概述#

这两部分的核心链条是：

先明确 流体力学研究什么，再把真实流体抽象成 连续介质（continuum），随后用密度、压缩性、黏性、表面张力和汽化压强描述流体，最后明确流体所受的质量力与表面力。

后续静水力学、流体运动学和动力学中的方程，都建立在这里的概念和物性参数上。

本笔记按照课件的章节划分：

Chapter 0 — Introduction：流体力学的定义、发展、应用与研究方法
Chapter 1 — The Main Properties of Fluids：流体模型、惯性、压缩性、黏性、表面张力、汽化压强与受力

教学范围判断#

四份课件和课本第 1、2 章中，没有出现“本节不考”或“明确删除”的标记，因此不建议直接删掉任何课件标题下的知识点。

结合四份历年卷，可以将内容分成两档：

高频核心：连续介质模型、流体质点、密度、体积模量、动力黏度与运动黏度、温度对黏度的影响、牛顿内摩擦定律、牛顿流体与非牛顿流体、质量力与表面力。
低频背景：流体力学史中的人物生平、工程应用举例、课程学习建议。历年卷中几乎没有直接考查，但课件没有明确排除，因此在笔记中压缩保留。

本章最重要的五个式子#

\rho=\frac{m}{V}

\beta=-\frac{1}{V}\frac{\mathrm dV}{\mathrm dp} =\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dp}

K=\frac{1}{\beta}=-V\frac{\mathrm dp}{\mathrm dV} =\rho\frac{\mathrm dp}{\mathrm d\rho}

\tau=\mu\frac{\mathrm du}{\mathrm dy}

\nu=\frac{\mu}{\rho}

目录#

Part I 笔记
- Chapter 0 Introduction
- Chapter 1 The Main Properties of Fluids
Part II 练习题

Part I 笔记#

Chapter 0 Introduction#

0.1 Fluid Mechanics 的定义#

流体力学（Fluid Mechanics） 是研究流体的平衡、运动规律，以及这些规律在工程中的应用的一门力学分支。

从研究状态看，可分为：

Hydrostatics（流体静力学）：研究静止流体的平衡与压强分布。
Fluid Dynamics（流体动力学）：研究流体的运动、受力以及质量、动量和能量之间的关系。

从工程应用看，流体力学与以下领域密切相关：

水利与海洋工程：河流、港口、海岸、波浪、管道、明渠
土木工程：供排水、桥涵、防洪、地下水与渗流
机械与能源工程：泵、风机、涡轮机、内燃机
环境与生物流动：污染物输运、血液流动、呼吸流动
航空航天与气象：空气动力学、大气运动

流体力学关心的是宏观机械运动。分子层面的热运动只在建立物性模型时作为背景。

0.2 发展脉络#

按课件给出的时间线，可以压缩为三阶段：

经验与早期理论阶段
- 阿基米德研究浮体平衡。
- 中国古代都江堰等工程积累了大量水流控制经验。
经典理论形成阶段
- Newton：建立经典力学基础并提出黏性定律思想。
- Bernoulli、Euler：发展理想流体动力学。
- Navier、Stokes：建立黏性流体运动方程。
- Reynolds：区分层流与湍流。
- Prandtl：提出边界层理论，把理想流动与近壁黏性效应联系起来。
理论、实验与数值并重阶段
- 相似理论使模型试验具有可推广性。
- 计算机发展推动了 Computational Fluid Dynamics, CFD。

TIP
考试中更重要的是人物对应的核心贡献，例如 Bernoulli—能量关系、Euler—理想流体、Navier–Stokes—黏性流体方程、Reynolds—层流与湍流、Prandtl—边界层。人物生平和工程故事属于低优先级背景。

0.3 流体力学的三类研究方法#

Theoretical Method（理论研究）#

从物理定律出发，建立数学模型并求解。

常用守恒关系：

质量守恒

\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}=0

动量定理

\sum \boldsymbol F=\frac{\mathrm d(m\boldsymbol u)}{\mathrm dt}

牛顿第二定律

\sum \boldsymbol F=m\boldsymbol a

机械能守恒与能量损失

\text{动能}+\text{压强能}+\text{位能}+\text{损失}=\text{常量}

理论方法的基本流程：

抽象研究对象；
作出合理假设；
建立控制方程；
给出初始条件和边界条件；
求解并判断结果是否符合物理实际。

Experimental Method（实验研究）#

实验研究主要包括：

Prototype observation（原型观测）：直接观察真实工程或自然流动。
Systematic experiment（系统实验）：控制变量并研究规律。
Model test（模型试验）：按相似原理缩小或放大原型。

模型试验必须满足相应相似准则。课件在绪论中提前给出了：

Re=\frac{vL}{\nu},\qquad Fr=\frac{v}{\sqrt{gL}}

这里暂时只需知道：

$Re$ 反映惯性效应与黏性效应的相对强弱；
$Fr$ 反映惯性效应与重力效应的相对强弱。

详细的量纲分析和相似理论在后续章节学习。

Numerical Method（数值研究）#

将连续方程离散成有限个代数方程，再用计算机求近似解。

常见方法：

Finite Difference Method, FDM
Finite Volume Method, FVM
Finite Element Method, FEM

数值结果仍需通过理论、实验或工程数据验证。

0.4 流动分析中的必要简化#

真实流动同时包含大量物理因素。求解前通常需要：

判断流体能否近似为不可压缩流体；
判断黏性是否必须保留；
判断流动是否随时间变化；
判断问题可否简化为一维或二维；
选取主要作用力，忽略次要作用力。

简化成立的关键在于量级判断。假设必须与研究尺度、流速、压强变化和所需精度相匹配。

Chapter 1 The Main Properties of Fluids#

1.1 Fluid and Its Modeling#

1.1.1 固体、液体与气体#

物质常见三态为 solid、liquid 和 gas。

流体与固体的根本区别#

流体的定义：

流体是在任意微小剪切力持续作用下都会连续变形的物质。

固体和流体面对剪切作用时的差别：

对弹性固体，在弹性范围内，剪切应力与剪切变形量相关；撤去外力后通常可恢复原状。
对流体，剪切应力与剪切变形速率相关；只要剪切作用存在，流体就持续变形。

因此：

静止流体内部没有剪应力；
运动流体是否产生剪应力，取决于黏性和速度梯度；
流体可以承受压应力，难以在静止状态下持续承受剪应力和拉应力。

[插图占位] 插入课件《The main properties of fluids》第 6 页“固体与流体受剪变形对比图”，突出“固体看变形量，流体看变形速率”。

液体与气体#

相同点：

都能流动；
都会在剪切作用下持续变形；
静止时都没有剪应力。

主要差别：

性质	液体	气体
压缩性	通常较小	通常较大
体积	在给定状态下近似确定	充满容器
自由表面	通常存在	通常不存在清晰自由表面

1.1.2 Continuum Model（连续介质模型）#

微观上，流体由分子组成，分子之间存在间隙。宏观流动的特征尺度远大于分子尺度，因此可作连续化处理。

连续介质模型：把流体看成连续、无空隙地充满其占据空间的介质，并认为速度、密度、压强等物理量是空间和时间的连续函数：

\boldsymbol u=\boldsymbol u(x,y,z,t),\qquad \rho=\rho(x,y,z,t),\qquad p=p(x,y,z,t)

优点：

避开复杂的分子随机运动；
可以使用微积分和微分方程描述流动；
能在宏观尺度上定义某点的密度、速度和压强。

连续介质模型并非对所有尺度都有效。当研究尺度接近分子平均自由程时，需要分子运动论或稀薄气体理论；本课程默认宏观连续介质条件成立。

1.1.3 Fluid Particle / Fluid Parcel（流体质点）#

流体质点是连续介质中的基本研究单元：

相对于整个流场，其几何尺寸足够小，可视为一个点；
相对于分子尺度，其体积足够大，包含大量分子；
质点内部的物理量可用平均值表示；
在运动过程中可发生平移、转动和变形。

WARNING
流体质点不等同于单个分子，也不等同于悬浮在流体中的固体颗粒。

1.1.4 “点值”的含义#

以密度为例，点 $A$ 处密度写为：

\rho_A=\lim_{\Delta V\to \delta V}\frac{\Delta m}{\Delta V}

其中 $\delta V$ 要同时满足：

对流场尺度足够小；
对分子尺度足够大。

工程教材中常简写为 $\Delta V\to0$ ，其物理含义仍是“趋近宏观微小体积”，并未真的缩到单分子尺度。

1.2 Inertia and Density#

1.2.1 Mass and Inertia（质量与惯性）#

质量是物质的基本属性，也是物体保持原运动状态能力的量度。

在非惯性参考系中，为便于列平衡方程，常引入与参考系加速度方向相反的惯性力。

1.2.2 Density（密度）#

均匀流体：

\rho=\frac{m}{V}

非均匀流体在一点处：

\rho=\lim_{\Delta V\to \delta V}\frac{\Delta m}{\Delta V}

单位：

[\rho]=\mathrm{kg/m^3}

密度一般可写为：

\rho=\rho(x,y,z,t)

水在常温常压下常近似取：

\rho_w\approx1000\ \mathrm{kg/m^3}

1.2.3 Specific Weight（重度）#

单位体积流体的重量：

\gamma=\rho g

单位：

[\gamma]=\mathrm{N/m^3}

水的重度常近似取：

\gamma_w\approx9.8\times10^3\ \mathrm{N/m^3}

1.2.4 Relative Density（相对密度）#

液体的相对密度通常定义为：

s=\frac{\rho}{\rho_w}

它是无量纲数。例如油的相对密度为 $0.95$ ，则：

\rho_{oil}=0.95\rho_w\approx950\ \mathrm{kg/m^3}

1.3 Compressibility#

1.3.1 压缩性的定义#

流体因压强变化而发生体积或密度变化的性质称为 compressibility（压缩性）。

质量不变时：

\mathrm d(\rho V)=0

所以：

\rho\,\mathrm dV+V\,\mathrm d\rho=0

\frac{\mathrm dV}{V}=-\frac{\mathrm d\rho}{\rho}

压强增大时，通常 $\mathrm dV<0$ 、 $\mathrm d\rho>0$ 。

1.3.2 Coefficient of Volume Compressibility#

体积压缩系数：

\beta=-\frac{1}{V}\frac{\mathrm dV}{\mathrm dp} =\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dp}

单位：

[\beta]=\mathrm{Pa^{-1}}=\mathrm{m^2/N}

$\beta$ 越大，流体越容易被压缩。

1.3.3 Bulk Modulus（体积模量）#

体积模量是压缩系数的倒数：

K=\frac{1}{\beta} =-V\frac{\mathrm dp}{\mathrm dV} =\rho\frac{\mathrm dp}{\mathrm d\rho}

单位：Pa。

物理意义：

$K$ 越大，压缩性越小；
$K\to\infty$ 时，可理想化为不可压缩流体；
水的 $K$ 约为 $2.0\times10^9\ \mathrm{Pa}$ ，油约为 $1.6\times10^9\ \mathrm{Pa}$ ，具体数值随温度和压强略有变化。

压强变化较小时，可用有限差分近似：

\frac{\Delta V}{V}\approx-\frac{\Delta p}{K}

\frac{\Delta\rho}{\rho}\approx\frac{\Delta p}{K}

WARNING
体积减小对应 $\Delta V<0$ 。计算中最常见的错误是漏掉负号，导致“压强增大、体积也增大”的非物理解。

1.3.4 课件例题：水体积减小所需压强#

已知 $K=2000\ \mathrm{MPa}$ 。

若体积减小 $0.1\%$ ：

\Delta p=-K\frac{\Delta V}{V} =-2000\times(-0.1\%)=2.0\ \mathrm{MPa}

若体积减小 $1\%$ ：

\Delta p=20\ \mathrm{MPa}

这说明液体虽然可压缩，但通常需要很大的压强变化才能产生明显体积变化。

1.3.5 课件例题：管道漏水量#

管长 $l=200\ \mathrm m$ ，直径 $d=0.4\ \mathrm m$ ，压强由 $5.39\times10^6\ \mathrm{Pa}$ 降到 $4.90\times10^6\ \mathrm{Pa}$ ，水的压缩系数为：

\beta=4.83\times10^{-10}\ \mathrm{Pa^{-1}}

管内初始体积：

V=\frac{\pi d^2}{4}l

因压强下降，水体膨胀；膨胀体积等于漏失水量：

\Delta V=-\beta V\Delta p

代入：

\Delta V=5.95\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}

一小时平均漏水流量：

Q=\frac{\Delta V}{3600} =1.65\times10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}

1.3.6 Thermal Expansion（热膨胀）#

在压强近似不变时，体积膨胀系数：

\alpha_V=\frac{1}{V}\frac{\mathrm dV}{\mathrm dT} =-\frac{1}{\rho}\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dT}

单位： $\mathrm{K^{-1}}$ 或 $\mathrm{^{\circ}C^{-1}}$ 。

质量守恒给出更精确的有限变化关系：

\rho_1V_1=\rho_2V_2

V_2=V_1\frac{\rho_1}{\rho_2}

TIP
课件例题用 $\Delta V/V\approx-\Delta\rho/\rho$ 作一阶近似；当温差较大时，直接使用 $\rho_1V_1=\rho_2V_2$ 更精确。考试若沿用课件数据与方法，应写明所采用的近似。

1.3.7 Gas Compressibility（气体压缩性）#

理想气体状态方程：

p=\rho RT

其中：

$p$ ：绝对压强；
$T$ ：绝对温度；
$R$ ：气体常数。

气体一般具有明显压缩性。在压强变化相对很小时，也可近似按不可压缩流体处理。

1.3.8 Compressible / Incompressible Fluid#

可压缩流体：研究过程中密度变化不可忽略。
不可压缩流体：研究过程中密度变化很小，可取 $\rho=\text{const}$ 。

判断依据取决于具体过程：

液体在普通低速、压强变化不大的流动中常按不可压缩处理；
水击、爆炸、强压力波等过程中，液体压缩性不能忽略；
气体在低速且压强变化很小时可近似不可压缩。

1.4 Viscosity#

1.4.1 Internal Friction（内摩擦）#

黏性描述运动流体抵抗剪切变形速率的能力。

微观来源：

液体：相邻分子层之间的分子吸引作用占主导；
气体：分子跨层运动造成的动量交换占主导。

产生黏性剪应力需要同时具备：

流体具有黏性；
相邻流层存在相对运动，即存在速度梯度。

若所有流层速度相同， $\mathrm du/\mathrm dy=0$ ，即使 $\mu\ne0$ ，剪应力仍为零。

1.4.2 Actual Fluid and Ideal Fluid#

Actual fluid（实际流体）：具有黏性，运动时可产生剪应力与机械能损失。
Ideal fluid（理想流体）：假想的无黏流体， $\mu=0$ ，运动中不产生黏性剪应力。

理想流体模型可用于黏性影响较弱的区域，但近壁面、尾流、边界层和能量损失问题中通常不适用。

1.4.3 Dynamic and Kinematic Viscosity#

Dynamic viscosity（动力黏度）#

符号 $\mu$ ，单位：

[\mu]=\mathrm{Pa\cdot s}=\mathrm{N\cdot s/m^2}

量纲：

[\mu]=ML^{-1}T^{-1}

Kinematic viscosity（运动黏度）#

\nu=\frac{\mu}{\rho}

单位与量纲：

[\nu]=\mathrm{m^2/s},\qquad [\nu]=L^2T^{-1}

运动黏度同时包含黏性与惯性信息，因此在 Reynolds 数中出现。

水的运动黏度可按课件经验式估算：

\nu=\frac{0.01775\times10^{-4}} {1+0.0337T+0.000221T^2}\quad(\mathrm{m^2/s})

其中 $T$ 使用摄氏温度。

1.4.4 黏度的影响因素#

流体种类：不同流体的分子结构和作用不同。
温度：主要影响因素。
压强：普通工程压强范围内常可忽略；高压条件下可能需要考虑。

温度升高时：

液体的 $\mu$ 通常减小；
气体的 $\mu$ 通常增大。

原因：

液体中分子间吸引减弱；
气体中分子运动加快，跨层动量交换增强。

1.4.5 Newton’s Law of Viscosity#

对牛顿流体：

\tau=\mu\frac{\mathrm du}{\mathrm dy}

其中：

$\tau$ ：黏性剪应力，单位 Pa；
$u$ ：沿流动方向速度；
$y$ ：垂直于流层方向坐标；
$\mathrm du/\mathrm dy$ ：速度梯度，也表示剪切变形速率。

若只求大小：

|\tau|=\mu\left|\frac{\mathrm du}{\mathrm dy}\right|

剪应力方向始终阻碍相邻流层之间的相对运动。

速度梯度为什么等于角变形速率#

相距 $\mathrm dy$ 的两流层速度相差 $\mathrm du$ 。在时间 $\mathrm dt$ 内，其相对位移为 $\mathrm du\,\mathrm dt$ 。

小变形时：

\mathrm d\theta\approx\tan(\mathrm d\theta) =\frac{\mathrm du\,\mathrm dt}{\mathrm dy}

所以：

\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt} =\frac{\mathrm du}{\mathrm dy}

因此牛顿内摩擦定律也可写为：

\tau=\mu\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}

1.4.6 线性速度分布#

两平行板间距为 $Y$ ，下板静止，上板以速度 $U$ 运动。若速度沿 $y$ 线性分布：

u(y)=\frac{U}{Y}y

则：

\frac{\mathrm du}{\mathrm dy}=\frac{U}{Y}

\tau=\mu\frac{U}{Y}

在 $\mu$ 为常量且速度分布为直线时，整个流层中的剪应力为常量。

1.4.7 课件例题：两层液体 Couette 流#

上板以 $U$ 运动，下板静止。上层厚度 $h_1$ 、黏度 $\mu_1$ ；下层厚度 $h_2$ 、黏度 $\mu_2$ 。设界面速度为 $u_i$ 。

上层剪应力：

\tau_1=\mu_1\frac{U-u_i}{h_1}

下层剪应力：

\tau_2=\mu_2\frac{u_i}{h_2}

界面处切向力连续：

\tau_1=\tau_2

所以：

\boxed{u_i= \frac{\mu_1h_2}{\mu_2h_1+\mu_1h_2}U}

两层速度分布分别为直线：

u_1(y)=u_i+\frac{U-u_i}{h_1}(y-h_2)

u_2(y)=\frac{u_i}{h_2}y

在无压强梯度、稳态、界面无附加切向力条件下，两层剪应力相等且为常量。黏度较大的层速度梯度较小。

1.4.8 课件例题：斜面上的木块#

木块质量 $m=5\ \mathrm{kg}$ ，底面积：

A=0.4\times0.45\ \mathrm{m^2}

木块以 $U=1\ \mathrm{m/s}$ 沿斜面匀速下滑，油膜厚度 $\delta=0.1\ \mathrm{mm}$ ，坡度为 $5:12$ 。

匀速说明沿坡方向合力为零：

mg\sin\theta=\tau A

线性速度分布：

\tau=\mu\frac{U}{\delta}

因此：

\mu=\frac{mg\sin\theta\,\delta}{AU}

由：

\theta=\arctan\frac{5}{12}=22.62^\circ

得到：

\boxed{\mu\approx1.05\times10^{-2}\ \mathrm{Pa\cdot s}}

1.4.9 课件例题：旋转圆盘油膜#

圆盘半径 $R=0.05\ \mathrm m$ ，油膜厚度 $\delta=1.5\ \mathrm{mm}$ ，转速 $n=50\ \mathrm{r/min}$ ，克服黏性阻力所需转矩：

M=2.94\times10^{-4}\ \mathrm{N\cdot m}

半径 $r$ 处切向速度：

u=\omega r=2\pi nr

这里 $n$ 必须换成 $\mathrm{s^{-1}}$ 。

微元环面积：

\mathrm dA=2\pi r\,\mathrm dr

微元剪力：

\mathrm dF=\mu\frac{\omega r}{\delta}\,2\pi r\,\mathrm dr

微元转矩：

\mathrm dM=r\,\mathrm dF

积分得：

M=\int_0^R\frac{2\pi\mu\omega}{\delta}r^3\,\mathrm dr =\frac{\pi\mu\omega R^4}{2\delta} =\frac{\pi^2\mu nR^4}{\delta}

所以：

\boxed{\mu=8.58\times10^{-3}\ \mathrm{Pa\cdot s}}

圆盘边缘剪应力最大：

\tau_R=\mu\frac{\omega R}{\delta} \approx1.50\ \mathrm{Pa}

WARNING
旋转圆盘题的三处高频错误：忘记把转速从 r/min 换成 r/s；微元面积少写一个 $r$ ；转矩中再乘力臂 $r$ 时漏乘。

1.4.10 Newtonian and Non-Newtonian Fluids#

课件用广义形式表示流变关系：

\tau=\tau_0+\mu\left(\frac{\mathrm du}{\mathrm dy}\right)^n

类型	条件	特征	例子
Ideal fluid	$\mu=0,\tau_0=0$	无黏性	理想模型
Newtonian fluid	$\tau_0=0,n=1,\mu=\text{const}$	过原点的直线	水、空气、汽油
Bingham fluid	$\tau_0\ne0,n=1$	超过屈服应力后近似线性	泥浆、牙膏
Shear-thinning	$\tau_0=0,n<1$	表观黏度随剪切速率增大而减小	涂料、部分高分子溶液
Shear-thickening	$\tau_0=0,n>1$	表观黏度随剪切速率增大而增大	浓淀粉悬浮液

[插图占位] 插入课件《Basic Concepts》第 15 页“流变曲线图”，标出 Newtonian、Bingham、shear-thinning、shear-thickening 与 ideal fluid。

WARNING
“ $\tau$ 与 $\mathrm du/\mathrm dy$ 呈线性关系”仍不足以判定为牛顿流体。Bingham 流体在屈服后也可呈直线，但直线不通过原点。

1.4.11 Flow Energy Loss#

黏性内摩擦力做功时，流体的机械能不断转化为内能，形成 flow energy loss（流动能量损失）。

因此实际流体产生水头损失的根源可概括为：

流体具有黏性；
流体内部存在相对运动或速度梯度。

课件例题：水从 $h=100\ \mathrm m$ 高处落下，若全部位能转化为水的内能，水的比热容为 $c=4184\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$ ：

mgh=mc\Delta T

\Delta T=\frac{gh}{c}=0.234\ \mathrm K

实际过程中，能量还会传给空气、地面并产生声能，因此水本身的温升通常更小。

1.5 Surface Tension#

1.5.1 Cohesion and Adhesion#

Cohesion（内聚力）：同种物质分子之间的吸引力。
Adhesion（附着力）：不同物质接触界面两侧分子之间的吸引力。

液体表面分子受到的分子力不平衡，使液面具有缩小表面积的趋势。

1.5.2 Surface Tension#

表面张力系数 $\sigma$ 可理解为液面单位长度上的表面张力：

[\sigma]=\mathrm{N/m}

也可理解为增加单位表面积所需的功，单位等价于 $\mathrm{J/m^2}$ 。

表面张力导致：

小液滴趋向球形；
液面形成弯月面；
毛细上升或下降；
小尺度流动中界面效应显著。

1.5.3 Capillary Action（毛细现象）#

细管插入液体后：

润湿液体形成凹形弯月面并上升；
不润湿液体形成凸形弯月面并下降。

圆管内毛细高度：

\boxed{h=\frac{2\sigma\cos\theta}{\rho gr} =\frac{4\sigma\cos\theta}{\rho gd}}

其中：

$\theta$ 为接触角；
$r$ 、 $d$ 为管半径和直径；
$h>0$ 表示上升， $h<0$ 表示下降。

课件常用数据：

水： $\theta\approx0^\circ$ ， $\sigma\approx0.074\ \mathrm{N/m}$ ；
汞： $\theta\approx140^\circ$ ， $\sigma\approx0.514\ \mathrm{N/m}$ 。

[插图占位] 插入课件《Basic Concepts》第 24、26 页“水的凹形弯月面与汞的凸形弯月面”。

1.5.4 测压管中的毛细误差#

管径越小， $|h|$ 越大。为减小毛细误差，测压管直径通常不小于约 $10\ \mathrm{mm}$ 。

若读数为 $h_1$ ，毛细修正量大小为 $h_2$ ：

水在洁净玻璃管中上升：实际压强水头约为 $h_1-h_2$ ；
汞在玻璃管中下降：实际压强水头约为 $h_1+h_2$ 。

1.6 Vapor Pressure and Cavitation#

1.6.1 Vaporization and Condensation#

Vaporization（汽化）：液体分子逸出液面进入气相。
Condensation（凝结）：气相分子回到液相。

在封闭空间内，当汽化与凝结达到动态平衡时，蒸气压称为该温度下的 saturated vapor pressure / vapor pressure（饱和汽化压强）。

汽化压强随温度升高而增大。

1.6.2 Boiling（沸腾）#

当液体内部某处的绝对压强降到该温度的汽化压强附近时，液体内部可形成大量蒸气泡。

开放容器中，沸腾条件可近似写为：

p_v(T)=p_{atm}

高原地区大气压较低，水在低于 $100^\circ\mathrm C$ 时即可沸腾，因此食物熟化速度可能降低。加盖或使用压力锅可提高内部压强和沸点。

1.6.3 Cavitation（空化）#

当流动中局部绝对压强满足：

p_{local}\le p_v(T)

会形成蒸气泡或空穴，这一过程称为空化。

1.6.4 Cavitation Erosion（空蚀）#

蒸气泡随流体进入较高压区域后迅速溃灭，产生局部冲击波和微射流，可能导致：

叶片或管壁点蚀；
振动与噪声；
效率下降；
材料表面持续损伤。

液体不能维持低于汽化压强的稳定完整液相。因此工程上最大真空度受大气压强与汽化压强之差限制：

p_{vac,max}=p_{atm}-p_v

1.7 Forces Acting on Fluids#

1.7.1 两种分类方式#

按物理性质可分为：

重力；
惯性力；
黏性力；
弹性力；
表面张力等。

按作用方式可分为：

Mass force / body force（质量力、体积力）
Surface force（表面力）

后续列微分方程时，第二种分类更重要。

1.7.2 Mass Force#

质量力作用于流体内部每个质点，其大小与质量成正比。

单位质量力：

\boldsymbol f=\frac{\boldsymbol F_m}{m} =f_x\boldsymbol i+f_y\boldsymbol j+f_z\boldsymbol k

单位：

[\boldsymbol f]=\mathrm{N/kg}=\mathrm{m/s^2}

均匀重力场中，若 $z$ 轴竖直向上：

f_x=0,\qquad f_y=0,\qquad f_z=-g

注意：单位质量重力与流体密度无关。水和汞的单位质量重力都等于 $g$ 。

非惯性参考系中的单位质量力#

容器以加速度 $a$ 沿 $+x$ 方向运动时，在容器参考系内引入惯性力：

f_x=-a,\qquad f_y=0,\qquad f_z=-g

容器自由落体时，重力与惯性力抵消，有效单位质量力为：

\boldsymbol f_{eff}=\boldsymbol 0

这为后续“相对平衡液体的压强分布”提供基础。

1.7.3 Surface Force and Stress#

表面力由相邻流体或固体通过接触面施加，其大小与作用面积相关。

面力强度称为应力，单位 Pa。

Pressure（压应力）#

垂直于作用面：

p=\lim_{\Delta A\to0}\frac{\Delta P}{\Delta A}

静止流体中仅存在压应力，不存在剪应力。

Shear Stress（剪应力）#

平行于作用面：

\tau=\lim_{\Delta A\to0}\frac{\Delta T}{\Delta A}

实际流体运动且存在速度梯度时会产生剪应力。

[插图占位] 插入课件《Basic Concepts》第 33 页“微元表面上的法向压力与切向剪力示意图”。

1.7.4 不同流体状态下的受力#

状态	重力/质量力	压应力	剪应力	惯性项
静止实际流体	有	有	无	无加速度时为零
运动实际流体	可能有	有	可能有	有
运动理想流体	可能有	有	无	有

TIP
“流体在运动”并不自动保证存在黏性剪应力。若流体作刚体式整体平移、各层速度相同，则速度梯度为零，黏性剪应力为零。

1.7.5 几组容易混淆的流体模型#

同一种流体可以从不同角度分类，这些分类彼此独立。

连续介质 / 分子模型#

这是对研究尺度的选择：

宏观尺度采用连续介质模型；
尺度接近分子平均自由程时，连续介质假设可能失效。

它并不直接说明流体是否有黏性或是否可压缩。

可压缩 / 不可压缩#

这是对研究过程中密度变化的判断：

\rho=\text{const}

表示该问题中密度变化可忽略。它是过程相关近似，同一种水在普通管流中常按不可压缩处理，在水击中要保留压缩性。

实际流体 / 理想流体#

这是对黏性的判断：

实际流体： $\mu\ne0$ ；
理想流体： $\mu=0$ 。

不可压缩流体仍然可以有黏性，例如常温水的许多管流计算同时采用“不可压缩、黏性流体”模型。

牛顿流体 / 非牛顿流体#

这是对剪应力—剪切速率本构关系的判断：

牛顿流体满足 $\tau=\mu\mathrm du/\mathrm dy$ ，且在给定温压下 $\mu$ 为常量；
非牛顿流体的表观黏度随剪切速率或时间变化，或存在屈服应力。

TIP
看到一道题时，可依次问四个问题：连续介质是否成立？密度变化能否忽略？黏性是否重要？若保留黏性，流体是否服从牛顿内摩擦定律？这四步决定后续使用哪套方程。

1.7.6 从“物性”到“受力”的因果链#

本章各节并非彼此孤立，可以连成以下因果关系：

质量与密度决定同一体积中含有多少质量，也影响惯性、重力和运动黏度。
压缩性决定压强变化是否会显著改变密度与体积。
黏性把速度梯度转化为剪应力：

\frac{\mathrm du}{\mathrm dy} \xrightarrow{\ \mu\ } \tau

剪应力对流体做负功，使机械能转化为内能，产生流动阻力和能量损失。
表面张力只在液体界面上表现明显，特征尺度越小，其相对作用通常越突出。
汽化压强给出了液相保持连续状态的最低压强尺度，局部压强过低会触发空化。
质量力与表面力最终进入静力平衡方程和流体运动方程。

因此，计算剪应力前必须先确认速度分布；判断压缩性前必须先估计压强变化；判断空化前必须使用绝对压强并知道温度。

1.7.7 量纲自检#

对本章计算，量纲检查可以迅速发现漏项。

牛顿内摩擦定律：

[\mu]\left[\frac{\mathrm du}{\mathrm dy}\right] =(\mathrm{Pa\cdot s})(\mathrm{s^{-1}})=\mathrm{Pa}

体积压缩关系：

\left[\frac{\Delta p}{K}\right]=1

所以它可与 $\Delta V/V$ 相等。

毛细高度：

\left[\frac{\sigma}{\rho gr}\right] =\frac{\mathrm{N/m}} {(\mathrm{kg/m^3})(\mathrm{m/s^2})(\mathrm m)} =\mathrm m

旋转圆盘转矩：

\left[\frac{\mu\omega R^4}{\delta}\right] =\mathrm{N\cdot m}

若结果单位无法化为目标物理量的单位，应优先检查长度单位换算、面积或力臂是否漏乘。

1.8 Chapter Summary#

1.8.1 概念关系图#

1
真实流体
2
│
3
├─ 宏观建模：连续介质 + 流体质点
4
│
5
├─ 惯性：质量、密度、重度
6
│
7
├─ 压强改变体积：压缩系数 β、体积模量 K
8
│
9
├─ 相邻流层相对运动：黏性 μ、ν、剪应力 τ
10
│
11
├─ 液气界面：表面张力 σ、毛细现象
12
│
13
├─ 液相稳定性：汽化压强、空化、空蚀
14
│
15
└─ 受力：质量力 + 表面力

1.8.2 公式速查表#

物理量	定义	SI 单位	量纲/说明
密度 $\rho$	$m/V$	kg/m³	$ML^{-3}$
重度 $\gamma$	$\rho g$	N/m³	单位体积重量
压缩系数 $\beta$	$-(1/V)\mathrm dV/\mathrm dp$	Pa⁻¹	越大越易压缩
体积模量 $K$	$1/\beta$	Pa	越大越难压缩
动力黏度 $\mu$	$\tau/(\mathrm du/\mathrm dy)$	Pa·s	$ML^{-1}T^{-1}$
运动黏度 $\nu$	$\mu/\rho$	m²/s	$L^2T^{-1}$
表面张力 $\sigma$	单位长度表面张力	N/m	也等价于 J/m²
单位质量力 $\boldsymbol f$	$\boldsymbol F_m/m$	m/s²	与加速度同单位

1.8.3 高频易错点#

流体定义看持续剪切变形，不能只写“能流动”。
流体质点包含大量分子，同时在宏观上足够小。
$K$ 与压缩性反向变化： $K$ 大，压缩性小。
动力黏度与运动黏度不能混用： $\nu=\mu/\rho$ 。
液体与气体的黏度随温度变化方向相反。
牛顿内摩擦定律中的梯度方向必须垂直于流动层。
剪应力方向阻碍相对运动，公式正负号取决于坐标约定。
两种液体界面处速度连续、剪应力连续，除非界面存在额外切向作用。
毛细高度与管径成反比，细管误差更大。
空化判断使用绝对压强，局部压强降到汽化压强附近时产生。
质量力按单位质量计量后与密度无关，重力场中均为 $g$ 。
实际流体运动不一定有剪应力，还需要速度梯度。

1.8.4 历年卷考查特点#

四份历年卷对本章的考查以短题为主：

填空： $\mu$ 、 $\nu$ 的单位与量纲，体积模量，黏性的微观来源；
判断/选择：温度对液体和气体黏度的影响，牛顿流体判据，连续介质模型；
简答：为什么采用连续介质模型，速度分布与剪应力分布；
计算：体积模量、平板油膜、两层流体剪切、旋转圆盘黏性转矩。

绪论中的历史细节在四份卷中没有形成稳定题型，复习时以人物—贡献对应关系为主。

1.8.5 英文术语速记#

本课程以英文授课，建议直接记住下列对应关系：

English	中文	关键词
continuum model	连续介质模型	物理量可视为连续函数
fluid particle / parcel	流体质点	宏观小、微观大
density	密度	单位体积质量
compressibility	压缩性	压强改变体积或密度
bulk modulus	体积模量	越大越难压缩
dynamic viscosity	动力黏度	$\mu$ ，Pa·s
kinematic viscosity	运动黏度	$\nu=\mu/\rho$
shear stress	剪应力	平行于作用面
surface tension	表面张力	液面缩小趋势
vapor pressure	汽化压强	随温度升高而增大
cavitation / erosion	空化 / 空蚀	低压成泡、高压溃灭
mass force	质量力	作用于每个流体质点
surface force	表面力	通过接触面传递

做英文题时，先圈出 per unit volume、per unit mass、absolute pressure、velocity gradient 等限定词，它们往往决定公式与单位。

Part II 练习题#

题目来源说明：本部分混合使用历年卷原题、课件例题、课本例题/习题改编和少量综合题。历年卷原题只占少数，用于呈现考试语言和难度；其余题目用于补齐知识覆盖。

一、基础概念题#

题 1：流体的定义与静止条件【课本概念题】#

说明流体与固体在剪切作用下的根本差别，并判断：“静止流体内部可以存在持续剪应力”是否正确。

解答#

固体在弹性范围内，剪切应力主要与剪切变形量相关；流体的剪切应力与剪切变形速率相关。任意微小剪切作用持续存在时，流体会持续变形。

静止流体中：

\frac{\mathrm du}{\mathrm dy}=0

对牛顿流体：

\tau=\mu\frac{\mathrm du}{\mathrm dy}=0

因此该说法错误。静止流体只能承受法向压应力。

题 2：连续介质模型【历年卷 23–24 简答题】#

什么是连续介质模型？为什么流体力学中要采用这一模型？

解答#

连续介质模型把流体视为连续、无空隙地充满其占据空间的介质，并认为 $u$ 、 $p$ 、 $\rho$ 等物理量是空间和时间的连续函数。

采用该模型的原因：

宏观流动尺度远大于分子尺度；
一个宏观微小体积中仍包含大量分子，平均物理量稳定；
可使用微积分、微分方程和连续函数理论研究流动；
避免逐个追踪分子的巨大复杂性。

题 3：流体质点【课件选择题改编】#

下列关于流体质点的说法正确的是：

A. 流体中的单个分子
B. 流体中的固体杂质颗粒
C. 完全没有体积的纯几何点
D. 相对流场足够小、同时包含大量分子的宏观微小流体团

解答#

答案：D。

流体质点在宏观上可视为一点，但仍含大量分子，因而具有可定义的平均密度、速度和压强。

题 4：黏度随温度的变化【历年卷 24–25 选择题】#

温度升高时，液体黏度如何变化？气体黏度如何变化？说明原因。

解答#

液体黏度通常减小；
气体黏度通常增大。

液体黏性主要来自分子间吸引。温度升高后分子间距增大、吸引作用减弱。气体黏性主要来自分子跨层动量交换，温度升高后分子运动加快，动量交换增强。

题 5：黏性的微观来源【历年卷 21–22 填空题】#

流体黏性由哪两种微观机制引起？

解答#

由：

分子间的吸引作用；
分子热运动造成的层间动量交换。

液体中前者更重要，气体中后者更重要。

题 6： $\mu$ 与 $\nu$ 【历年卷 23–24 填空题】#

写出动力黏度 $\mu$ 和运动黏度 $\nu$ 的 SI 单位、量纲及二者关系。

解答#

\nu=\frac{\mu}{\rho}

动力黏度：

[\mu]=\mathrm{Pa\cdot s}=\mathrm{N\cdot s/m^2}

\dim\mu=ML^{-1}T^{-1}

运动黏度：

[\nu]=\mathrm{m^2/s}

\dim\nu=L^2T^{-1}

题 7：Newtonian 与 Bingham【课件辨析题】#

判断：“若 $\tau$ 与 $\mathrm du/\mathrm dy$ 呈线性关系，该流体一定是牛顿流体。”

解答#

错误。

牛顿流体满足：

\tau=\mu\frac{\mathrm du}{\mathrm dy}

其直线通过原点。Bingham 流体屈服后满足近似线性关系：

\tau=\tau_0+\mu\frac{\mathrm du}{\mathrm dy}

由于 $\tau_0\ne0$ ，直线不通过原点。因此还需检查是否存在屈服应力和截距。

题 8：不同状态下的受力【课件综合题】#

分别列出以下流体可能受到的主要力：

静止实际流体；
运动实际流体；
运动理想流体。

解答#

静止实际流体：质量力和压应力；无黏性剪应力，无加速度时没有惯性项。
运动实际流体：质量力、压应力、黏性剪应力和惯性效应。
运动理想流体：质量力、压应力和惯性效应；无黏性剪应力。

二、计算题#

题 9：密度、质量与重量【课本习题 2-1 改编】#

某油液密度为 $808\ \mathrm{kg/m^3}$ ，体积为 $2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ 。求其质量和重量，取 $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 。

解答#

质量：

m=\rho V=808\times2.0\times10^{-3}=1.616\ \mathrm{kg}

重量：

G=mg=1.616\times9.8=15.84\ \mathrm N

\boxed{m=1.616\ \mathrm{kg},\qquad G=15.84\ \mathrm N}

题 10：由体积变化求体积模量【历年卷 21–22 原题】#

某液体压强由 $1.0\times10^6\ \mathrm{Pa}$ 增加到 $2.0\times10^6\ \mathrm{Pa}$ ，体积由 $1000\ \mathrm{cm^3}$ 减少到 $995\ \mathrm{cm^3}$ 。求体积模量 $K$ 。

解答#

\Delta p=1.0\times10^6\ \mathrm{Pa}

\frac{\Delta V}{V} =\frac{995-1000}{1000}=-0.005

K=-\frac{\Delta p}{\Delta V/V} =-\frac{1.0\times10^6}{-0.005} =2.0\times10^8\ \mathrm{Pa}

\boxed{K=2.0\times10^8\ \mathrm{Pa}}

题 11：压缩水体【课件例题】#

水的体积模量为 $K=2000\ \mathrm{MPa}$ 。分别求使水体积减小 $0.1\%$ 和 $1\%$ 所需增加的压强。

解答#

\Delta p=-K\frac{\Delta V}{V}

体积减小 $0.1\%$ ：

\Delta p=-2000\times(-0.001)=2.0\ \mathrm{MPa}

体积减小 $1\%$ ：

\Delta p=-2000\times(-0.01)=20\ \mathrm{MPa}

\boxed{\Delta p_{0.1\%}=2.0\ \mathrm{MPa},\quad \Delta p_{1\%}=20\ \mathrm{MPa}}

题 12：管道压力下降与漏水量【课件例题】#

一封闭水管长 $200\ \mathrm m$ ，直径 $0.4\ \mathrm m$ 。一小时内压强由 $5.39\ \mathrm{MPa}$ 降至 $4.90\ \mathrm{MPa}$ 。水的压缩系数为 $4.83\times10^{-10}\ \mathrm{Pa^{-1}}$ 。忽略管壁变形，求平均漏水流量。

解答#

管内容积：

V=\frac{\pi d^2}{4}l =\frac{\pi(0.4)^2}{4}\times200 =25.133\ \mathrm{m^3}

压强变化：

\Delta p=4.90\times10^6-5.39\times10^6 =-4.9\times10^5\ \mathrm{Pa}

水的膨胀量：

\Delta V=-\beta V\Delta p

\Delta V =-4.83\times10^{-10}\times25.133\times(-4.9\times10^5) =5.95\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}

平均流量：

Q=\frac{\Delta V}{3600} =1.65\times10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}

\boxed{Q=1.65\times10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}}

题 13：温度变化导致的体积变化【课件例题深化】#

$20^\circ\mathrm C$ 时有 $2.5\ \mathrm{m^3}$ 水，密度为 $998.23\ \mathrm{kg/m^3}$ ；升温到 $80^\circ\mathrm C$ 后密度为 $971.83\ \mathrm{kg/m^3}$ 。求最终体积和体积增量。

解答#

质量守恒：

\rho_1V_1=\rho_2V_2

V_2=V_1\frac{\rho_1}{\rho_2} =2.5\times\frac{998.23}{971.83} =2.5679\ \mathrm{m^3}

\Delta V=V_2-V_1=0.0679\ \mathrm{m^3}

相对增量：

\frac{\Delta V}{V_1}\times100\% =2.72\%

\boxed{V_2=2.5679\ \mathrm{m^3},\quad \Delta V=0.0679\ \mathrm{m^3}}

课件用一阶近似 $\Delta V/V\approx-\Delta\rho/\rho_1$ 得到约 $0.0661\ \mathrm{m^3}$ 。两者差异来自有限温差下的一阶近似误差。

题 14：两层流体界面速度【课件例题改编】#

上板速度 $U=0.30\ \mathrm{m/s}$ ，下板静止。上层液体 $\mu_1=0.8\ \mathrm{Pa\cdot s}$ 、 $h_1=4\ \mathrm{mm}$ ；下层液体 $\mu_2=0.2\ \mathrm{Pa\cdot s}$ 、 $h_2=6\ \mathrm{mm}$ 。求界面速度和剪应力。

解答#

界面速度：

u_i=\frac{\mu_1h_2}{\mu_2h_1+\mu_1h_2}U

u_i= \frac{0.8\times0.006} {0.2\times0.004+0.8\times0.006} \times0.30 =0.2571\ \mathrm{m/s}

剪应力：

\tau=\mu_2\frac{u_i}{h_2} =0.2\times\frac{0.2571}{0.006} =8.57\ \mathrm{Pa}

用上层验证：

\tau=0.8\times\frac{0.30-0.2571}{0.004} =8.58\ \mathrm{Pa}

\boxed{u_i\approx0.257\ \mathrm{m/s},\qquad \tau\approx8.57\ \mathrm{Pa}}

题 15：移动薄板上下剪力相等的位置【历年卷 23–24 计算题改编】#

一薄板以速度 $U$ 在上下两固定平板之间运动。薄板上方液体黏度为 $\mu_1$ 、间隙为 $h_1$ ；下方液体黏度为 $\mu_2$ 、间隙为 $h_2$ 。总间距 $H=h_1+h_2$ 。求上下黏性剪力大小相等时薄板位置。

解答#

单位面积上方剪应力：

\tau_1=\mu_1\frac{U}{h_1}

单位面积下方剪应力：

\tau_2=\mu_2\frac{U}{h_2}

令 $\tau_1=\tau_2$ ：

\frac{\mu_1}{h_1}=\frac{\mu_2}{h_2}

\frac{h_1}{h_2}=\frac{\mu_1}{\mu_2}

结合 $h_1+h_2=H$ ：

\boxed{h_1=\frac{\mu_1}{\mu_1+\mu_2}H}

\boxed{h_2=\frac{\mu_2}{\mu_1+\mu_2}H}

黏度较大的一侧需要更大的间隙，才能使速度梯度降低到剪应力相等。

题 16：斜面油膜黏度【课件与课本例题】#

质量 $5\ \mathrm{kg}$ 的木块沿斜面以 $1\ \mathrm{m/s}$ 匀速下滑，底面积为 $0.4\times0.45\ \mathrm{m^2}$ ，油膜厚度为 $0.1\ \mathrm{mm}$ ，坡度为 $5:12$ 。求油的动力黏度。

解答#

\sin\theta=\frac{5}{13}

匀速条件：

mg\sin\theta=\tau A

\tau=\mu\frac{U}{\delta}

因此：

\mu=\frac{mg\sin\theta\,\delta}{AU}

\mu=\frac{5\times9.8\times(5/13)\times10^{-4}} {0.4\times0.45\times1} =1.05\times10^{-2}\ \mathrm{Pa\cdot s}

\boxed{\mu\approx0.0105\ \mathrm{Pa\cdot s}}

题 17：旋转圆盘黏性转矩【课件与课本例题】#

圆盘直径 $0.1\ \mathrm m$ ，与固定平台之间的油膜厚度为 $1.5\ \mathrm{mm}$ 。圆盘以 $50\ \mathrm{r/min}$ 转动，测得阻力矩为 $2.94\times10^{-4}\ \mathrm{N\cdot m}$ 。假设速度沿油膜厚度线性变化，求油的动力黏度和圆盘边缘剪应力。

解答#

先换算：

R=0.05\ \mathrm m,\qquad n=\frac{50}{60}\ \mathrm{s^{-1}}

转矩公式：

M=\frac{\pi^2\mu nR^4}{\delta}

所以：

\mu=\frac{M\delta}{\pi^2nR^4}

\mu=\frac{2.94\times10^{-4}\times1.5\times10^{-3}} {\pi^2\times(50/60)\times(0.05)^4} =8.58\times10^{-3}\ \mathrm{Pa\cdot s}

边缘速度：

U_R=2\pi nR

边缘剪应力：

\tau_R=\mu\frac{U_R}{\delta} =1.50\ \mathrm{Pa}

\boxed{\mu=8.58\times10^{-3}\ \mathrm{Pa\cdot s},\quad \tau_R=1.50\ \mathrm{Pa}}

题 18：平行板间油的黏度【课本习题 2-3 改编】#

两平行板间距为 $0.5\ \mathrm{mm}$ ，下板静止，上板以 $0.25\ \mathrm{m/s}$ 匀速运动。维持运动所需单位面积切向力为 $2.0\ \mathrm{Pa}$ 。求油的动力黏度。

解答#

线性速度分布：

\frac{\mathrm du}{\mathrm dy}=\frac{U}{h} =\frac{0.25}{0.5\times10^{-3}} =500\ \mathrm{s^{-1}}

\mu=\frac{\tau}{\mathrm du/\mathrm dy} =\frac{2.0}{500} =4.0\times10^{-3}\ \mathrm{Pa\cdot s}

\boxed{\mu=4.0\times10^{-3}\ \mathrm{Pa\cdot s}}

题 19：轴与套筒间油膜【课本习题 2-4 改编】#

直径 $d=120\ \mathrm{mm}$ 的轴在长度 $L=140\ \mathrm{mm}$ 的套筒中以 $U=0.493\ \mathrm{m/s}$ 轴向运动。径向油膜厚度 $\delta=0.2\ \mathrm{mm}$ ，维持运动所需拉力为 $F=8.43\ \mathrm N$ 。忽略端部效应，求油的动力黏度。

解答#

轴表面受剪面积：

A=\pi dL

剪应力：

\tau=\frac{F}{A}

线性速度分布：

\tau=\mu\frac{U}{\delta}

所以：

\mu=\frac{F\delta}{\pi dLU}

代入：

\mu=\frac{8.43\times0.2\times10^{-3}} {\pi\times0.12\times0.14\times0.493} =6.48\times10^{-2}\ \mathrm{Pa\cdot s}

\boxed{\mu\approx0.0648\ \mathrm{Pa\cdot s}}

题 20：毛细上升与下降【课件公式题】#

内径 $d=1.0\ \mathrm{mm}$ 的洁净玻璃细管分别插入水和汞中。取：

\sigma_w=0.074\ \mathrm{N/m},\quad \theta_w=0^\circ, \quad \rho_w=1000\ \mathrm{kg/m^3}

\sigma_{Hg}=0.514\ \mathrm{N/m},\quad \theta_{Hg}=140^\circ, \quad \rho_{Hg}=13600\ \mathrm{kg/m^3}

求毛细高度，取 $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ 。

解答#

h=\frac{4\sigma\cos\theta}{\rho gd}

水：

h_w=\frac{4\times0.074\times\cos0^\circ} {1000\times9.8\times0.001} =0.0302\ \mathrm m

即上升约 $30.2\ \mathrm{mm}$ 。

汞：

h_{Hg}=\frac{4\times0.514\times\cos140^\circ} {13600\times9.8\times0.001} =-0.0118\ \mathrm m

即下降约 $11.8\ \mathrm{mm}$ 。

\boxed{h_w\approx+30.2\ \mathrm{mm},\qquad h_{Hg}\approx-11.8\ \mathrm{mm}}

负号表示液面下降。

题 21：位能完全转化为内能【课件例题】#

水从 $100\ \mathrm m$ 高处落下。假设重力位能全部转化为水的内能，水的比热容为 $4184\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$ 。求水的温升。

解答#

mgh=mc\Delta T

\Delta T=\frac{gh}{c} =\frac{9.8\times100}{4184} =0.234\ \mathrm K

\boxed{\Delta T\approx0.234\ \mathrm K}

质量约去，说明在这一理想化条件下温升与水量无关。

三、综合辨析题#

题 22：压缩性判断【自编综合题】#

判断下列说法并说明理由：

所有液体都可以视为不可压缩流体。
气体始终必须按可压缩流体处理。
水击问题中可忽略水的压缩性。

解答#

错误。所有实际流体都具有一定压缩性。普通低速、压强变化不大时，液体常可近似不可压缩。
错误。低速且压强相对变化很小时，气体也可采用不可压缩近似。
错误。水击包含快速压强波动，液体压缩性和管壁弹性都会影响波速与压强峰值。

判断关键是研究过程中密度变化是否达到不可忽略的程度。

题 23：速度分布与剪应力分布【历年卷 24–25 简答题改编】#

对同一种牛顿流体，分别讨论以下速度分布对应的剪应力分布：

$u=U$ ；
$u=ay$ ；
$u=ay^2$ 。

解答#

牛顿内摩擦定律：

\tau=\mu\frac{\mathrm du}{\mathrm dy}

$u=U$

\frac{\mathrm du}{\mathrm dy}=0 \Rightarrow \tau=0

各流层同速，没有相对滑动。

$u=ay$

\frac{\mathrm du}{\mathrm dy}=a \Rightarrow \tau=\mu a

剪应力沿 $y$ 为常量。

$u=ay^2$

\frac{\mathrm du}{\mathrm dy}=2ay \Rightarrow \tau=2\mu ay

剪应力随 $y$ 线性变化。

[作图占位] 画出三组 $u-y$ 与 $\tau-y$ 图：常速对应零剪应力；线性速度对应均匀剪应力；抛物线速度对应线性剪应力。

题 24：空化链条【课件综合题】#

按“形成条件—发展过程—危害—防治方向”的顺序说明水轮机叶片空蚀。

解答#

形成条件：叶片附近局部流速增大或流动分离，使绝对压强降到该温度下汽化压强附近。
发展过程：液体局部汽化形成蒸气泡，蒸气泡被水流带到高压区。
溃灭与危害：蒸气泡快速溃灭，产生冲击波和微射流，引起表面点蚀、振动、噪声和效率降低。
防治方向：提高局部最低压强、优化叶片形状、减小不合理流速峰值、降低安装高度、改善材料耐空蚀性能。

空化判据中的压强必须使用绝对压强。

题 25：自由落体容器中的单位质量力【课件概念深化】#

一敞口容器与其中液体一起自由落体。以容器为参考系，求液体的有效单位质量力，并说明这一结果对后续压强分布分析意味着什么。

解答#

容器参考系以加速度 $\boldsymbol g$ 向下运动。引入的惯性力方向向上，单位质量惯性力为 $-\boldsymbol a$ 。

自由落体时：

\boldsymbol a=\boldsymbol g

所以：

\boldsymbol f_{eff}=\boldsymbol g-\boldsymbol a=\boldsymbol 0

这意味着液体处于失重状态，内部没有由有效重力造成的压强梯度。在后续静水力学中可推出压强在液体内近似均匀；敞口条件下其表压为零。

题 26：章节综合判断#

判断并改正错误表述。

流体只要运动，就一定存在剪应力。
黏度越大，运动黏度一定越大。
体积模量越大，流体越容易压缩。
毛细管越细，毛细高度越小。
空化发生时，局部表压一定为负。
水和汞在同一重力场中的单位质量重力不同。

解答#

错误。还需具有黏性并存在速度梯度。刚体式平移可有运动而无黏性剪应力。
错误。 $\nu=\mu/\rho$ ，还与密度有关。
错误。 $K=1/\beta$ ， $K$ 越大越难压缩。
错误。 $|h|\propto1/d$ ，管越细，毛细高度绝对值越大。
错误。空化由绝对压强降至汽化压强触发；表压是否为负还取决于当地大气压和压力基准。
错误。单位质量重力均为 $g$ ；相同体积所受重力因密度不同而不同。

最后复习清单#

闭卷前应能在不看资料的情况下完成：

用一句话定义流体、连续介质和流体质点；
写出 $\rho$ 、 $\beta$ 、 $K$ 、 $\mu$ 、 $\nu$ 、 $\sigma$ 的定义与单位；
解释液体和气体黏度随温度变化的相反趋势；
从速度分布 $u(y)$ 立即写出剪应力分布 $\tau(y)$ ；
独立完成平板油膜、两层流体、旋转圆盘三类黏性计算；
由 $K$ 计算体积变化、密度变化或所需压强；
使用毛细公式判断上升、下降和测压误差；
用绝对压强解释沸腾、空化和空蚀；
区分质量力、单位质量力、表面力、压应力和剪应力。