这一章的核心是：
先用速度场描述流体如何运动，再用质量守恒和动量守恒约束这种运动，最后在理想流体与二维势流条件下，引入伯努利方程、势函数、流函数和流网来求解流场。
整章可以压缩成一条主线：
怎样描述流动 ：Lagrangian / Eulerian description怎样识别流动 ：steady、uniform、gradually-varied、rotational 等分类流动必须满足什么 ：continuity equation、Euler equations、Navier–Stokes equations理想流体的能量怎样变化 ：Bernoulli integral二维势流怎样求解 ：velocity potential φ \varphi φ ψ \psi ψ 教学范围判断# 课件中的 Chapter 3: Fundamentals of Fluid Motion 对应教材第 4 章“流体运动基本原理”。本笔记按照课件的 Chapter 划分，文件名仍为 Chapter3.md。
纳入笔记的内容#
Eulerian 与 Lagrangian 描述方法
Euler acceleration：当地加速度与迁移加速度
流线、迹线、色线及其方程
恒定 / 非恒定、均匀 / 非均匀、渐变 / 急变、一维 / 二维 / 三维流动
流管、微小流束、过流断面、流量
流体微团的平移、转动与变形；有旋流与无旋流
连续性方程
理想流体 Euler 运动方程
实际流体不可压缩 Navier–Stokes 方程的形式与各项意义
理想流体伯努利积分及其两种适用范围
二维势流的势函数、流函数、流网和势流叠加
降低要求或不展开的内容#
Lagrangian method ：课件明确标注 “not used in this course”。需要理解概念、会与 Eulerian method 区分，不要求用它系统求解流场。实际流体运动微分方程的完整推导 ：课件说明 ideal-fluid balance equations 要推导，real-fluid balance equations 不作完整推导。需要记住实际流体比理想流体多出黏性扩散项，并会识别不可压缩 N–S 方程。教材中流体微团全部变形率分量的长推导 ：课件重点放在微团转动角速度与有旋 / 无旋判别。本笔记保留运动分解和角速度公式，不展开完整张量推导。层流与湍流 ：本章只作概念预览，Reynolds 数和管流流态将在后续章节系统学习。 WARNING 课件总结页中有一处容易误导的标签互换：
势函数 φ \varphi φ 是无旋，即 ∇ × u = 0 \nabla\times\mathbf{u}=0 ∇ × u = 0 二维流函数 ψ \psi ψ 是不可压缩，即 ∇ ⋅ u = 0 \nabla\cdot\mathbf{u}=0 ∇ ⋅ u = 0 本课程第 6 节统一讨论 steady、2D、incompressible、potential flow，因此两者同时存在；做判断题时仍要分清各自的来源。
第一部分：课程笔记# 1 描述流体运动# 1.1 Lagrangian method 与 Eulerian method# Lagrangian method（拉格朗日法）# 跟踪同一个流体质点，记录它随时间的位置、速度和加速度。
用 ( a , b , c ) (a,b,c) ( a , b , c )
{ x = x ( a , b , c , t ) , y = y ( a , b , c , t ) , z = z ( a , b , c , t ) . \begin{cases}
x=x(a,b,c,t),\\
y=y(a,b,c,t),\\
z=z(a,b,c,t).
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x = x ( a , b , c , t ) , y = y ( a , b , c , t ) , z = z ( a , b , c , t ) . 直观理解：
坐在一片随水漂流的叶子上，始终观察这片叶子的运动。
本课程只要求理解这种思想。
Eulerian method（欧拉法）# 固定观察空间位置，研究每个位置上的速度、压强、密度等参数怎样随空间和时间变化：
{ u x = u x ( x , y , z , t ) , u y = u y ( x , y , z , t ) , u z = u z ( x , y , z , t ) , p = p ( x , y , z , t ) , ρ = ρ ( x , y , z , t ) . \begin{cases}
u_x=u_x(x,y,z,t),\\
u_y=u_y(x,y,z,t),\\
u_z=u_z(x,y,z,t),\\
p=p(x,y,z,t),\qquad \rho=\rho(x,y,z,t).
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ u x = u x ( x , y , z , t ) , u y = u y ( x , y , z , t ) , u z = u z ( x , y , z , t ) , p = p ( x , y , z , t ) , ρ = ρ ( x , y , z , t ) . 直观理解：
站在水文站里，观察某个固定断面的水速和水位。
本课程绝大多数推导采用 Eulerian method。
比较 Lagrangian Eulerian 观察对象 同一个流体质点 固定空间位置 自变量 质点标签 ( a , b , c ) (a,b,c) ( a , b , c ) t t t 空间坐标 ( x , y , z ) (x,y,z) ( x , y , z ) t t t 典型问题 某质点走过什么轨迹 此处此刻速度是多少 本课程要求 理解概念 重点掌握
1.2 Material derivative（随体导数）# 虽然 Eulerian method 给出的是固定点上的速度场，但我们常常仍需要某个质点实际经历的变化率。
对任意标量场 F ( x , y , z , t ) F(x,y,z,t) F ( x , y , z , t )
D F D t = ∂ F ∂ t + u x ∂ F ∂ x + u y ∂ F ∂ y + u z ∂ F ∂ z \boxed{
\frac{DF}{Dt}
=
\frac{\partial F}{\partial t}
+u_x\frac{\partial F}{\partial x}
+u_y\frac{\partial F}{\partial y}
+u_z\frac{\partial F}{\partial z}
} D t D F = ∂ t ∂ F + u x ∂ x ∂ F + u y ∂ y ∂ F + u z ∂ z ∂ F 也可以写成
D D t = ∂ ∂ t + u ⋅ ∇ \boxed{
\frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+\mathbf{u}\cdot\nabla
} D t D = ∂ t ∂ + u ⋅ ∇ 其中：
D / D t D/Dt D / D t ∂ / ∂ t \partial/\partial t ∂ / ∂ t u ⋅ ∇ \mathbf{u}\cdot\nabla u ⋅ ∇ 1.3 Euler acceleration（欧拉加速度）# 将随体导数作用于速度场：
a = D u D t = ∂ u ∂ t ⏟ local acceleration + ( u ⋅ ∇ ) u ⏟ convective acceleration \boxed{
\mathbf{a}=\frac{D\mathbf{u}}{Dt}
=
\underbrace{\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}}_{\text{local acceleration}}
+
\underbrace{(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}}_{\text{convective acceleration}}
} a = D t D u = local acceleration ∂ t ∂ u + convective acceleration ( u ⋅ ∇ ) u 分量形式：
a x = ∂ u x ∂ t + u x ∂ u x ∂ x + u y ∂ u x ∂ y + u z ∂ u x ∂ z , a y = ∂ u y ∂ t + u x ∂ u y ∂ x + u y ∂ u y ∂ y + u z ∂ u y ∂ z , a z = ∂ u z ∂ t + u x ∂ u z ∂ x + u y ∂ u z ∂ y + u z ∂ u z ∂ z . \boxed{
\begin{aligned}
a_x&=\frac{\partial u_x}{\partial t}
+u_x\frac{\partial u_x}{\partial x}
+u_y\frac{\partial u_x}{\partial y}
+u_z\frac{\partial u_x}{\partial z},\\
a_y&=\frac{\partial u_y}{\partial t}
+u_x\frac{\partial u_y}{\partial x}
+u_y\frac{\partial u_y}{\partial y}
+u_z\frac{\partial u_y}{\partial z},\\
a_z&=\frac{\partial u_z}{\partial t}
+u_x\frac{\partial u_z}{\partial x}
+u_y\frac{\partial u_z}{\partial y}
+u_z\frac{\partial u_z}{\partial z}.
\end{aligned}
} a x a y a z = ∂ t ∂ u x + u x ∂ x ∂ u x + u y ∂ y ∂ u x + u z ∂ z ∂ u x , = ∂ t ∂ u y + u x ∂ x ∂ u y + u y ∂ y ∂ u y + u z ∂ z ∂ u y , = ∂ t ∂ u z + u x ∂ x ∂ u z + u y ∂ y ∂ u z + u z ∂ z ∂ u z . Local acceleration（当地加速度）# ∂ u ∂ t \frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} ∂ t ∂ u 固定位置上的速度随时间发生变化。
Convective acceleration（迁移加速度）# ( u ⋅ ∇ ) u (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} ( u ⋅ ∇ ) u 质点运动到速度不同的位置而产生的加速度。
均匀流中为零
即使流动恒定，只要沿程速度发生变化，仍可能存在迁移加速度
TIP “恒定”判断时间变化，“均匀”判断沿流动方向的空间变化。
恒定流 ⇒ \Rightarrow ⇒
均匀流 ⇒ \Rightarrow ⇒
两者互不包含。
课堂例：水箱出口处的加速度# 设质点分别由 A → A ′ A\to A' A → A ′ B → B ′ B\to B' B → B ′
情况 A 点 B 点 水位不变 无当地加速度；无迁移加速度 无当地加速度；有迁移加速度 水位随时间变化 有当地加速度；无明显迁移加速度 当地与迁移加速度均存在
原因：
大水箱内部截面变化很小，空间速度梯度可近似忽略；
出口附近流线收缩，速度沿程增大，所以存在迁移加速度；
水位下降后，整个速度场还会随时间改变，所以出现当地加速度。
2 流动的基本概念# 2.1 Streamline、pathline 与 streakline# Streamline（流线）# 某一给定时刻，曲线上每一点的切线方向都与该点速度方向一致。
它描述的是：
同一时刻，不同流体质点的速度方向。
流线微分方程：
d x u x = d y u y = d z u z \boxed{
\frac{dx}{u_x}=\frac{dy}{u_y}=\frac{dz}{u_z}
} u x d x = u y d y = u z d z 求流线时，时间 t t t
流线的基本性质：
同一时刻的普通流线不相交；否则交点会同时有两个速度方向。
在速度场连续且速度非零处，流线是光滑曲线。
对不可压缩流动，流线越密通常表示速度越大，越疏表示速度越小。
NOTE “流线不能相交”有适用前提。停滞点处 u = 0 \mathbf{u}=0 u = 0
Pathline（迹线）# 某一个流体质点在一段时间内走过的真实轨迹。
迹线方程：
d x d t = u x ( x , y , z , t ) , d y d t = u y ( x , y , z , t ) , d z d t = u z ( x , y , z , t ) \boxed{
\frac{dx}{dt}=u_x(x,y,z,t),\qquad
\frac{dy}{dt}=u_y(x,y,z,t),\qquad
\frac{dz}{dt}=u_z(x,y,z,t)
} d t d x = u x ( x , y , z , t ) , d t d y = u y ( x , y , z , t ) , d t d z = u z ( x , y , z , t ) 或写为
d x u x = d y u y = d z u z = d t . \frac{dx}{u_x}=\frac{dy}{u_y}=\frac{dz}{u_z}=dt. u x d x = u y d y = u z d z = d t . 求迹线时，t t t
Streakline / dye line（色线、脉线）# 过去所有曾经经过同一个固定点的流体质点，在当前时刻组成的连线。
典型实验：持续向固定位置注入染料，看到的染色曲线就是色线。
三者何时重合# steady flow ⇒ streamline = e x t p a t h l i n e = e x t s t r e a k l i n e \boxed{
\text{steady flow}\quad\Rightarrow\quad
\text{streamline}= ext{pathline}= ext{streakline}
} steady flow ⇒ streamline = e x t p a t h l in e = e x t s t re ak l in e 非恒定流中三者一般不同。
2.2 课堂例：流线与迹线# 例 1：非恒定流中流线和迹线不同# 给定
u x = x 1 + t , u y = y , u z = 0 , u_x=\frac{x}{1+t},\qquad u_y=y,\qquad u_z=0, u x = 1 + t x , u y = y , u z = 0 , 求在 t = t 0 t=t_0 t = t 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) ( x 0 , y 0 , z 0 )
流线 ：固定 t t t
d x x / ( 1 + t ) = d y y \frac{dx}{x/(1+t)}=\frac{dy}{y} x / ( 1 + t ) d x = y d y 所以
( 1 + t ) ln x = ln y + ln C , (1+t)\ln x=\ln y+\ln C, ( 1 + t ) ln x = ln y + ln C , 即
y = C x 1 + t . y=Cx^{1+t}. y = C x 1 + t . 代入 t = t 0 t=t_0 t = t 0 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) ( x 0 , y 0 )
y = y 0 x 0 − ( 1 + t 0 ) x 1 + t 0 \boxed{
y=y_0x_0^{-(1+t_0)}x^{1+t_0}
} y = y 0 x 0 − ( 1 + t 0 ) x 1 + t 0 这里整条流线对应同一个时刻 t 0 t_0 t 0
y = y 0 ( x x 0 ) 1 + t 0 \boxed{
y=y_0\left(\frac{x}{x_0}\right)^{1+t_0}} y = y 0 ( x 0 x ) 1 + t 0 迹线 ：
d x d t = x 1 + t , d y d t = y . \frac{dx}{dt}=\frac{x}{1+t},\qquad \frac{dy}{dt}=y. d t d x = 1 + t x , d t d y = y . 积分并代入 t = t 0 t=t_0 t = t 0 x = x 0 , y = y 0 x=x_0,y=y_0 x = x 0 , y = y 0
x = x 0 1 + t 1 + t 0 , y = y 0 e t − t 0 . \boxed{
x=x_0\frac{1+t}{1+t_0}},\qquad
\boxed{
y=y_0e^{t-t_0}}. x = x 0 1 + t 0 1 + t , y = y 0 e t − t 0 . 消去 t t t
y = y 0 exp [ 1 + t 0 x 0 x − 1 − t 0 ] \boxed{
y=y_0\exp\left[\frac{1+t_0}{x_0}x-1-t_0\right]} y = y 0 exp [ x 0 1 + t 0 x − 1 − t 0 ] 结论：该流动非恒定，流线与迹线不重合。
例 2：环形速度场# u x = − C y x 2 + y 2 , u y = C x x 2 + y 2 , u z = 0 , C > 0. u_x=-\frac{Cy}{x^2+y^2},\qquad
u_y=\frac{Cx}{x^2+y^2},\qquad u_z=0,
\qquad C>0. u x = − x 2 + y 2 C y , u y = x 2 + y 2 C x , u z = 0 , C > 0. 流线方程：
d x u x = d y u y ⇒ x d x + y d y = 0. \frac{dx}{u_x}=\frac{dy}{u_y}
\quad\Rightarrow\quad
x\,dx+y\,dy=0. u x d x = u y d y ⇒ x d x + y d y = 0. 所以
x 2 + y 2 = C 1 \boxed{x^2+y^2=C_1} x 2 + y 2 = C 1 流线是同心圆。
速度场不显含时间，因此为恒定流，迹线与流线重合。取 x > 0 , y = 0 x>0,y=0 x > 0 , y = 0 u x = 0 , u y > 0 u_x=0,u_y>0 u x = 0 , u y > 0
例 3：经过指定点的流线与迹线# u x = x + t , u y = − y + t , u z = 0. u_x=x+t,\qquad u_y=-y+t,\qquad u_z=0. u x = x + t , u y = − y + t , u z = 0. 求 t = 0 t=0 t = 0 ( − 1 , − 1 ) (-1,-1) ( − 1 , − 1 )
流线 ：固定 t = 0 t=0 t = 0
d x x = d y − y ⇒ x y = C . \frac{dx}{x}=\frac{dy}{-y}
\quad\Rightarrow\quad xy=C. x d x = − y d y ⇒ x y = C . 代入点 ( − 1 , − 1 ) (-1,-1) ( − 1 , − 1 )
x y = 1 \boxed{xy=1} x y = 1 迹线 ：
d x d t = x + t , d y d t = − y + t . \frac{dx}{dt}=x+t,\qquad
\frac{dy}{dt}=-y+t. d t d x = x + t , d t d y = − y + t . 由初值 x ( 0 ) = y ( 0 ) = − 1 x(0)=y(0)=-1 x ( 0 ) = y ( 0 ) = − 1
x = − t − 1 , y = t − 1 . \boxed{x=-t-1},\qquad \boxed{y=t-1}. x = − t − 1 , y = t − 1 . 消去 t t t
x + y = − 2 \boxed{x+y=-2} x + y = − 2 2.3 按时间变化分类# Steady flow（恒定流）# 任意固定空间点上的流动参数不随时间改变：
∂ u ∂ t = 0 , ∂ p ∂ t = 0 , ∂ ρ ∂ t = 0 \boxed{
\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}=0,
\qquad
\frac{\partial p}{\partial t}=0,
\qquad
\frac{\partial\rho}{\partial t}=0
} ∂ t ∂ u = 0 , ∂ t ∂ p = 0 , ∂ t ∂ ρ = 0 注意：恒定流中质点仍然可以加速，因为迁移加速度可能不为零。
Unsteady flow（非恒定流）# 至少有一个流动参数在某些空间点随时间改变。
2.4 按沿程变化分类# 沿流动方向，速度矢量不发生变化：
( u ⋅ ∇ ) u = 0 \boxed{(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=0} ( u ⋅ ∇ ) u = 0 在一维描述中常写为
∂ u ∂ s = 0. \frac{\partial u}{\partial s}=0. ∂ s ∂ u = 0. 均匀流的迁移加速度为零。
WARNING 均匀流并不要求一个断面上每一点速度都相等。
充分发展的圆管流中，断面速度分布并不均匀；但沿管轴方向速度分布保持不变，因此它仍可属于均匀流。
沿流动方向速度发生变化，迁移加速度通常不为零。
典型例子：收缩管、扩张管、弯管入口附近。
课堂判断例# u x = t , u y = − y , u z = z . u_x=t,\qquad u_y=-y,\qquad u_z=z. u x = t , u y = − y , u z = z .
∂ u x / ∂ t = 1 ≠ 0 \partial u_x/\partial t=1\neq0 ∂ u x / ∂ t = 1 = 0 迁移加速度不为零，例如
a y , c = u y ∂ u y ∂ y = ( − y ) ( − 1 ) = y , a_{y,c}=u_y\frac{\partial u_y}{\partial y}=(-y)(-1)=y, a y , c = u y ∂ y ∂ u y = ( − y ) ( − 1 ) = y , 所以也是非均匀流。
2.5 Gradually-varied flow 与 rapidly-varied flow# Gradually-varied flow（渐变流）# 流线曲率小、相邻流线夹角小，流动沿程变化缓慢。
其过流断面具有两个重要近似：
过流断面近似为平面；
同一过流断面上的动水压强近似服从静水压强分布：
z + p ρ g = C on one cross-section \boxed{z+\frac{p}{\rho g}=C\qquad\text{on one cross-section}} z + ρ g p = C on one cross-section Rapidly-varied flow（急变流）# 流线弯曲明显或相邻流线夹角较大，流动沿程变化剧烈。
离心效应不可忽略；
同一断面上的压强一般不再按静水规律分布；
伯努利总流方程的控制断面通常不能直接选在急变区内部。
2.6 按空间坐标数分类# One-dimensional flow（一维流）# 流动参数主要只依赖一个空间坐标 s s s
u = u ( s , t ) . \mathbf{u}=\mathbf{u}(s,t). u = u ( s , t ) . 一维加速度：
a = ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ s \boxed{
a=\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial s}} a = ∂ t ∂ u + u ∂ s ∂ u
一维恒定流：a = u ∂ u / ∂ s a=u\,\partial u/\partial s a = u ∂ u / ∂ s
一维均匀流：a = 0 a=0 a = 0
Two-dimensional flow（二维流）# 速度场只需两个空间坐标描述，例如
u = u ( x , y , t ) . \mathbf{u}=\mathbf{u}(x,y,t). u = u ( x , y , t ) . Three-dimensional flow（三维流）# 速度在三个空间方向均有实质变化。
2.7 Laminar flow 与 turbulent flow# Laminar flow（层流）# 流体质点分层、有序运动，相邻流层之间横向掺混较弱。
Turbulent flow（湍流）# 速度大小和方向存在随机脉动，流体质点发生强烈横向掺混。
本章只要求会区分概念，流态判别与 Reynolds number 在后续章节展开。
2.8 Stream tube、stream filament 与 flow cross-section# Stream tube（流管）# 通过一条封闭曲线上各点作流线，由这些流线围成的管状空间。
流管侧壁由流线构成，因此流体不能穿过侧壁。
Stream filament / element flow（微小流束、元流）# 横截面积趋于无穷小的流管。其截面上各点速度可近似视为相同。
Flow cross-section（过流断面）# 与当地流线正交的截面。
Discharge（流量）# 体积流量：
Q = ∫ A u n d A \boxed{Q=\int_A u_n\,dA} Q = ∫ A u n d A 质量流量：
m ˙ = ∫ A ρ u n d A \boxed{\dot m=\int_A \rho u_n\,dA} m ˙ = ∫ A ρ u n d A 其中：
u n u_n u n A A A Q Q Q m 3 / s \mathrm{m^3/s} m 3 /s m ˙ \dot m m ˙ k g / s \mathrm{kg/s} kg/s 若速度近似垂直于断面，通常简写为 Q = ∫ A u d A Q=\int_Au\,dA Q = ∫ A u d A
2.9 为什么渐变流断面近似服从静水压强规律# 这一结论经常直接记成
z + p ρ g = C , z+\frac{p}{\rho g}=C, z + ρ g p = C , 但需要知道它成立在同一个渐变流过流断面上 。
取断面法向为 n n n
流线近似平行；
流线曲率半径很大；
法向速度和法向加速度均可近似忽略；
流体微元在法向上主要受压强力和重力分量作用。
法向动量平衡近似为
− 1 ρ ∂ p ∂ n + f n = 0. -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial n}
+f_n=0. − ρ 1 ∂ n ∂ p + f n = 0. 若重力是唯一质量力，则沿竖直方向积分后得到
z + p ρ g = C \boxed{z+\frac{p}{\rho g}=C} z + ρ g p = C 因此，同一渐变流断面上可以像静水问题一样比较各点压强。
这个结论不能随意推广到急弯、突然收缩、突然扩张等急变区。急变区中存在明显法向加速度，压强还需提供向心力，压强分布会偏离静水规律。
TIP 常见题目会把两句话放在一起考：
渐变流断面上，z + p / ( ρ g ) z+p/(\rho g) z + p / ( ρ g )
沿流动方向比较不同断面时，z + p / ( ρ g ) z+p/(\rho g) z + p / ( ρ g )
“同一断面上近似相等”和“沿程保持不变”是两件不同的事。
3 流体微团运动分析# 3.1 基本运动形式# 刚体运动只包含：
平移 translation
转动 rotation
流体微团还可以发生变形：
线变形 linear deformation
角变形 angular deformation
因此流体微团的运动可概括为：
translation + rotation + deformation \boxed{\text{translation}+\text{rotation}+\text{deformation}} translation + rotation + deformation 这也是历年填空题常考表述。
3.2 Angular velocity（转动角速度）# 以 z z z
ω z = 1 2 ( ∂ u y ∂ x − ∂ u x ∂ y ) \boxed{
\omega_z=\frac12\left(
\frac{\partial u_y}{\partial x}
-
\frac{\partial u_x}{\partial y}
\right)} ω z = 2 1 ( ∂ x ∂ u y − ∂ y ∂ u x ) 三维形式：
ω x = 1 2 ( ∂ u z ∂ y − ∂ u y ∂ z ) , ω y = 1 2 ( ∂ u x ∂ z − ∂ u z ∂ x ) , ω z = 1 2 ( ∂ u y ∂ x − ∂ u x ∂ y ) . \boxed{
\begin{aligned}
\omega_x&=\frac12\left(
\frac{\partial u_z}{\partial y}
-
\frac{\partial u_y}{\partial z}
\right),\\
\omega_y&=\frac12\left(
\frac{\partial u_x}{\partial z}
-
\frac{\partial u_z}{\partial x}
\right),\\
\omega_z&=\frac12\left(
\frac{\partial u_y}{\partial x}
-
\frac{\partial u_x}{\partial y}
\right).
\end{aligned}
} ω x ω y ω z = 2 1 ( ∂ y ∂ u z − ∂ z ∂ u y ) , = 2 1 ( ∂ z ∂ u x − ∂ x ∂ u z ) , = 2 1 ( ∂ x ∂ u y − ∂ y ∂ u x ) . 3.3 Vorticity（涡量）# 涡量定义为
ζ = ∇ × u \boxed{\boldsymbol{\zeta}=\nabla\times\mathbf{u}} ζ = ∇ × u 它与流体微团角速度的关系为
ζ = 2 ω \boxed{\boldsymbol{\zeta}=2\boldsymbol{\omega}} ζ = 2 ω 因此做题时要注意题目问的是 angular velocity 还是 vorticity，相差一个 2。
3.4 Rotational flow 与 irrotational flow# Rotational flow（有旋流）# 至少有一个角速度分量不为零：
∇ × u ≠ 0 \boxed{\nabla\times\mathbf{u}\neq0} ∇ × u = 0 Irrotational flow / potential flow（无旋流、势流）# 所有角速度分量均为零：
∇ × u = 0 \boxed{\nabla\times\mathbf{u}=0} ∇ × u = 0 二维 x x x y y y
∂ u y ∂ x − ∂ u x ∂ y = 0 \boxed{
\frac{\partial u_y}{\partial x}
-
\frac{\partial u_x}{\partial y}=0
} ∂ x ∂ u y − ∂ y ∂ u x = 0 WARNING 微团是否转动，取决于微团自身姿态是否旋转，与质点轨迹是否弯曲没有直接等价关系。
质点可以沿圆形轨迹运动，但微团自身不一定转动；
质点轨迹可以近似直线，但微团仍可能有局部转动。
课堂例# u x = a x , u y = b y , u z = 0. u_x=ax,\qquad u_y=by,\qquad u_z=0. u x = a x , u y = b y , u z = 0. 因为所有交叉偏导均为零：
∂ u y ∂ x = 0 , ∂ u x ∂ y = 0 , \frac{\partial u_y}{\partial x}=0,
\qquad
\frac{\partial u_x}{\partial y}=0, ∂ x ∂ u y = 0 , ∂ y ∂ u x = 0 , 所以
ω = 0. \boldsymbol{\omega}=0. ω = 0. 该流动无旋。即使 a ≠ b a\neq b a = b
4 流体运动的基本方程# 4.1 Continuity equation（连续性方程）# 连续性方程来自质量守恒。
对固定微小控制体，有
控制体内质量增加率 + 通过控制面的净质量流出率 = 0。
一般微分形式：
∂ ρ ∂ t + ∂ ( ρ u x ) ∂ x + ∂ ( ρ u y ) ∂ y + ∂ ( ρ u z ) ∂ z = 0 \boxed{
\frac{\partial\rho}{\partial t}
+
\frac{\partial(\rho u_x)}{\partial x}
+
\frac{\partial(\rho u_y)}{\partial y}
+
\frac{\partial(\rho u_z)}{\partial z}
=0
} ∂ t ∂ ρ + ∂ x ∂ ( ρ u x ) + ∂ y ∂ ( ρ u y ) + ∂ z ∂ ( ρ u z ) = 0 向量形式：
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0 \boxed{
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{u})=0
} ∂ t ∂ ρ + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0 也可以展开成随体形式：
D ρ D t + ρ ∇ ⋅ u = 0 \boxed{
\frac{D\rho}{Dt}+\rho\nabla\cdot\mathbf{u}=0
} D t D ρ + ρ ∇ ⋅ u = 0 其中：
ρ \rho ρ u x , u y , u z u_x,u_y,u_z u x , u y , u z ∇ ⋅ u \nabla\cdot\mathbf{u} ∇ ⋅ u 4.2 连续性方程的常见特例# 恒定可压缩流# ∂ ( ρ u x ) ∂ x + ∂ ( ρ u y ) ∂ y + ∂ ( ρ u z ) ∂ z = 0 \boxed{
\frac{\partial(\rho u_x)}{\partial x}
+
\frac{\partial(\rho u_y)}{\partial y}
+
\frac{\partial(\rho u_z)}{\partial z}=0
} ∂ x ∂ ( ρ u x ) + ∂ y ∂ ( ρ u y ) + ∂ z ∂ ( ρ u z ) = 0 不可压缩流# 若流体质点密度不变，即 D ρ / D t = 0 D\rho/Dt=0 D ρ / D t = 0
∇ ⋅ u = 0 \boxed{
\nabla\cdot\mathbf{u}=0
} ∇ ⋅ u = 0 直角坐标形式：
∂ u x ∂ x + ∂ u y ∂ y + ∂ u z ∂ z = 0 \boxed{
\frac{\partial u_x}{\partial x}
+
\frac{\partial u_y}{\partial y}
+
\frac{\partial u_z}{\partial z}=0
} ∂ x ∂ u x + ∂ y ∂ u y + ∂ z ∂ u z = 0 NOTE “不可压缩”对应质点密度沿运动过程不变，即 D ρ / D t = 0 D\rho/Dt=0 D ρ / D t = 0 ρ = const \rho=\text{const} ρ = const
4.3 课堂例：判断速度场是否可能存在# 例 1# 二维不可压缩流：
u x = − 2 y , u y = 3 x u_x=-2y, u_y=3x u x = − 2 y , u y = 3 x u x = 0 , u y = 3 x y u_x=0, u_y=3xy u x = 0 , u y = 3 x y 对第 1 个速度场：
∂ u x ∂ x + ∂ u y ∂ y = 0 + 0 = 0. \frac{\partial u_x}{\partial x}
+
\frac{\partial u_y}{\partial y}
=0+0=0. ∂ x ∂ u x + ∂ y ∂ u y = 0 + 0 = 0. 满足连续性方程，可以存在。
对第 2 个速度场：
∂ u x ∂ x + ∂ u y ∂ y = 0 + 3 x ≠ 0. \frac{\partial u_x}{\partial x}
+
\frac{\partial u_y}{\partial y}
=0+3x\neq0. ∂ x ∂ u x + ∂ y ∂ u y = 0 + 3 x = 0. 若 ρ = const \rho=\text{const} ρ = const
例 2：补全速度分量# 给定
u x = t ρ , u y = 3 x y ρ , u z = x z ρ , ρ = t . u_x=\frac{t}{\rho},
\qquad
u_y=\frac{3xy}{\rho},
\qquad
u_z=\frac{xz}{\rho},
\qquad
\rho=t. u x = ρ t , u y = ρ 3 x y , u z = ρ x z , ρ = t . 代入一般连续性方程：
∂ ρ ∂ t = 1 , ∂ ( ρ u x ) ∂ x = 0 , ∂ ( ρ u y ) ∂ y = 3 x , ∂ ( ρ u z ) ∂ z = x . \frac{\partial\rho}{\partial t}=1,
\qquad
\frac{\partial(\rho u_x)}{\partial x}=0,
\qquad
\frac{\partial(\rho u_y)}{\partial y}=3x,
\qquad
\frac{\partial(\rho u_z)}{\partial z}=x. ∂ t ∂ ρ = 1 , ∂ x ∂ ( ρ u x ) = 0 , ∂ y ∂ ( ρ u y ) = 3 x , ∂ z ∂ ( ρ u z ) = x . 总和为 1 + 4 x ≠ 0 1+4x\neq0 1 + 4 x = 0
若保持 u x , u y , ρ u_x,u_y,\rho u x , u y , ρ u z u_z u z
∂ ( ρ u z ) ∂ z = − ( 1 + 3 x ) . \frac{\partial(\rho u_z)}{\partial z}=-(1+3x). ∂ z ∂ ( ρ u z ) = − ( 1 + 3 x ) . 积分：
ρ u z = − ( 1 + 3 x ) z + f ( x , y ) . \rho u_z=-(1+3x)z+f(x,y). ρ u z = − ( 1 + 3 x ) z + f ( x , y ) . 所以
u z = − ( 1 + 3 x ) z ρ + f ( x , y ) ρ \boxed{
u_z=-\frac{(1+3x)z}{\rho}+\frac{f(x,y)}{\rho}} u z = − ρ ( 1 + 3 x ) z + ρ f ( x , y ) 取最简单的 f ( x , y ) = 0 f(x,y)=0 f ( x , y ) = 0
u z = − ( 1 + 3 x ) z ρ \boxed{u_z=-\frac{(1+3x)z}{\rho}} u z = − ρ ( 1 + 3 x ) z 4.4 Euler equations（理想流体运动方程）# 理想流体没有黏性切应力，表面力只有压强。
对单位质量流体应用 Newton 第二定律：
f − 1 ρ ∇ p = D u D t \boxed{
\mathbf{f}-\frac{1}{\rho}\nabla p
=
\frac{D\mathbf{u}}{Dt}
} f − ρ 1 ∇ p = D t D u 展开：
f − 1 ρ ∇ p = ∂ u ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) u \boxed{
\mathbf{f}-\frac{1}{\rho}\nabla p
=
\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}
+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}
} f − ρ 1 ∇ p = ∂ t ∂ u + ( u ⋅ ∇ ) u 分量形式：
f x − 1 ρ ∂ p ∂ x = D u x D t , f y − 1 ρ ∂ p ∂ y = D u y D t , f z − 1 ρ ∂ p ∂ z = D u z D t . \boxed{
\begin{aligned}
f_x-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}&=\frac{Du_x}{Dt},\\
f_y-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}&=\frac{Du_y}{Dt},\\
f_z-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}&=\frac{Du_z}{Dt}.
\end{aligned}
} f x − ρ 1 ∂ x ∂ p f y − ρ 1 ∂ y ∂ p f z − ρ 1 ∂ z ∂ p = D t D u x , = D t D u y , = D t D u z . 其中：
f = ( f x , f y , f z ) \mathbf{f}=(f_x,f_y,f_z) f = ( f x , f y , f z ) − ∇ p / ρ -\nabla p/\rho − ∇ p / ρ D u / D t D\mathbf{u}/Dt D u / D t 若流体静止，D u / D t = 0 D\mathbf{u}/Dt=0 D u / D t = 0
4.5 实际流体与 Navier–Stokes equations# 实际 Newtonian fluid 中，表面应力包含：
法向应力 normal stress
黏性切应力 shear stress
对不可压缩 Newtonian fluid，运动方程为
∂ u ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) u = f − 1 ρ ∇ p + ν ∇ 2 u \boxed{
\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}
+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}
=
\mathbf{f}
-
\frac{1}{\rho}\nabla p
+
\nu\nabla^2\mathbf{u}
} ∂ t ∂ u + ( u ⋅ ∇ ) u = f − ρ 1 ∇ p + ν ∇ 2 u 并同时满足
∇ ⋅ u = 0 \boxed{\nabla\cdot\mathbf{u}=0} ∇ ⋅ u = 0 其中：
ν = μ / ρ \nu=\mu/\rho ν = μ / ρ ν ∇ 2 u \nu\nabla^2\mathbf{u} ν ∇ 2 u 去掉黏性项后即得到 Euler equations
每个方向例如 x x x
∂ u x ∂ t + u x ∂ u x ∂ x + u y ∂ u x ∂ y + u z ∂ u x ∂ z = f x − 1 ρ ∂ p ∂ x + u ( ∂ 2 u x ∂ x 2 + ∂ 2 u x ∂ y 2 + ∂ 2 u x ∂ z 2 ) . \frac{\partial u_x}{\partial t}
+u_x\frac{\partial u_x}{\partial x}
+u_y\frac{\partial u_x}{\partial y}
+u_z\frac{\partial u_x}{\partial z}
=
f_x-\frac1\rho\frac{\partial p}{\partial x}
+
u\left(
\frac{\partial^2u_x}{\partial x^2}
+
\frac{\partial^2u_x}{\partial y^2}
+
\frac{\partial^2u_x}{\partial z^2}
\right). ∂ t ∂ u x + u x ∂ x ∂ u x + u y ∂ y ∂ u x + u z ∂ z ∂ u x = f x − ρ 1 ∂ x ∂ p + u ( ∂ x 2 ∂ 2 u x + ∂ y 2 ∂ 2 u x + ∂ z 2 ∂ 2 u x ) . 本章重点是认识各项来源与 Euler / N–S 的关系，不要求重现完整应力推导。
4.6 实际流体应力与理想流体方程的关系# 理想流体中没有黏性切应力，任意方向的法向压强相同，因此表面应力可以完全由一个标量 p p p
实际运动流体中，黏性会产生切应力，并使三个坐标面上的法向应力一般不再相等。对 Newtonian fluid，典型切应力为
τ x y = τ y x = μ ( ∂ u x ∂ y + ∂ u y ∂ x ) \boxed{
\tau_{xy}=\tau_{yx}
=\mu\left(
\frac{\partial u_x}{\partial y}
+
\frac{\partial u_y}{\partial x}
\right)} τ x y = τ y x = μ ( ∂ y ∂ u x + ∂ x ∂ u y ) 其余两组同理：
τ y z = τ z y = μ ( ∂ u y ∂ z + ∂ u z ∂ y ) , \tau_{yz}=\tau_{zy}
=\mu\left(
\frac{\partial u_y}{\partial z}
+
\frac{\partial u_z}{\partial y}
\right), τ yz = τ zy = μ ( ∂ z ∂ u y + ∂ y ∂ u z ) , τ z x = τ x z = μ ( ∂ u z ∂ x + ∂ u x ∂ z ) . \tau_{zx}=\tau_{xz}
=\mu\left(
\frac{\partial u_z}{\partial x}
+
\frac{\partial u_x}{\partial z}
\right). τ z x = τ x z = μ ( ∂ x ∂ u z + ∂ z ∂ u x ) . 这里的两个速度梯度分别表示两条互相垂直边的角变形贡献。
对不可压缩 Newtonian fluid，将这些黏性应力的合力写入 Newton 第二定律后，最终得到
ρ D u D t = ρ f − ∇ p + μ ∇ 2 u . \rho\frac{D\mathbf{u}}{Dt}
=
\rho\mathbf{f}-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{u}. ρ D t D u = ρ f − ∇ p + μ ∇ 2 u . 除以 ρ \rho ρ
可以用下面的层级关系记忆：
N–S equation → μ = 0 Euler equation → u = 0 hydrostatic equilibrium \boxed{
\text{N--S equation}
\xrightarrow{\mu=0}
\text{Euler equation}
\xrightarrow{\mathbf{u}=0}
\text{hydrostatic equilibrium}} N–S equation μ = 0 Euler equation u = 0 hydrostatic equilibrium 也就是说：
N–S 比 Euler 多黏性项；
Euler 在速度为零时退化为静力平衡；
三者并非互不相关的独立公式，而是同一动量守恒规律在不同假设下的形式。
5 Euler 方程的积分与 Bernoulli 方程# 5.1 为什么 Euler 方程不能总是直接积分# Euler equations 是一组偏微分方程。只有在附加条件成立时，各项才能组合成全微分并积分。
本课程考虑：
steady flow
incompressible fluid
gravity is the only body force
ideal fluid
在此基础上有两种积分路径。
5.2 势流中的全流场积分# 若流动还满足无旋条件，速度场可以写成势函数梯度，惯性项可化为
( u ⋅ ∇ ) u = ∇ ( u 2 2 ) . (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}
=
\nabla\left(\frac{u^2}{2}\right). ( u ⋅ ∇ ) u = ∇ ( 2 u 2 ) . 取重力为唯一质量力：
f = − g k = − ∇ ( g z ) . \mathbf{f}=-g\mathbf{k}=-\nabla(gz). f = − g k = − ∇ ( g z ) . Euler 方程可积分为
g z + p ρ + u 2 2 = C \boxed{
gz+\frac{p}{\rho}+\frac{u^2}{2}=C} g z + ρ p + 2 u 2 = C 除以 g g g
z + p ρ g + u 2 2 g = C \boxed{
z+\frac{p}{\rho g}+\frac{u^2}{2g}=C} z + ρ g p + 2 g u 2 = C 对于同一个连通势流区域，C C C
5.3 沿流线积分# 即使流动有旋，只要沿同一条流线积分，也有
z + p ρ g + u 2 2 g = C streamline \boxed{
z+\frac{p}{\rho g}+\frac{u^2}{2g}=C_{\text{streamline}}} z + ρ g p + 2 g u 2 = C streamline 此时：
同一条流线上 C C C
不同流线上的 C C C
5.4 两种 Bernoulli 积分的区别#
情况 适用范围 积分常数 稳定、不可压、理想、重力、势流 同一连通流场任意两点 全流场相同 稳定、不可压、理想、重力，沿流线 同一条流线上的两点 不同流线可不同
数学表达式相同，适用范围不同，这是常见简答题。
5.5 Bernoulli 方程的物理与几何意义# z + p ρ g + u 2 2 g = C z+\frac{p}{\rho g}+\frac{u^2}{2g}=C z + ρ g p + 2 g u 2 = C 项 物理意义：单位重量能量 几何意义 z z z 位置势能 elevation head，位置水头 p / ( ρ g ) p/(\rho g) p / ( ρ g ) 压强能 pressure head，压强水头 u 2 / ( 2 g ) u^2/(2g) u 2 / ( 2 g ) 动能 velocity head，流速水头 z + p / ( ρ g ) z+p/(\rho g) z + p / ( ρ g ) 总势能 piezometric head，测压管水头 全部三项 总机械能 total head，总水头
WARNING 本章得到的是理想流体 Bernoulli 方程。实际总流中的水头损失、动能修正系数、泵与水轮机项属于下一章“恒定总流基本方程”。
6 恒定二维不可压缩势流# 6.1 本节统一假设#
steady：∂ / ∂ t = 0 \partial/\partial t=0 ∂ / ∂ t = 0
two-dimensional：u z = 0 u_z=0 u z = 0 z z z
incompressible：
∂ u x ∂ x + ∂ u y ∂ y = 0 \frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}=0 ∂ x ∂ u x + ∂ y ∂ u y = 0
irrotational / potential：
∂ u y ∂ x − ∂ u x ∂ y = 0 \frac{\partial u_y}{\partial x}-\frac{\partial u_x}{\partial y}=0 ∂ x ∂ u y − ∂ y ∂ u x = 0 这两条方程分别对应：
6.2 Velocity potential（速度势函数）# 若二维速度场无旋，则微分式
u x d x + u y d y u_x\,dx+u_y\,dy u x d x + u y d y 是全微分，可以定义
d φ = u x d x + u y d y \boxed{d\varphi=u_x\,dx+u_y\,dy} d φ = u x d x + u y d y 因此
u x = ∂ φ ∂ x , u y = ∂ φ ∂ y \boxed{
u_x=\frac{\partial\varphi}{\partial x},
\qquad
u_y=\frac{\partial\varphi}{\partial y}} u x = ∂ x ∂ φ , u y = ∂ y ∂ φ φ \varphi φ
极坐标形式# u r = ∂ φ ∂ r , u θ = 1 r ∂ φ ∂ θ \boxed{
u_r=\frac{\partial\varphi}{\partial r},
\qquad
u_\theta=\frac1r\frac{\partial\varphi}{\partial\theta}} u r = ∂ r ∂ φ , u θ = r 1 ∂ θ ∂ φ Laplace equation# 若流动同时不可压缩：
∂ u x ∂ x + ∂ u y ∂ y = 0 , \frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}=0, ∂ x ∂ u x + ∂ y ∂ u y = 0 , 代入 u x = φ x , u y = φ y u_x=\varphi_x,u_y=\varphi_y u x = φ x , u y = φ y
∇ 2 φ = ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 = 0 \boxed{
\nabla^2\varphi
=
\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}
+
\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}
=0} ∇ 2 φ = ∂ x 2 ∂ 2 φ + ∂ y 2 ∂ 2 φ = 0 满足 Laplace equation 的函数称为 harmonic function。
6.3 Stream function（流函数）# 对二维不可压缩流：
∂ u x ∂ x + ∂ u y ∂ y = 0 , \frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}=0, ∂ x ∂ u x + ∂ y ∂ u y = 0 , 可以定义
d ψ = − u y d x + u x d y \boxed{d\psi=-u_y\,dx+u_x\,dy} d ψ = − u y d x + u x d y 所以
u x = ∂ ψ ∂ y , u y = − ∂ ψ ∂ x \boxed{
u_x=\frac{\partial\psi}{\partial y},
\qquad
u_y=-\frac{\partial\psi}{\partial x}} u x = ∂ y ∂ ψ , u y = − ∂ x ∂ ψ 极坐标形式# u r = 1 r ∂ ψ ∂ θ , u θ = − ∂ ψ ∂ r \boxed{
u_r=\frac1r\frac{\partial\psi}{\partial\theta},
\qquad
u_\theta=-\frac{\partial\psi}{\partial r}} u r = r 1 ∂ θ ∂ ψ , u θ = − ∂ r ∂ ψ 物理意义 1：ψ = C \psi=C ψ = C # 沿 ψ = C \psi=C ψ = C
d ψ = − u y d x + u x d y = 0 , d\psi=-u_y\,dx+u_x\,dy=0, d ψ = − u y d x + u x d y = 0 , 所以
d y d x = u y u x , \frac{dy}{dx}=\frac{u_y}{u_x}, d x d y = u x u y , 正是流线斜率。
因此
ψ ( x , y ) = C represents a streamline \boxed{\psi(x,y)=C\quad\text{represents a streamline}} ψ ( x , y ) = C represents a streamline 物理意义 2：流函数差等于单位宽度流量# 两条流线 A A A B B B
q A B = ψ B − ψ A \boxed{q_{AB}=\psi_B-\psi_A} q A B = ψ B − ψ A 符号由穿过方向决定，求流量大小时取绝对值：
∣ q A B ∣ = ∣ Δ ψ ∣ . |q_{AB}|=|\Delta\psi|. ∣ q A B ∣ = ∣Δ ψ ∣. 因此二维流函数单位为
[ ψ ] = m 2 / s . [\psi]=\mathrm{m^2/s}. [ ψ ] = m 2 /s . 若相邻流线间距为 Δ n \Delta n Δ n
u ≈ ∣ Δ ψ ∣ Δ n \boxed{u\approx\frac{|\Delta\psi|}{\Delta n}} u ≈ Δ n ∣Δ ψ ∣ 6.4 φ \varphi φ ψ \psi ψ # 由两者定义：
∂ φ ∂ x = ∂ ψ ∂ y , ∂ φ ∂ y = − ∂ ψ ∂ x \boxed{
\frac{\partial\varphi}{\partial x}
=
\frac{\partial\psi}{\partial y},
\qquad
\frac{\partial\varphi}{\partial y}
=
-
\frac{\partial\psi}{\partial x}} ∂ x ∂ φ = ∂ y ∂ ψ , ∂ y ∂ φ = − ∂ x ∂ ψ 这就是 Cauchy–Riemann equations。
若同时不可压缩且无旋，则
∇ 2 φ = 0 , ∇ 2 ψ = 0 \boxed{\nabla^2\varphi=0,
\qquad
\nabla^2\psi=0} ∇ 2 φ = 0 , ∇ 2 ψ = 0 流线与等势线正交# 等势线 φ = C \varphi=C φ = C
( d y d x ) φ = − u x u y . \left(\frac{dy}{dx}\right)_{\varphi}
=-\frac{u_x}{u_y}. ( d x d y ) φ = − u y u x . 流线 ψ = C \psi=C ψ = C
( d y d x ) ψ = u y u x . \left(\frac{dy}{dx}\right)_{\psi}
=\frac{u_y}{u_x}. ( d x d y ) ψ = u x u y . 两斜率乘积为 − 1 -1 − 1
6.5 课堂例：二维点源流# 给定
u x = C x x 2 + y 2 , u y = C y x 2 + y 2 . u_x=\frac{Cx}{x^2+y^2},
\qquad
u_y=\frac{Cy}{x^2+y^2}. u x = x 2 + y 2 C x , u y = x 2 + y 2 C y . 令 r = x 2 + y 2 r=\sqrt{x^2+y^2} r = x 2 + y 2
判断无旋# ∂ u x ∂ y = − 2 C x y ( x 2 + y 2 ) 2 , ∂ u y ∂ x = − 2 C x y ( x 2 + y 2 ) 2 . \frac{\partial u_x}{\partial y}
=
\frac{-2Cxy}{(x^2+y^2)^2},
\qquad
\frac{\partial u_y}{\partial x}
=
\frac{-2Cxy}{(x^2+y^2)^2}. ∂ y ∂ u x = ( x 2 + y 2 ) 2 − 2 C x y , ∂ x ∂ u y = ( x 2 + y 2 ) 2 − 2 C x y . 两者相等，所以除原点外为无旋流。
求势函数# 在极坐标中
u r = C r , u θ = 0. u_r=\frac{C}{r},
\qquad
u_\theta=0. u r = r C , u θ = 0. 因此
∂ φ ∂ r = C r \frac{\partial\varphi}{\partial r}=\frac{C}{r} ∂ r ∂ φ = r C 得到
φ = C ln r + C 1 \boxed{\varphi=C\ln r+C_1} φ = C ln r + C 1 判断不可压缩# 除原点外：
∂ u x ∂ x + ∂ u y ∂ y = 0. \frac{\partial u_x}{\partial x}
+
\frac{\partial u_y}{\partial y}=0. ∂ x ∂ u x + ∂ y ∂ u y = 0. 所以流场在 r > 0 r>0 r > 0
原点是点源奇点，不能直接把普通微分方程结论延伸到原点。
求流函数# 由极坐标公式
u r = 1 r ∂ ψ ∂ θ = C r , u_r=\frac1r\frac{\partial\psi}{\partial\theta}=\frac{C}{r}, u r = r 1 ∂ θ ∂ ψ = r C , 故
ψ = C θ + C 2 \boxed{\psi=C\theta+C_2} ψ = Cθ + C 2 流线 θ = C \theta=C θ = C r = C r=C r = C
若单位宽度总流量为 Q Q Q
Q = ∫ 0 2 π u r r d θ = 2 π C , Q=\int_0^{2\pi}u_r r\,d\theta=2\pi C, Q = ∫ 0 2 π u r r d θ = 2 π C , 所以
C = Q 2 π \boxed{C=\frac{Q}{2\pi}} C = 2 π Q 6.6 课堂例：由速度场直接求函数# 例 1：求流函数# u x = 1 , u y = 2. u_x=1,\qquad u_y=2. u x = 1 , u y = 2. 不可压缩条件成立：
∂ u x ∂ x + ∂ u y ∂ y = 0. \frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}=0. ∂ x ∂ u x + ∂ y ∂ u y = 0. 由
ψ y = u x = 1 , − ψ x = u y = 2 , \psi_y=u_x=1,
\qquad
-\psi_x=u_y=2, ψ y = u x = 1 , − ψ x = u y = 2 , 得
ψ = y − 2 x + C \boxed{\psi=y-2x+C} ψ = y − 2 x + C 例 2：求势函数# u x = 4 x , u y = − 4 y . u_x=4x,\qquad u_y=-4y. u x = 4 x , u y = − 4 y . 无旋条件成立：
∂ u y ∂ x − ∂ u x ∂ y = 0. \frac{\partial u_y}{\partial x}
-
\frac{\partial u_x}{\partial y}=0. ∂ x ∂ u y − ∂ y ∂ u x = 0. 由
φ x = 4 x , φ y = − 4 y , \varphi_x=4x,
\qquad
\varphi_y=-4y, φ x = 4 x , φ y = − 4 y , 得
φ = 2 x 2 − 2 y 2 + C \boxed{\varphi=2x^2-2y^2+C} φ = 2 x 2 − 2 y 2 + C 6.7 课堂例：由流函数求势函数# 给定
ψ = a x 2 − a y 2 . \psi=ax^2-ay^2. ψ = a x 2 − a y 2 . 速度分量：
u x = ψ y = − 2 a y , u y = − ψ x = − 2 a x . u_x=\psi_y=-2ay,
\qquad
u_y=-\psi_x=-2ax. u x = ψ y = − 2 a y , u y = − ψ x = − 2 a x . 判断无旋：
∂ u y ∂ x − ∂ u x ∂ y = − 2 a − ( − 2 a ) = 0. \frac{\partial u_y}{\partial x}
-
\frac{\partial u_x}{\partial y}
=-2a-(-2a)=0. ∂ x ∂ u y − ∂ y ∂ u x = − 2 a − ( − 2 a ) = 0. 所以势函数存在。
由
φ x = − 2 a y \varphi_x=-2ay φ x = − 2 a y 积分：
φ = − 2 a x y + f ( y ) . \varphi=-2axy+f(y). φ = − 2 a x y + f ( y ) . 再由 φ y = u y = − 2 a x \varphi_y=u_y=-2ax φ y = u y = − 2 a x f ′ ( y ) = 0 f'(y)=0 f ′ ( y ) = 0
φ = − 2 a x y + C \boxed{\varphi=-2axy+C} φ = − 2 a x y + C 流线与等势线正交，可由两族曲线斜率乘积为 − 1 -1 − 1
6.8 Flow net（流网）# 流网是由
流线 ψ = C \psi=C ψ = C
等势线 φ = C \varphi=C φ = C
共同组成的正交曲线网。
基本性质#
流线与等势线处处正交。
对小网格：
Δ s Δ n = Δ φ Δ ψ \boxed{
\frac{\Delta s}{\Delta n}
=
\frac{\Delta\varphi}{\Delta\psi}} Δ n Δ s = Δ ψ Δ φ
若取 Δ φ = Δ ψ \Delta\varphi=\Delta\psi Δ φ = Δ ψ
相邻流线的 Δ ψ \Delta\psi Δ ψ
流线越密，Δ n \Delta n Δ n
速度近似：
u ≈ Δ ψ Δ n ≈ Δ φ Δ s \boxed{
u\approx\frac{\Delta\psi}{\Delta n}
\approx
\frac{\Delta\varphi}{\Delta s}} u ≈ Δ n Δ ψ ≈ Δ s Δ φ 固体边界条件# 不可穿透固体边界：
u n = 0. u_n=0. u n = 0. 所以固定固体边界本身是一条流线；等势线与边界正交。
估计速度场
由 Bernoulli equation 估计压强场
分析理想流体绕流
分析二维渗流
6.9 Superposition of potential flows（势流叠加）# Laplace equation 是线性的，因此若各子流动都是势流：
φ = ∑ i φ i , ψ = ∑ i ψ i \boxed{
\varphi=\sum_i\varphi_i,
\qquad
\psi=\sum_i\psi_i} φ = i ∑ φ i , ψ = i ∑ ψ i 叠加后仍为势流。
若速度大小为 U U U x x x α \alpha α
u x = U cos α , u y = U sin α . u_x=U\cos\alpha,
\qquad
u_y=U\sin\alpha. u x = U cos α , u y = U sin α . 势函数：
φ = U ( x cos α + y sin α ) \boxed{
\varphi=U(x\cos\alpha+y\sin\alpha)} φ = U ( x cos α + y sin α ) 流函数：
ψ = U ( y cos α − x sin α ) \boxed{
\psi=U(y\cos\alpha-x\sin\alpha)} ψ = U ( y cos α − x sin α ) Point source（二维点源）# 若单位宽度流量为 Q Q Q
φ = Q 2 π ln r , ψ = Q 2 π θ \boxed{
\varphi=\frac{Q}{2\pi}\ln r,
\qquad
\psi=\frac{Q}{2\pi}\theta} φ = 2 π Q ln r , ψ = 2 π Q θ
Q > 0 Q>0 Q > 0 Q < 0 Q<0 Q < 0 均匀流与点源叠加# 令均匀流沿 + x +x + x
φ = U x + Q 2 π ln r \boxed{
\varphi=Ux+\frac{Q}{2\pi}\ln r} φ = Ux + 2 π Q ln r ψ = U y + Q 2 π θ \boxed{
\psi=Uy+\frac{Q}{2\pi}\theta} ψ = U y + 2 π Q θ 速度分量：
u x = U + Q x 2 π ( x 2 + y 2 ) , u y = Q y 2 π ( x 2 + y 2 ) \boxed{
u_x=U+\frac{Qx}{2\pi(x^2+y^2)},
\qquad
u_y=\frac{Qy}{2\pi(x^2+y^2)}} u x = U + 2 π ( x 2 + y 2 ) Q x , u y = 2 π ( x 2 + y 2 ) Q y 停滞点满足 u x = u y = 0 u_x=u_y=0 u x = u y = 0
θ = π , r = Q 2 π U \boxed{
\theta=\pi,
\qquad
r=\frac{Q}{2\pi U}} θ = π , r = 2 π U Q 即位于点源上游的负 x x x
通过停滞点的分界流线，其流函数值为
ψ A = Q 2 . \psi_A=\frac{Q}{2}. ψ A = 2 Q . 6.10 点源流的压强分布# 对二维点源流：
u = C r . u=\frac{C}{r}. u = r C . 忽略重力高差，Bernoulli equation 给出
p ρ + u 2 2 = C 1 . \frac{p}{\rho}+\frac{u^2}{2}=C_1. ρ p + 2 u 2 = C 1 . 若 r → ∞ r\to\infty r → ∞ p → p ∞ p\to p_\infty p → p ∞ u → 0 u\to0 u → 0
p = p ∞ − ρ C 2 2 r 2 \boxed{
p=p_\infty-\frac{\rho C^2}{2r^2}} p = p ∞ − 2 r 2 ρ C 2 又因为 C = Q / ( 2 π ) C=Q/(2\pi) C = Q / ( 2 π )
p = p ∞ − ρ Q 2 8 π 2 r 2 \boxed{
p=p_\infty-\frac{\rho Q^2}{8\pi^2r^2}} p = p ∞ − 8 π 2 r 2 ρ Q 2 越靠近点源，速度越大、压强越低。原点为数学奇点，理想点源模型在那里失效。
6.11 势函数与流函数的标准求解流程# 考试中最常见的任务是“已知速度场求 φ \varphi φ ψ \psi ψ
已知速度场，求势函数 φ \varphi φ #
先检查无旋条件：
∂ u y ∂ x = ∂ u x ∂ y . \frac{\partial u_y}{\partial x}
=
\frac{\partial u_x}{\partial y}. ∂ x ∂ u y = ∂ y ∂ u x .
由 φ x = u x \varphi_x=u_x φ x = u x x x x
φ = ∫ u x d x + f ( y ) . \varphi=\int u_x\,dx+f(y). φ = ∫ u x d x + f ( y ) .
对结果求 y y y u y u_y u y f ′ ( y ) f'(y) f ′ ( y )
积分得到 f ( y ) f(y) f ( y )
已知速度场，求流函数 ψ \psi ψ #
先检查不可压缩条件：
∂ u x ∂ x + ∂ u y ∂ y = 0. \frac{\partial u_x}{\partial x}
+
\frac{\partial u_y}{\partial y}=0. ∂ x ∂ u x + ∂ y ∂ u y = 0.
由 ψ y = u x \psi_y=u_x ψ y = u x y y y
ψ = ∫ u x d y + f ( x ) . \psi=\int u_x\,dy+f(x). ψ = ∫ u x d y + f ( x ) .
对结果求 x x x − ψ x = u y -\psi_x=u_y − ψ x = u y f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x )
积分并加任意常数。
WARNING 不能把对某一变量积分后的“积分常数”直接写成普通常数。
例如对 x x x f ( y ) f(y) f ( y ) x x x y y y
6.12 Laplace equation、边界条件与唯一性直觉# φ \varphi φ ψ \psi ψ
对固定不可穿透固体边界：
u n = 0. u_n=0. u n = 0. 用流函数表示时，边界上沿切向移动有
d ψ = 0 , d\psi=0, d ψ = 0 , 所以同一段固体边界上
ψ = C . \boxed{\psi=C}. ψ = C . 这解释了为什么画流网时先把固体边界当作一条流线，再补画与其正交的等势线。
对于入口、出口或无穷远边界，通常给定以下一种信息：
速度大小与方向；
势函数或流函数值；
压强，再结合 Bernoulli equation 转化为速度条件。
势流问题的基本求解思想是：
选择满足 Laplace equation 的 φ \varphi φ ψ \psi ψ
6.13 常见基本流动的函数对照#
流动 速度 势函数 φ \varphi φ 流函数 ψ \psi ψ 沿 + x +x + x u x = U , u y = 0 u_x=U,u_y=0 u x = U , u y = 0 U x Ux Ux U y Uy U y 与 x x x α \alpha α ( U cos α , U sin α ) (U\cos\alpha,U\sin\alpha) ( U cos α , U sin α ) U ( x cos α + y sin α ) U(x\cos\alpha+y\sin\alpha) U ( x cos α + y sin α ) U ( y cos α − x sin α ) U(y\cos\alpha-x\sin\alpha) U ( y cos α − x sin α ) 二维点源 u r = Q / ( 2 π r ) u_r=Q/(2\pi r) u r = Q / ( 2 π r ) ( Q / 2 π ) ln r (Q/2\pi)\ln r ( Q /2 π ) ln r ( Q / 2 π ) θ (Q/2\pi)\theta ( Q /2 π ) θ 二维点汇 $u_r=- Q /(2\pi r)$ 自由涡 u θ = C / r u_\theta=C/r u θ = C / r C θ C\theta Cθ − C ln r -C\ln r − C ln r
表中函数都允许再加任意常数。点源、点汇和自由涡在原点存在奇点，使用时应明确分析区域不包含奇点。
7 本章易错点与公式速查# 7.1 高频易错点#
恒定流只消去当地加速度 ，迁移加速度仍可能存在。均匀流只消去迁移加速度 ，若速度场整体随时间变化，当地加速度仍可能存在。求流线时固定 t t t t t t
流线通常不相交，但停滞点是特殊点。
不可压缩流判断用散度：∇ ⋅ u = 0 \nabla\cdot\mathbf{u}=0 ∇ ⋅ u = 0
无旋流判断用旋度：∇ × u = 0 \nabla\times\mathbf{u}=0 ∇ × u = 0
微团角速度是涡量的一半。
φ \varphi φ ψ \psi ψ ψ = C \psi=C ψ = C φ = C \varphi=C φ = C 流函数差是单位宽度流量；平均速度还要再除以两流线间距。
Bernoulli equation 在有旋流中只能保证同一流线常数相同。
点源、点汇、自由涡等理想模型在奇点处不能按普通连续流场处理。
7.2 一页公式表# Euler acceleration# a = ∂ u ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) u \boxed{
\mathbf{a}=\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}
+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}} a = ∂ t ∂ u + ( u ⋅ ∇ ) u Streamline / pathline# streamline: d x u x = d y u y = d z u z \boxed{
\text{streamline: }
\frac{dx}{u_x}=\frac{dy}{u_y}=\frac{dz}{u_z}
} streamline: u x d x = u y d y = u z d z pathline: d x u x = d y u y = d z u z = d t \boxed{
\text{pathline: }
\frac{dx}{u_x}=\frac{dy}{u_y}=\frac{dz}{u_z}=dt
} pathline: u x d x = u y d y = u z d z = d t Continuity# ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0 \boxed{
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{u})=0} ∂ t ∂ ρ + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0 incompressible: ∇ ⋅ u = 0 \boxed{
\text{incompressible: }\nabla\cdot\mathbf{u}=0} incompressible: ∇ ⋅ u = 0 Angular velocity and vorticity# ω = 1 2 ∇ × u \boxed{
\boldsymbol{\omega}=\frac12\nabla\times\mathbf{u}} ω = 2 1 ∇ × u Euler / N–S# Euler: D u D t = f − 1 ρ ∇ p \boxed{
\text{Euler: }
\frac{D\mathbf{u}}{Dt}
=
\mathbf{f}-\frac1\rho\nabla p} Euler: D t D u = f − ρ 1 ∇ p N–S: D u D t = f − 1 ρ ∇ p + ν ∇ 2 u \boxed{
\text{N--S: }
\frac{D\mathbf{u}}{Dt}
=
\mathbf{f}-\frac1\rho\nabla p+\nu\nabla^2\mathbf{u}} N–S: D t D u = f − ρ 1 ∇ p + ν ∇ 2 u Bernoulli# z + p ρ g + u 2 2 g = C \boxed{
z+\frac{p}{\rho g}+\frac{u^2}{2g}=C} z + ρ g p + 2 g u 2 = C Potential and stream function# u x = φ x , u y = φ y \boxed{
u_x=\varphi_x,
\qquad
u_y=\varphi_y} u x = φ x , u y = φ y u x = ψ y , u y = − ψ x \boxed{
u_x=\psi_y,
\qquad
u_y=-\psi_x} u x = ψ y , u y = − ψ x φ x = ψ y , φ y = − ψ x \boxed{
\varphi_x=\psi_y,
\qquad
\varphi_y=-\psi_x} φ x = ψ y , φ y = − ψ x ∇ 2 φ = 0 , ∇ 2 ψ = 0 for 2D incompressible potential flow \boxed{\nabla^2\varphi=0,
\qquad
\nabla^2\psi=0}
\quad
\text{for 2D incompressible potential flow} ∇ 2 φ = 0 , ∇ 2 ψ = 0 for 2D incompressible potential flow 第二部分：练习题#
题目均提供英文原题风格与中文翻译。标注“历年卷”者来自或直接改编自所给试卷；标注“教材”者来自教材第 4 章习题；其余根据课堂例题与常见考法整理。
A 概念与判断# A-1 当地加速度与迁移加速度｜Local and convective acceleration# 【24–25 真题】
English
For a steady flow, the ______ acceleration is zero. For a uniform flow, the ______ acceleration is zero.
中文
恒定流动的______加速度为零；均匀流动的______加速度为零。
答案与讲解 local acceleration; convective acceleration \boxed{\text{local acceleration; convective acceleration}} local acceleration; convective acceleration 恒定对应 ∂ u / ∂ t = 0 \partial\mathbf{u}/\partial t=0 ∂ u / ∂ t = 0 ( u ⋅ ∇ ) u = 0 (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=0 ( u ⋅ ∇ ) u = 0
A-2 相邻流线间的流量｜Discharge between adjacent streamlines# 【24–25 真题】
English
In a steady, two-dimensional incompressible flow, two adjacent streamlines differ in stream-function value by d ψ d\psi d ψ d n dn d n
中文
在恒定二维不可压缩流中，两条相邻流线的流函数差为 d ψ d\psi d ψ d n dn d n
答案与讲解 d q = d ψ \boxed{dq=d\psi} d q = d ψ u ˉ = d ψ d n \boxed{\bar u=\frac{d\psi}{dn}} u ˉ = d n d ψ 若只问大小，应写绝对值 ∣ d q ∣ = ∣ d ψ ∣ |dq|=|d\psi| ∣ d q ∣ = ∣ d ψ ∣ u ˉ = ∣ d ψ ∣ / d n \bar u=|d\psi|/dn u ˉ = ∣ d ψ ∣/ d n
A-3 速度场是否满足不可压缩连续性｜Continuity check# 【24–25 真题】
English
For an incompressible flow,
u x = x 2 + x y − y 2 , u y = x 2 + y 2 , u z = 0. u_x=x^2+xy-y^2,\qquad
u_y=x^2+y^2,\qquad
u_z=0. u x = x 2 + x y − y 2 , u y = x 2 + y 2 , u z = 0. Can this velocity field exist?
中文
对不可压缩流体，给定上述速度场。判断该流动能否存在。
答案与讲解 不可压缩连续性方程：
∂ u x ∂ x + ∂ u y ∂ y + ∂ u z ∂ z = 0. \frac{\partial u_x}{\partial x}
+
\frac{\partial u_y}{\partial y}
+
\frac{\partial u_z}{\partial z}=0. ∂ x ∂ u x + ∂ y ∂ u y + ∂ z ∂ u z = 0. 计算：
∂ u x ∂ x = 2 x + y , ∂ u y ∂ y = 2 y , ∂ u z ∂ z = 0. \frac{\partial u_x}{\partial x}=2x+y,
\qquad
\frac{\partial u_y}{\partial y}=2y,
\qquad
\frac{\partial u_z}{\partial z}=0. ∂ x ∂ u x = 2 x + y , ∂ y ∂ u y = 2 y , ∂ z ∂ u z = 0. 所以
∇ ⋅ u = 2 x + 3 y ≠ 0. \nabla\cdot\mathbf{u}=2x+3y\neq0. ∇ ⋅ u = 2 x + 3 y = 0. The field cannot represent an incompressible flow. \boxed{\text{The field cannot represent an incompressible flow.}} The field cannot represent an incompressible flow. 【历年卷判断题改编】
English
Judge the statement: “In a uniform flow, streamlines, pathlines, and streaklines always coincide.”
中文
判断：“在均匀流中，流线、迹线和色线一定重合。”
答案与讲解 False \boxed{\text{False}} False 三者重合的充分条件是恒定流 。均匀流只说明空间迁移加速度为零，速度场仍可能随时间改变。
A-5 势函数和流函数的存在条件｜Existence conditions# 【课堂重点改编】
English
State the essential condition for the existence of a velocity potential and that for a two-dimensional stream function.
中文
分别写出速度势函数与二维流函数存在的核心条件。
答案与讲解 ∇ × u = 0 \boxed{\nabla\times\mathbf{u}=0} ∇ × u = 0 在单连通区域内，无旋速度场可写成 u = ∇ φ \mathbf{u}=\nabla\varphi u = ∇ φ
Two-dimensional stream function:
∇ ⋅ u = 0 \boxed{\nabla\cdot\mathbf{u}=0} ∇ ⋅ u = 0 二维不可压缩速度场可写成 u x = ψ y , u y = − ψ x u_x=\psi_y, u_y=-\psi_x u x = ψ y , u y = − ψ x
A-6 流体微团运动形式｜Basic modes of fluid-particle motion# 【教材知识点改编】
English
List the three basic modes of motion of a fluid particle.
中文
写出流体微团运动的三种基本形式。
答案与讲解 translation, rotation, and deformation \boxed{\text{translation, rotation, and deformation}} translation, rotation, and deformation 变形还可细分为线变形和角变形。
A-7 Bernoulli 积分的适用范围｜Range of Bernoulli constant# 【课堂重点改编】
English
For a steady, incompressible, inviscid flow under gravity, explain the difference between applying Bernoulli’s equation to a rotational flow and to an irrotational flow.
中文
对恒定、不可压缩、无黏且仅受重力的流动，说明 Bernoulli 方程在有旋流与无旋流中的适用范围差异。
答案与讲解 z + p ρ g + u 2 2 g = C z+\frac{p}{\rho g}+\frac{u^2}{2g}=C z + ρ g p + 2 g u 2 = C 只保证同一条流线上 C C C
无旋流：同一连通流场内任意两点均可使用同一个 C C C
A-8 平均速度与点速度｜Mean and local velocity# 【历年卷改编】
English
At a flow cross-section, compare the mean velocity v v v u u u v < u v<u v < u v = u v=u v = u v > u v>u v > u
中文
在同一过流断面上，比较断面平均流速 v v v u u u v < u v<u v < u v = u v=u v = u v > u v>u v > u
答案与讲解 Cannot be determined \boxed{\text{Cannot be determined}} Cannot be determined 平均速度是对整个断面速度分布的面积平均。某一点速度可能高于、低于或恰好等于平均速度。
B 计算与综合# B-1 Euler acceleration｜欧拉加速度# 【课堂例题改编】
English
A velocity field is
u x = x 2 t , u y = − 2 x y t , u z = 0. u_x=x^2t,\qquad
u_y=-2xyt,\qquad
u_z=0. u x = x 2 t , u y = − 2 x y t , u z = 0. Find the local acceleration, convective acceleration, and total acceleration at ( x , y , t ) = ( 1 , 2 , 1 ) (x,y,t)=(1,2,1) ( x , y , t ) = ( 1 , 2 , 1 )
中文
给定上述速度场，求点 ( x , y , t ) = ( 1 , 2 , 1 ) (x,y,t)=(1,2,1) ( x , y , t ) = ( 1 , 2 , 1 )
答案与讲解 当地加速度：
∂ u x ∂ t = x 2 , ∂ u y ∂ t = − 2 x y . \frac{\partial u_x}{\partial t}=x^2,
\qquad
\frac{\partial u_y}{\partial t}=-2xy. ∂ t ∂ u x = x 2 , ∂ t ∂ u y = − 2 x y . 代入点：
a local = ( 1 , − 4 , 0 ) \boxed{\mathbf{a}_{\text{local}}=(1,-4,0)} a local = ( 1 , − 4 , 0 ) 迁移加速度：
a x , c = u x ∂ u x ∂ x + u y ∂ u x ∂ y = ( x 2 t ) ( 2 x t ) + ( − 2 x y t ) ( 0 ) = 2 x 3 t 2 , \begin{aligned}
a_{x,c}
&=u_x\frac{\partial u_x}{\partial x}
+u_y\frac{\partial u_x}{\partial y}\\
&=(x^2t)(2xt)+(-2xyt)(0)=2x^3t^2,
\end{aligned} a x , c = u x ∂ x ∂ u x + u y ∂ y ∂ u x = ( x 2 t ) ( 2 x t ) + ( − 2 x y t ) ( 0 ) = 2 x 3 t 2 , 所以 a x , c = 2 a_{x,c}=2 a x , c = 2
a y , c = u x ∂ u y ∂ x + u y ∂ u y ∂ y = ( x 2 t ) ( − 2 y t ) + ( − 2 x y t ) ( − 2 x t ) = − 2 x 2 y t 2 + 4 x 2 y t 2 = 2 x 2 y t 2 . \begin{aligned}
a_{y,c}
&=u_x\frac{\partial u_y}{\partial x}
+u_y\frac{\partial u_y}{\partial y}\\
&=(x^2t)(-2yt)+(-2xyt)(-2xt)\\
&=-2x^2yt^2+4x^2yt^2
=2x^2yt^2.
\end{aligned} a y , c = u x ∂ x ∂ u y + u y ∂ y ∂ u y = ( x 2 t ) ( − 2 y t ) + ( − 2 x y t ) ( − 2 x t ) = − 2 x 2 y t 2 + 4 x 2 y t 2 = 2 x 2 y t 2 . 所以 a y , c = 4 a_{y,c}=4 a y , c = 4
a convective = ( 2 , 4 , 0 ) \boxed{\mathbf{a}_{\text{convective}}=(2,4,0)} a convective = ( 2 , 4 , 0 ) 总加速度：
a = ( 3 , 0 , 0 ) \boxed{\mathbf{a}=(3,0,0)} a = ( 3 , 0 , 0 ) B-2 教材 4-1——流线与迹线｜Streamline and pathline# 【教材习题 4-1】
English
For the two-dimensional flow
u x = x 2 t , u y = − 2 x y t , u_x=x^2t,\qquad u_y=-2xyt, u x = x 2 t , u y = − 2 x y t , find the streamline at t = 1 t=1 t = 1 ( − 2 , 1 ) (-2,1) ( − 2 , 1 ) t = 1 t=1 t = 1
中文
对上述二维流动，求 t = 1 t=1 t = 1 ( − 2 , 1 ) (-2,1) ( − 2 , 1 ) t = 1 t=1 t = 1
答案与讲解 1. 流线# 固定 t = 1 t=1 t = 1
d y d x = − 2 x y x 2 = − 2 y x . \frac{dy}{dx}=\frac{-2xy}{x^2}=-\frac{2y}{x}. d x d y = x 2 − 2 x y = − x 2 y . 积分：
d y y = − 2 d x x ⇒ ln y = − 2 ln ∣ x ∣ + C . \frac{dy}{y}=-2\frac{dx}{x}
\quad\Rightarrow\quad
\ln y=-2\ln|x|+C. y d y = − 2 x d x ⇒ ln y = − 2 ln ∣ x ∣ + C . 所以
y x 2 = C 1 . yx^2=C_1. y x 2 = C 1 . 代入 ( − 2 , 1 ) (-2,1) ( − 2 , 1 ) C 1 = 4 C_1=4 C 1 = 4
y = 4 x 2 \boxed{y=\frac{4}{x^2}} y = x 2 4 2. 迹线# d x d t = x 2 t . \frac{dx}{dt}=x^2t. d t d x = x 2 t . 积分：
d x x 2 = t d t ⇒ − 1 x = t 2 2 + C . \frac{dx}{x^2}=t\,dt
\quad\Rightarrow\quad
-\frac1x=\frac{t^2}{2}+C. x 2 d x = t d t ⇒ − x 1 = 2 t 2 + C . 由 x ( 1 ) = − 2 x(1)=-2 x ( 1 ) = − 2 C = 0 C=0 C = 0
x = − 2 t 2 \boxed{x=-\frac{2}{t^2}} x = − t 2 2 再由
d y d t = − 2 x y t = 4 y t \frac{dy}{dt}=-2xyt
=\frac{4y}{t} d t d y = − 2 x y t = t 4 y 得
d y y = 4 d t t ⇒ y = C 2 t 4 . \frac{dy}{y}=4\frac{dt}{t}
\quad\Rightarrow\quad
y=C_2t^4. y d y = 4 t d t ⇒ y = C 2 t 4 . 由 y ( 1 ) = 1 y(1)=1 y ( 1 ) = 1
y = t 4 \boxed{y=t^4} y = t 4 消去 t t t
y = 4 x 2 \boxed{y=\frac{4}{x^2}} y = x 2 4 本题中特定质点的迹线恰好与该时刻流线重合；这不代表所有非恒定流都如此。
B-3 教材 4-2——三维流线｜A three-dimensional streamline# 【教材习题 4-2】
English
Given
u x = − x , u y = 2 y , u z = 5 − z , u_x=-x,\qquad u_y=2y,\qquad u_z=5-z, u x = − x , u y = 2 y , u z = 5 − z , find the streamline through ( 2 , 1 , 1 ) (2,1,1) ( 2 , 1 , 1 )
中文
给定上述三维速度场，求通过 ( 2 , 1 , 1 ) (2,1,1) ( 2 , 1 , 1 )
答案与讲解 d x − x = d y 2 y = d z 5 − z . \frac{dx}{-x}=\frac{dy}{2y}=\frac{dz}{5-z}. − x d x = 2 y d y = 5 − z d z . 由前两项：
d y y = − 2 d x x ⇒ x 2 y = C 1 . \frac{dy}{y}=-2\frac{dx}{x}
\quad\Rightarrow\quad
x^2y=C_1. y d y = − 2 x d x ⇒ x 2 y = C 1 . 代入点得 C 1 = 4 C_1=4 C 1 = 4
x 2 y = 4 \boxed{x^2y=4} x 2 y = 4 由第一、第三项：
d z 5 − z = − d x x . \frac{dz}{5-z}=-\frac{dx}{x}. 5 − z d z = − x d x . 积分：
− ln ( 5 − z ) = − ln ∣ x ∣ + C -\ln(5-z)=-\ln|x|+C − ln ( 5 − z ) = − ln ∣ x ∣ + C 所以
5 − z x = C 2 . \frac{5-z}{x}=C_2. x 5 − z = C 2 . 代入点得 C 2 = 2 C_2=2 C 2 = 2
z = 5 − 2 x \boxed{z=5-2x} z = 5 − 2 x 因此通过指定点的流线可由两曲面交线表示：
x 2 y = 4 , z = 5 − 2 x \boxed{x^2y=4,\qquad z=5-2x} x 2 y = 4 , z = 5 − 2 x B-4 补全可压缩流速度分量｜Complete a compressible velocity field# 【课堂例题改编】
English
Let
ρ = t , u x = t ρ , u y = 3 x y ρ . \rho=t,\qquad
u_x=\frac{t}{\rho},\qquad
u_y=\frac{3xy}{\rho}. ρ = t , u x = ρ t , u y = ρ 3 x y . Determine the most general u z u_z u z
中文
给定上述密度和两个速度分量，求满足连续性方程的最一般 u z u_z u z
答案与讲解 一般连续性方程：
∂ ρ ∂ t + ∂ ( ρ u x ) ∂ x + ∂ ( ρ u y ) ∂ y + ∂ ( ρ u z ) ∂ z = 0. \frac{\partial\rho}{\partial t}
+
\frac{\partial(\rho u_x)}{\partial x}
+
\frac{\partial(\rho u_y)}{\partial y}
+
\frac{\partial(\rho u_z)}{\partial z}=0. ∂ t ∂ ρ + ∂ x ∂ ( ρ u x ) + ∂ y ∂ ( ρ u y ) + ∂ z ∂ ( ρ u z ) = 0. 前三项为
1 + 0 + 3 x . 1+0+3x. 1 + 0 + 3 x . 因此
∂ ( ρ u z ) ∂ z = − ( 1 + 3 x ) . \frac{\partial(\rho u_z)}{\partial z}=-(1+3x). ∂ z ∂ ( ρ u z ) = − ( 1 + 3 x ) . 积分：
ρ u z = − ( 1 + 3 x ) z + f ( x , y ) . \rho u_z=-(1+3x)z+f(x,y). ρ u z = − ( 1 + 3 x ) z + f ( x , y ) . u z = − ( 1 + 3 x ) z t + f ( x , y ) t \boxed{
u_z=-\frac{(1+3x)z}{t}+\frac{f(x,y)}{t}} u z = − t ( 1 + 3 x ) z + t f ( x , y ) 其中 f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) z z z
B-5 教材 4-3 至 4-5——加速度与角速度｜Acceleration and angular velocity# 【教材习题 4-3～4-5】
English
For the steady velocity field
u x = x y 2 , u y = − 1 3 y 3 , u z = x y , u_x=xy^2,\qquad
u_y=-\frac13y^3,\qquad
u_z=xy, u x = x y 2 , u y = − 3 1 y 3 , u z = x y ,
determine whether the flow is uniform;
find the acceleration at ( 1 , 2 , 3 ) (1,2,3) ( 1 , 2 , 3 )
find the angular velocity at ( 1 , 2 , 3 ) (1,2,3) ( 1 , 2 , 3 )
中文
对上述恒定速度场：判断是否均匀；求点 ( 1 , 2 , 3 ) (1,2,3) ( 1 , 2 , 3 )
答案与讲解 1. 均匀性# 只要迁移加速度存在，流动就不是均匀流。下面计算可见加速度不为零，因此为非均匀流。
2. 加速度# 流动恒定，所以当地加速度为零。
在 ( 1 , 2 , 3 ) (1,2,3) ( 1 , 2 , 3 )
u x = 4 , u y = − 8 3 , u z = 2. u_x=4,\qquad u_y=-\frac83,\qquad u_z=2. u x = 4 , u y = − 3 8 , u z = 2. 计算得到
a = ( 16 3 , 32 3 , 16 3 ) \boxed{
\mathbf{a}
=
\left(\frac{16}{3},\frac{32}{3},\frac{16}{3}\right)} a = ( 3 16 , 3 32 , 3 16 ) 例如
a x = u x ( y 2 ) + u y ( 2 x y ) + u z ( 0 ) = 4 ⋅ 4 − 8 3 ⋅ 4 = 16 3 . a_x
=u_x(y^2)+u_y(2xy)+u_z(0)
=4\cdot4-\frac83\cdot4
=\frac{16}{3}. a x = u x ( y 2 ) + u y ( 2 x y ) + u z ( 0 ) = 4 ⋅ 4 − 3 8 ⋅ 4 = 3 16 . 其余分量同理。
3. 角速度# ω x = 1 2 ( ∂ u z ∂ y − ∂ u y ∂ z ) = x 2 , \omega_x
=\frac12\left(\frac{\partial u_z}{\partial y}-\frac{\partial u_y}{\partial z}\right)
=\frac{x}{2}, ω x = 2 1 ( ∂ y ∂ u z − ∂ z ∂ u y ) = 2 x , ω y = 1 2 ( ∂ u x ∂ z − ∂ u z ∂ x ) = − y 2 , \omega_y
=\frac12\left(\frac{\partial u_x}{\partial z}-\frac{\partial u_z}{\partial x}\right)
=-\frac{y}{2}, ω y = 2 1 ( ∂ z ∂ u x − ∂ x ∂ u z ) = − 2 y , ω z = 1 2 ( ∂ u y ∂ x − ∂ u x ∂ y ) = − x y . \omega_z
=\frac12\left(\frac{\partial u_y}{\partial x}-\frac{\partial u_x}{\partial y}\right)
=-xy. ω z = 2 1 ( ∂ x ∂ u y − ∂ y ∂ u x ) = − x y . 代入 ( 1 , 2 , 3 ) (1,2,3) ( 1 , 2 , 3 )
ω = ( 1 2 , − 1 , − 2 ) \boxed{\boldsymbol{\omega}=\left(\frac12,-1,-2\right)} ω = ( 2 1 , − 1 , − 2 ) 角速度不为零，所以
The flow is rotational. \boxed{\text{The flow is rotational.}} The flow is rotational. 【历年卷原题】
English
A two-dimensional uniform flow has speed U U U α \alpha α x x x φ \varphi φ ψ \psi ψ
中文
二维均匀直线流的速度大小为 U U U x x x α \alpha α
答案与讲解 速度分量：
u x = U cos α , u y = U sin α . u_x=U\cos\alpha,\qquad u_y=U\sin\alpha. u x = U cos α , u y = U sin α . 势函数# φ x = U cos α , φ y = U sin α . \varphi_x=U\cos\alpha,
\qquad
\varphi_y=U\sin\alpha. φ x = U cos α , φ y = U sin α . 所以
φ = U ( x cos α + y sin α ) + C 1 \boxed{
\varphi=U(x\cos\alpha+y\sin\alpha)+C_1} φ = U ( x cos α + y sin α ) + C 1 流函数# ψ y = u x = U cos α , − ψ x = u y = U sin α . \psi_y=u_x=U\cos\alpha,
\qquad
-\psi_x=u_y=U\sin\alpha. ψ y = u x = U cos α , − ψ x = u y = U sin α . 所以
ψ = U ( y cos α − x sin α ) + C 2 \boxed{
\psi=U(y\cos\alpha-x\sin\alpha)+C_2} ψ = U ( y cos α − x sin α ) + C 2
ψ = C \psi=C ψ = C φ = C \varphi=C φ = C 若等间隔取值，构成旋转了 α \alpha α
B-7 教材 4-9——由流函数求势函数｜From stream function to potential# 【教材习题 4-9】
English
Given
ψ = 2 ( x 2 − y 2 ) , \psi=2(x^2-y^2), ψ = 2 ( x 2 − y 2 ) , find the velocity field and the velocity potential φ \varphi φ
中文
已知流函数 ψ = 2 ( x 2 − y 2 ) \psi=2(x^2-y^2) ψ = 2 ( x 2 − y 2 )
答案与讲解 由流函数定义：
u x = ψ y = − 4 y , u y = − ψ x = − 4 x . u_x=\psi_y=-4y,
\qquad
u_y=-\psi_x=-4x. u x = ψ y = − 4 y , u y = − ψ x = − 4 x . 无旋性：
∂ u y ∂ x − ∂ u x ∂ y = − 4 − ( − 4 ) = 0. \frac{\partial u_y}{\partial x}
-
\frac{\partial u_x}{\partial y}
=-4-(-4)=0. ∂ x ∂ u y − ∂ y ∂ u x = − 4 − ( − 4 ) = 0. 所以势函数存在。
由 φ x = u x = − 4 y \varphi_x=u_x=-4y φ x = u x = − 4 y
φ = − 4 x y + f ( y ) . \varphi=-4xy+f(y). φ = − 4 x y + f ( y ) . 再由 φ y = u y = − 4 x \varphi_y=u_y=-4x φ y = u y = − 4 x f ′ ( y ) = 0 f'(y)=0 f ′ ( y ) = 0
φ = − 4 x y + C \boxed{\varphi=-4xy+C} φ = − 4 x y + C B-8 教材 4-10、4-11——由势函数求流函数与速度｜From potential to stream function# 【教材习题 4-10、4-11】
English
The velocity potential is
φ = y + x 2 − y 2 . \varphi=y+x^2-y^2. φ = y + x 2 − y 2 .
Find the velocity field and stream function.
For another flow with φ = x ( 2 y − 1 ) \varphi=x(2y-1) φ = x ( 2 y − 1 ) ( u x , u y ) (u_x,u_y) ( u x , u y ) ( 4 , 5 ) (4,5) ( 4 , 5 )
中文
已知势函数 φ = y + x 2 − y 2 \varphi=y+x^2-y^2 φ = y + x 2 − y 2 φ = x ( 2 y − 1 ) \varphi=x(2y-1) φ = x ( 2 y − 1 ) ( 4 , 5 ) (4,5) ( 4 , 5 )
答案与讲解 1. 第一流动# u x = φ x = 2 x , u y = φ y = 1 − 2 y . u_x=\varphi_x=2x,
\qquad
u_y=\varphi_y=1-2y. u x = φ x = 2 x , u y = φ y = 1 − 2 y . 由 ψ y = u x = 2 x \psi_y=u_x=2x ψ y = u x = 2 x
ψ = 2 x y + f ( x ) . \psi=2xy+f(x). ψ = 2 x y + f ( x ) . 由 − ψ x = u y = 1 − 2 y -\psi_x=u_y=1-2y − ψ x = u y = 1 − 2 y
− ( 2 y + f ′ ( x ) ) = 1 − 2 y ⇒ f ′ ( x ) = − 1. -(2y+f'(x))=1-2y
\quad\Rightarrow\quad
f'(x)=-1. − ( 2 y + f ′ ( x )) = 1 − 2 y ⇒ f ′ ( x ) = − 1. 所以
ψ = 2 x y − x + C \boxed{\psi=2xy-x+C} ψ = 2 x y − x + C 2. 第二流动# u x = ∂ φ ∂ x = 2 y − 1 , u y = ∂ φ ∂ y = 2 x . u_x=\frac{\partial\varphi}{\partial x}=2y-1,
\qquad
u_y=\frac{\partial\varphi}{\partial y}=2x. u x = ∂ x ∂ φ = 2 y − 1 , u y = ∂ y ∂ φ = 2 x . 在 ( 4 , 5 ) (4,5) ( 4 , 5 )
u x = 9 , u y = 8 \boxed{u_x=9,\qquad u_y=8} u x = 9 , u y = 8 B-9 自由涡流网｜Free-vortex flow net# 【教材例题改编】
English
For
u x = − C y x 2 + y 2 , u y = C x x 2 + y 2 , C > 0 , u_x=-\frac{Cy}{x^2+y^2},\qquad
u_y=\frac{Cx}{x^2+y^2},\qquad C>0, u x = − x 2 + y 2 C y , u y = x 2 + y 2 C x , C > 0 , find φ \varphi φ ψ \psi ψ
中文
对上述二维环流速度场，求极坐标下势函数和流函数，并说明流网形状。
答案与讲解 转为极坐标：
u r = 0 , u θ = C r . u_r=0,
\qquad
u_\theta=\frac{C}{r}. u r = 0 , u θ = r C . 势函数# u r = φ r = 0 , u θ = 1 r φ θ = C r . u_r=\varphi_r=0,
\qquad
u_\theta=\frac1r\varphi_\theta=\frac{C}{r}. u r = φ r = 0 , u θ = r 1 φ θ = r C . 所以
φ = C θ + C 1 \boxed{\varphi=C\theta+C_1} φ = Cθ + C 1 流函数# u θ = − ψ r = C r . u_\theta=-\psi_r=\frac{C}{r}. u θ = − ψ r = r C . 所以
ψ = − C ln r + C 2 \boxed{\psi=-C\ln r+C_2} ψ = − C ln r + C 2
ψ = C \psi=C ψ = C r = const r=\text{const} r = const φ = C \varphi=C φ = C θ = const \theta=\text{const} θ = const 两族曲线正交。
注意 φ = C θ \varphi=C\theta φ = Cθ 2 π C 2\pi C 2 π C
B-10 点源流的压强｜Pressure in a point-source flow# 【综合变式】
English
A two-dimensional point source has discharge per unit width Q Q Q ρ \rho ρ p ∞ p_\infty p ∞ u ( r ) u(r) u ( r ) p ( r ) p(r) p ( r )
中文
二维点源的单位宽度流量为 Q Q Q ρ \rho ρ p ∞ p_\infty p ∞
答案与讲解 由圆周流量：
Q = u r ( 2 π r ) . Q=u_r(2\pi r). Q = u r ( 2 π r ) . 所以
u r = Q 2 π r \boxed{u_r=\frac{Q}{2\pi r}} u r = 2 π r Q 同一势流区域内应用 Bernoulli equation，忽略高程差：
p ρ + u 2 2 = p ∞ ρ . \frac{p}{\rho}+\frac{u^2}{2}
=
\frac{p_\infty}{\rho}. ρ p + 2 u 2 = ρ p ∞ . 代入速度：
p ( r ) = p ∞ − ρ Q 2 8 π 2 r 2 \boxed{
p(r)=p_\infty-\frac{\rho Q^2}{8\pi^2r^2}} p ( r ) = p ∞ − 8 π 2 r 2 ρ Q 2 r r r r = 0 r=0 r = 0
【课堂例题/教材改编】
English
A uniform flow of speed U U U x x x Q > 0 Q>0 Q > 0
the velocity potential and stream function;
the stagnation point;
the stream-function value of the dividing streamline through the stagnation point.
中文
沿 + x +x + x U U U Q > 0 Q>0 Q > 0
答案与讲解 1. 势函数与流函数# φ = U x + Q 2 π ln r \boxed{
\varphi=Ux+\frac{Q}{2\pi}\ln r} φ = Ux + 2 π Q ln r ψ = U y + Q 2 π θ \boxed{
\psi=Uy+\frac{Q}{2\pi}\theta} ψ = U y + 2 π Q θ 2. 停滞点# 极坐标速度：
u r = U cos θ + Q 2 π r , u θ = − U sin θ . u_r=U\cos\theta+\frac{Q}{2\pi r},
\qquad
u_\theta=-U\sin\theta. u r = U cos θ + 2 π r Q , u θ = − U sin θ . 令两者为零：
sin θ = 0. \sin\theta=0. sin θ = 0. θ = 0 \theta=0 θ = 0 u r > 0 u_r>0 u r > 0 θ = π \theta=\pi θ = π
− U + Q 2 π r = 0. -U+\frac{Q}{2\pi r}=0. − U + 2 π r Q = 0. 所以
r A = Q 2 π U , θ A = π \boxed{
r_A=\frac{Q}{2\pi U},\qquad \theta_A=\pi} r A = 2 π U Q , θ A = π 或
( x A , y A ) = ( − Q 2 π U , 0 ) \boxed{
(x_A,y_A)=\left(-\frac{Q}{2\pi U},0\right)} ( x A , y A ) = ( − 2 π U Q , 0 ) 3. 分界流线# 在停滞点 y = 0 , θ = π y=0,\theta=\pi y = 0 , θ = π
ψ A = U ( 0 ) + Q 2 π π . \psi_A=U(0)+\frac{Q}{2\pi}\pi. ψ A = U ( 0 ) + 2 π Q π . ψ A = Q 2 \boxed{\psi_A=\frac{Q}{2}} ψ A = 2 Q 分界流线方程可写为
U y + Q 2 π θ = Q 2 . Uy+\frac{Q}{2\pi}\theta=\frac{Q}{2}. U y + 2 π Q θ = 2 Q . B-12 流网估算速度与压强｜Estimate velocity and pressure from a flow net# 【综合变式】
English
In a two-dimensional incompressible potential flow, adjacent streamlines have the same increment Δ ψ = 0.020 m 2 / s \Delta\psi=0.020\ \mathrm{m^2/s} Δ ψ = 0.020 m 2 /s Δ n A = 0.010 m \Delta n_A=0.010\ \mathrm{m} Δ n A = 0.010 m Δ n B = 0.025 m \Delta n_B=0.025\ \mathrm{m} Δ n B = 0.025 m 1000 k g / m 3 1000\ \mathrm{kg/m^3} 1000 kg/ m 3 p A = 80 k P a p_A=80\ \mathrm{kPa} p A = 80 kPa u A u_A u A u B u_B u B p B p_B p B
中文
二维不可压缩势流中，相邻流线的流函数差均为 0.020 m 2 / s 0.020\ \mathrm{m^2/s} 0.020 m 2 /s 0.010 m 0.010\ \mathrm{m} 0.010 m 0.025 m 0.025\ \mathrm{m} 0.025 m 1000 k g / m 3 1000\ \mathrm{kg/m^3} 1000 kg/ m 3 p A = 80 k P a p_A=80\ \mathrm{kPa} p A = 80 kPa u A , u B , p B u_A,u_B,p_B u A , u B , p B
答案与讲解 由
u ≈ Δ ψ Δ n u\approx\frac{\Delta\psi}{\Delta n} u ≈ Δ n Δ ψ 得
u A = 0.020 0.010 = 2.0 m / s \boxed{u_A=\frac{0.020}{0.010}=2.0\ \mathrm{m/s}} u A = 0.010 0.020 = 2.0 m/s u B = 0.020 0.025 = 0.8 m / s \boxed{u_B=\frac{0.020}{0.025}=0.8\ \mathrm{m/s}} u B = 0.025 0.020 = 0.8 m/s 两点等高，Bernoulli equation：
p A ρ + u A 2 2 = p B ρ + u B 2 2 . \frac{p_A}{\rho}+\frac{u_A^2}{2}
=
\frac{p_B}{\rho}+\frac{u_B^2}{2}. ρ p A + 2 u A 2 = ρ p B + 2 u B 2 . 所以
p B = p A + ρ 2 ( u A 2 − u B 2 ) . p_B=p_A+\frac{\rho}{2}(u_A^2-u_B^2). p B = p A + 2 ρ ( u A 2 − u B 2 ) . p B = 80 × 10 3 + 1000 2 ( 4 − 0.64 ) = 81680 P a . p_B
=80\times10^3
+\frac{1000}{2}(4-0.64)
=81680\ \mathrm{Pa}. p B = 80 × 1 0 3 + 2 1000 ( 4 − 0.64 ) = 81680 Pa . p B = 81.68 k P a \boxed{p_B=81.68\ \mathrm{kPa}} p B = 81.68 kPa B 点流线较疏，速度较低，压强较高。
练习题结论速览#
判断恒定 / 均匀：分别查看 ∂ u / ∂ t \partial\mathbf{u}/\partial t ∂ u / ∂ t ( u ⋅ ∇ ) u (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} ( u ⋅ ∇ ) u
判断不可压缩：计算 ∇ ⋅ u \nabla\cdot\mathbf{u} ∇ ⋅ u
判断无旋：计算 ∇ × u \nabla\times\mathbf{u} ∇ × u
求流线：固定 t t t d x / u x = d y / u y = d z / u z dx/u_x=dy/u_y=dz/u_z d x / u x = d y / u y = d z / u z
求迹线：解 d x / d t = u x dx/dt=u_x d x / d t = u x d y / d t = u y dy/dt=u_y d y / d t = u y d z / d t = u z dz/dt=u_z d z / d t = u z
求 φ \varphi φ φ x = u x \varphi_x=u_x φ x = u x φ y = u y \varphi_y=u_y φ y = u y
求 ψ \psi ψ ψ y = u x \psi_y=u_x ψ y = u x ψ x = − u y \psi_x=-u_y ψ x = − u y
流网速度：u ≈ Δ ψ / Δ n u\approx\Delta\psi/\Delta n u ≈ Δ ψ /Δ n
理想势流压强：速度大处压强通常低，但必须在 Bernoulli 适用条件下判断。
