核心想法：边界上的质点始终留在边界上#

2. 无质量交换意味着什么？#

3. 如果界面两侧都是流体？#

4. 海面运动学边界条件：完整推导#

5. 海底运动学边界条件：完整推导#

八、有质量交换的海面运动学边界条件#

1. 为什么海面还存在“有质量交换”的情况？#

2. 为什么出现 cos⁡γ\cos\gammacosγ？#

3. 写出纯水和盐分各自的交换条件#

4. 定义海水质心速度，合并为一个方程#

5. 变成便于海洋计算的海面高度方程#

6. 用两个极端情形检验正负号#

九、本课公式汇总与易错点#

1. 九个必须掌握的公式#

2. 五个最容易出错的地方#

3. 最后用一条推导链串起来#

资料说明#

2. 为什么出现 $\cos\gamma$ ？#