概述#

这一节课继续第三章 海水运动方程。整堂课的主线可以压缩成一句话：

先用质量守恒得到连续性方程，再用牛顿第二定律得到动量方程，随后逐一拆解海水微团实际会受到的各种力，最后把地球自转带来的科氏效应引入旋转坐标系。

本节最重要的逻辑链条是：

\text{随体导数} \longrightarrow \text{质量守恒} \longrightarrow \text{连续性方程} \longrightarrow \text{牛顿第二定律} \longrightarrow \text{动量方程} \longrightarrow \text{各种外力} \longrightarrow \text{旋转地球上的运动方程}

NOTE
课堂安排说明：录音中出现了一次课堂点名，但老师没有说明其与平时分的具体关系；本次课没有听到新的作业、测试或考试要求。

目录#

概述
一、预备数学知识
二、随体导数 Material Derivative
- 1. 为什么要引入随体导数
- 2. 当地导数与迁移导数
三、连续性方程：质量守恒
四、动量方程：从牛顿第二定律出发
五、作用在海水微团上的外力
六、旋转坐标系与科氏力
七、本节公式总表
八、整节课的逻辑串联

一、预备数学知识#

第三章中很多式子都由三个微分算子反复组合而来：梯度、散度、旋度。理解它们的物理意义，比单纯记公式更重要。

1. 梯度 Gradient#

对于标量场 $\phi(x,y,z)$ ：

\nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right)

梯度是一个向量：

方向：标量增加最快的方向；
大小：沿这个方向单位距离上的最大变化率。

例如温度场 $T(x,y,z)$ 中， $\nabla T$ 指向温度升高最快的方向。

因此后面出现

-\nabla p

时，负号立刻告诉我们：压强梯度力指向压强降低最快的方向。

2. 散度 Divergence#

对于速度场

\mathbf{u}=(u,v,w)

其散度为

\nabla\cdot\mathbf{u} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}

散度是一个标量，衡量一个小体积附近的净“发散”程度：

$\nabla\cdot\mathbf{u}>0$ ：整体向外流出，局部体积趋向膨胀；
$\nabla\cdot\mathbf{u}<0$ ：整体向内汇聚，局部体积趋向压缩；
$\nabla\cdot\mathbf{u}=0$ ：流入与流出在体积意义上平衡。

连续性方程最后出现 $\nabla\cdot\mathbf{u}=0$ ，其物理含义正来自这里。

3. 旋度 Curl#

速度场的旋度为

\nabla\times\mathbf{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ u & v & w \end{vmatrix}

旋度是一个向量，用来刻画局地流体微团的旋转程度。

方向：由右手定则决定旋转轴方向；
大小：反映局部旋转强弱。

4. 高斯散度定理#

高斯定理把闭合曲面上的通量与内部体积中的散度联系起来：

\oiint_A \mathbf{a}\cdot d\mathbf{A} = \iiint_V \nabla\cdot\mathbf{a}\,dV

高斯散度定理示意图

这条公式在本节出现两次关键用途：

连续性方程中，把穿过控制体边界的质量通量面积分转成体积分；
动量方程中，把表面应力的面积分转成体积分。

直观上可以记成：

边界上一共“流出去多少” = 体积内部一共“发散出多少”。

5. 斯托克斯定理#

课件还回顾了斯托克斯定理：

\oint_C \mathbf{u}\cdot d\mathbf{s} = \iint_A (\nabla\times\mathbf{u})\cdot d\mathbf{A}

它把闭合曲线上的环流与曲面上的旋度通量联系起来。后面学习涡度、环流时会更频繁地使用。

二、随体导数 Material Derivative#

1. 为什么要引入随体导数#

在流体中，一个物理量

\phi=\phi(x,y,z,t)

同时依赖：

时间 $t$ ；
空间位置 $(x,y,z)$ 。

如果我们站在岸边固定位置测温度，只需要问“这个固定点的温度随时间怎样变”；如果我们跟着一团水一起走，还必须考虑水团被带到别的位置后，所处环境本身发生了变化。

因此，跟随流体质点时观测到的真实变化率为：

\boxed{ \frac{D\phi}{Dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t} +u\frac{\partial \phi}{\partial x} +v\frac{\partial \phi}{\partial y} +w\frac{\partial \phi}{\partial z} }

矢量形式：

\boxed{ \frac{D\phi}{Dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t} +(\mathbf{u}\cdot\nabla)\phi }

随体导数：当地变化与迁移变化

2. 当地导数与迁移导数#

随体导数包含两部分：

当地导数 local derivative#

\frac{\partial \phi}{\partial t}

表示：固定在同一个空间点，该物理量随时间发生的变化。

例如固定一个温度探头，记录该位置水温从 20 ℃ 降到 19 ℃。

迁移导数 / 对流导数 advective derivative#

(\mathbf{u}\cdot\nabla)\phi = u\frac{\partial \phi}{\partial x} +v\frac{\partial \phi}{\partial y} +w\frac{\partial \phi}{\partial z}

表示：流体质点运动到不同空间位置后，因为空间分布不均匀而感受到的变化。

老师举的直观例子是：水团从高温上游流向低温下游，即使整个温度场本身不随时间变化，跟着水团走仍会感到温度下降。

TIP
判断题里最容易混淆的一点：

$\partial/\partial t$ ：固定空间位置看变化；

$D/Dt$ ：跟着流体质点看变化；

两者之差就是流动搬运造成的迁移项。

三、连续性方程：质量守恒#

连续性方程的物理基础只有一句话：

质量守恒。

老师分别从 拉格朗日观点 和 欧拉观点 推导，最后得到同一个局地方程。

1. 拉格朗日观点推导#

Step 1：跟随同一团流体#

取一团确定的流体质点，其边界随流体一起运动、变形。虽然形状会变，但其中包含的质点集合不变，因此总质量保持常数：

\boxed{ \frac{Dm}{Dt}=0 }

总质量写成：

m=\iiint_{V(t)}\rho\,dV

于是

\frac{D}{Dt}\iiint_{V(t)}\rho\,dV=0

Step 2：理解微小体积为什么会出现散度#

对一个很小的流体微团：

dm=\rho\,dV

对时间求随体导数：

\frac{D(dm)}{Dt} = \frac{D\rho}{Dt}dV + \rho\frac{D(dV)}{Dt}

关键在于第二项。若小体积是

dV=dx\,dy\,dz

在 $x$ 方向，左右两侧速度不同会使长度发生变化：

\frac{1}{dx}\frac{D(dx)}{Dt} \approx \frac{\partial u}{\partial x}

同理：

\frac{1}{dy}\frac{D(dy)}{Dt} \approx \frac{\partial v}{\partial y}

\frac{1}{dz}\frac{D(dz)}{Dt} \approx \frac{\partial w}{\partial z}

因此体积相对变化率为

\frac{1}{dV}\frac{D(dV)}{Dt} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = \nabla\cdot\mathbf{u}

即

\boxed{ \frac{D(dV)}{Dt} =(\nabla\cdot\mathbf{u})dV }

这一步正好解释了为什么散度能够表示微团的体积膨胀率。

Step 3：代回质量守恒#

于是

0 = \frac{Dm}{Dt} = \iiint_{V(t)} \left[ \frac{D\rho}{Dt} + \rho\nabla\cdot\mathbf{u} \right]dV

对任意流体体积 $V(t)$ 都成立，因此积分中的被积函数必须为零：

\boxed{ \frac{D\rho}{Dt} + \rho\nabla\cdot\mathbf{u} =0 }

再把随体导数展开：

\frac{D\rho}{Dt} = \frac{\partial\rho}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla\rho

得到

\frac{\partial\rho}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla\rho + \rho\nabla\cdot\mathbf{u} =0

利用乘积恒等式

\nabla\cdot(\rho\mathbf{u}) = \mathbf{u}\cdot\nabla\rho + \rho\nabla\cdot\mathbf{u}

最终得到：

\boxed{ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf{u})=0 }

2. 欧拉观点推导#

欧拉观点固定一个空间控制体 $V$ ，边界 $A$ 不随流体移动。

控制体内部的质量为

M=\iiint_V\rho\,dV

固定控制体中，质量变化率等于流入的净质量通量。若 $d\mathbf A$ 取外法向， $\rho\mathbf u\cdot d\mathbf A$ 表示向外流出的质量通量，因此：

\iiint_V\frac{\partial\rho}{\partial t}dV = -\oiint_A \rho\mathbf u\cdot d\mathbf A

利用高斯散度定理：

\oiint_A \rho\mathbf u\cdot d\mathbf A = \iiint_V\nabla\cdot(\rho\mathbf u)dV

所以

\iiint_V \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf u) \right]dV =0

由于控制体任意：

\boxed{ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf u)=0 }

欧拉观点下的连续性方程推导

两种观点最终得到完全相同的质量守恒方程。

3. 连续性方程的几种等价形式#

最常见形式：

\boxed{ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf u)=0 }

展开乘积：

\frac{\partial\rho}{\partial t} + \mathbf u\cdot\nabla\rho + \rho\nabla\cdot\mathbf u=0

识别随体导数：

\boxed{ \frac{D\rho}{Dt} + \rho\nabla\cdot\mathbf u=0 }

再除以 $\rho$ ：

\boxed{ \frac{1}{\rho}\frac{D\rho}{Dt} + \nabla\cdot\mathbf u=0 }

每个形式表达的都是同一个事实：密度变化与体积膨胀/收缩必须彼此配合，才能保证质量守恒。

4. 不可压缩流体#

老师指出，对海洋问题经常采用不可压缩近似：

\frac{D\rho}{Dt}=0

代入连续性方程：

\boxed{ \nabla\cdot\mathbf u=0 }

即

\boxed{ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}=0 }

物理意义：一个小海水微团若在某些方向被拉长，就必须在其他方向相应收缩，使体积保持不变。

WARNING
$\nabla\cdot\mathbf u=0$ 描述的是体积不发生净膨胀或压缩。它并不要求三个速度分量分别为常数，也不要求流体静止。

四、动量方程：从牛顿第二定律出发#

上一部分解决“质量怎么守恒”，这一部分解决“海水为什么会加速”。

出发点就是牛顿第二定律的动量形式：

\boxed{ \frac{D\mathbf P}{Dt}=\sum\mathbf F }

其中 $\mathbf P$ 是系统总动量。

1. 系统动量#

速度记为 $\mathbf u$ ，则单位体积中的动量为 $\rho\mathbf u$ ，整个流体系统的总动量为：

\boxed{ \mathbf P = \iiint_{V(t)}\rho\mathbf u\,dV }

2. 动量变化率#

课堂这里使用了“莱布尼兹定理”处理随时间移动、变形的积分区域。它给出：

\frac{D}{Dt} \iiint_{V(t)}\rho\mathbf u\,dV = \iiint_V \frac{\partial(\rho\mathbf u)}{\partial t}dV + \oiint_A \rho\mathbf u(\mathbf u\cdot d\mathbf A)

第二项是动量随流体穿过边界产生的通量。

再使用高斯定理：

\oiint_A \rho\mathbf u(\mathbf u\cdot d\mathbf A) = \iiint_V \nabla\cdot(\rho\mathbf u\mathbf u)dV

因此：

\boxed{ \frac{D\mathbf P}{Dt} = \iiint_V \left[ \frac{\partial(\rho\mathbf u)}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf u\mathbf u) \right]dV }

这里 $\rho\mathbf u\mathbf u$ 可以先理解为“动量通量”， $\nabla\cdot(\rho\mathbf u\mathbf u)$ 表示由于流动搬运造成的动量净变化。

3. 外力：体积力与表面力#

老师先用两类最典型的力搭出方程骨架。

体积力#

体积力作用于微团内部所有质量，与微团的质量或体积成比例。

以重力为例：

\mathbf G = \iiint_V\rho\mathbf g\,dV

表面力#

表面力通过流体微团边界作用，与作用面积相关。用应力/牵引力 $\boldsymbol\tau$ 表示：

\mathbf P_s = \oiint_A \boldsymbol\tau\cdot d\mathbf A

再用高斯定理：

\mathbf P_s = \iiint_V\nabla\cdot\boldsymbol\tau\,dV

代入牛顿第二定律：

\iiint_V \left[ \frac{\partial(\rho\mathbf u)}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf u\mathbf u) - \rho\mathbf g - \nabla\cdot\boldsymbol\tau \right]dV=0

4. 利用连续性方程化简#

这是本节动量方程推导中最值得掌握的一步。

先展开第一项：

\frac{\partial(\rho\mathbf u)}{\partial t} = \rho\frac{\partial\mathbf u}{\partial t} + \mathbf u\frac{\partial\rho}{\partial t}

再展开动量通量项：

\nabla\cdot(\rho\mathbf u\mathbf u) = \rho(\mathbf u\cdot\nabla)\mathbf u + \mathbf u\,\nabla\cdot(\rho\mathbf u)

两式相加：

\begin{aligned} &\frac{\partial(\rho\mathbf u)}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\mathbf u\mathbf u)\\ =&\rho\frac{\partial\mathbf u}{\partial t} +\rho(\mathbf u\cdot\nabla)\mathbf u +\mathbf u \left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\mathbf u) \right] \end{aligned}

方括号内正好就是连续性方程：

\frac{\partial\rho}{\partial t} +\nabla\cdot(\rho\mathbf u)=0

所以这一整项消失，留下：

\rho \left[ \frac{\partial\mathbf u}{\partial t} +(\mathbf u\cdot\nabla)\mathbf u \right]

括号内正是速度的随体导数：

\frac{D\mathbf u}{Dt} = \frac{\partial\mathbf u}{\partial t} +(\mathbf u\cdot\nabla)\mathbf u

最终得到课堂上的简化动量方程：

\boxed{ \rho\frac{D\mathbf u}{Dt} = \rho\mathbf g + \nabla\cdot\boldsymbol\tau }

利用连续性方程化简动量方程

它的物理意义非常直接：

\underbrace{\rho\frac{D\mathbf u}{Dt}}_{\text{质量密度}\times\text{加速度}} = \underbrace{\rho\mathbf g+\nabla\cdot\boldsymbol\tau}_{\text{单位体积所受合力}}

NOTE
老师特别强调：上式此时仍是一个“骨架形式”。真实海洋中的合力还包括压强梯度力、摩擦力、引潮力以及旋转坐标系中的惯性力等，下面逐一展开。

五、作用在海水微团上的外力#

按照课堂分类，可以先记成三组：

体积力：重力、引潮力等；
表面力：压强梯度力、摩擦力/切应力；
旋转坐标系中的虚拟惯性力：惯性离心力、科氏力。

1. 压强梯度力#

定义#

压强梯度力是海水微团各个表面所受压力不均匀后形成的合力。

课堂从一个中心位于 $(x,y,z)$ 的小长方体出发，边长分别为

\Delta x,\quad \Delta y,\quad \Delta z

先只看 $x$ 方向。

Step 1：左、右表面的压强#

左侧表面位于

x-\frac{\Delta x}{2}

一阶展开：

p_L \approx p- \frac{\partial p}{\partial x} \frac{\Delta x}{2}

右侧表面：

p_R \approx p+ \frac{\partial p}{\partial x} \frac{\Delta x}{2}

Step 2：把压强乘面积得到压力#

左右表面面积均为

\Delta y\Delta z

取 $+x$ 为正：

F_{L,x} = p_L\Delta y\Delta z

右侧压力朝 $-x$ ：

F_{R,x} = -p_R\Delta y\Delta z

所以合力

\begin{aligned} F_x &=(p_L-p_R)\Delta y\Delta z\\ &=-\frac{\partial p}{\partial x} \Delta x\Delta y\Delta z \end{aligned}

即

F_x=-\frac{\partial p}{\partial x}\Delta V

同理：

F_y=-\frac{\partial p}{\partial y}\Delta V

F_z=-\frac{\partial p}{\partial z}\Delta V

因此整个微团所受压强合力为：

\boxed{ \mathbf F_p=-\nabla p\,\Delta V }

除以微团质量 $\rho\Delta V$ ，得到单位质量海水的压强梯度力：

\boxed{ \mathbf f_p =-\frac{1}{\rho}\nabla p }

压强梯度力的微团推导

物理意义#

$\nabla p$ 指向压强增加最快的方向；
$-\nabla p$ 指向压强减小最快的方向；
因此压强梯度力总是从高压一侧推向低压一侧；
若某方向两侧压力完全相等，该方向没有压强梯度力。

老师强调：压强梯度力是推动海水运动最根本的动力之一。

2. 分子黏性力与切应力#

当相邻两层流体存在相对运动时，分子黏滞性会引起动量交换，形成沿界面切向的作用力。

牛顿型黏性关系写成：

\boxed{ \boldsymbol\tau = \mu\frac{d\mathbf u}{dn} }

其中：

$n$ ：界面法向；
$\mu$ ：动力黏性系数，单位 $\mathrm{N\cdot s\cdot m^{-2}}$ ，也就是 $\mathrm{Pa\cdot s}$ 。

分子黏性力与速度梯度

一维例子：只考虑 $u(z)$ #

若水平速度 $u$ 随 $z$ 变化：

\tau_{xz} = \mu\frac{\partial u}{\partial z}

一个很薄的微团上、下表面切应力稍有差异，因此单位体积所受合力为：

\frac{\partial\tau_{xz}}{\partial z}

单位质量上的摩擦力：

F_x = \frac{1}{\rho} \frac{\partial\tau_{xz}}{\partial z}

若 $\mu$ 近似为常数：

F_x = \frac{\mu}{\rho} \frac{\partial^2u}{\partial z^2}

定义运动黏性系数

\boxed{ \nu=\frac{\mu}{\rho} }

则

\boxed{ F_x = \nu\frac{\partial^2u}{\partial z^2} }

在三维、各向同性且 $\nu$ 为常数时可写成：

\boxed{ \mathbf F_{\nu} = \nu\nabla^2\mathbf u }

课堂给出的海水运动黏性系数量级示例：

\nu(0^\circ\mathrm C) \approx1.787\times10^{-6}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}

\nu(20^\circ\mathrm C) \approx1.004\times10^{-6}\ \mathrm{m^2\,s^{-1}}

老师据此指出：温度升高时，水的运动黏性系数会减小。

在海洋中的意义#

分子黏性系数很小，因此在大洋大尺度运动内部通常影响较弱；课堂重点提到上边界和底边界附近的摩擦作用更明显。

3. 湍流摩擦力与涡黏性系数#

真实海洋内部大量运动处于湍流状态。湍流中存在许多大小不同的涡团，它们在不同流速水层之间来回运动并交换动量。

为了在平均意义上表示这种动量输运，课堂类比牛顿黏性定律，引入 涡黏性系数 $A$ ：

\boxed{ \frac{\boldsymbol\tau}{\rho} = A\frac{d\mathbf u}{dn} }

湍流摩擦力与涡黏性参数化

以 $u(z)$ 为例：

F_x = \frac{1}{\rho}\frac{\partial\tau}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( A\frac{\partial u}{\partial z} \right)

若 $A$ 为常数：

F_x=A\frac{\partial^2u}{\partial z^2}

为什么 $A$ 很重要#

分子黏性系数可以作为流体物性直接测定；涡黏性系数描述的是湍流涡团的平均输运效果，强烈依赖具体流动状态。

老师强调了两点：

$A$ 本身带有参数化/经验性质，往往需要观测或经验关系确定；
水平和垂向的湍流混合强度差异很大，因此常分别使用

A_H,\qquad A_V

表示水平涡黏性系数与垂向涡黏性系数。

课堂口头举例提到，在较强湍流状态下，涡黏性系数可达到约 $10^{-4}\sim10^{-3}\,\mathrm{m^2/s}$ 的量级，明显大于分子运动黏性系数。

TIP
分子黏性与湍流摩擦的核心区别可以记成：

分子黏性：分子尺度的动量交换；

湍流摩擦：涡团尺度的动量交换；

数值海洋模型中，后者往往需要通过参数化闭合。

4. 重力与惯性离心力#

课堂把海洋中使用的“重力”理解为两部分的合成：

地球对海水微团的万有引力；
地球自转引起的惯性离心效应。

地球引力#

对单位质量物体，地球引力加速度可写成：

\mathbf g_{\mathrm{grav}} = -K\frac{M_E}{r^2}\frac{\mathbf r}{r}

其中：

$K$ ：万有引力常数；
$M_E$ ：地球质量；
$r$ ：到地心距离。

方向指向地心。

惯性离心效应#

地球以角速度 $\Omega$ 自转。距地轴垂直距离为 $R$ 时，旋转坐标系中的离心加速度大小为

\Omega^2R

方向背离地轴。

所以课堂中的有效重力写成：

\boxed{ \mathbf g = \mathbf g_{\mathrm{grav}} + \Omega^2\mathbf R }

其中

R=r\cos\varphi

$\varphi$ 为纬度。

地球引力与惯性离心效应合成有效重力

由于离心效应远小于地球引力，有效重力仍大体指向地心附近，但会有小幅偏离，并随纬度和高度变化。

课件给出经验表达式：

\begin{aligned} g(\varphi,z) =&\ 9.80616 -0.025928\cos 2\varphi\\ &+0.00069\cos^2 2\varphi -0.000003086z \end{aligned}

单位为 $\mathrm{m/s^2}$ 。

实际计算中老师指出常取

g\approx9.8\ \mathrm{m/s^2}

或

g\approx9.81\ \mathrm{m/s^2}

即可。

5. 引潮力#

天体引潮力主要包括：

月球引潮力；
太阳引潮力。

课堂重点用月球解释。

月球引潮力的来源#

地球与月球围绕地月公共质心运动。对地球上的一个点，存在：

月球的万有引力；
地月系统公转所对应的惯性离心效应。

老师采用的定义是：

某点的月球引潮力 = 月球作用在该点上的引力 − 月球作用在地心上的引力。

等价地，可以理解成该点月球引力与地月公转共同惯性离心项的合力。

设：

$D$ ：地心到月心距离；
$L$ ：地球表面某点 $P$ 到月心距离；
$M_M$ ：月球质量。

月球对 $P$ 点的引力为：

\mathbf K(P) = -K\frac{M_M}{L^2} rac{\mathbf L}{L}

共同惯性离心项可写成：

\mathbf N = K\frac{M_M}{D^2}\frac{\mathbf D}{D}

于是 $P$ 点的月球引潮力：

\boxed{ \mathbf F_M = K M_M \left( \frac{1}{D^2}\frac{\mathbf D}{D} - \frac{1}{L^2}\frac{\mathbf L}{L} \right) }

地球表面不同位置的月球引潮力方向

为什么地球两侧都会形成潮隆起#

近月点：月球引力比地心处更强，合引潮力指向月球；
远月点：月球引力比地心处更弱，减去地心共同加速度后，合引潮力背向月球；
与地月连线垂直的两侧，引潮力具有朝向地心的分量。

因此地球海洋会形成沿地月连线方向的两个潮隆起。

老师说明，这里只作引潮力的入门介绍，潮汐细节会在后续课程中继续展开。

6. 位势力#

如果某个力对物体所做的功只取决于起点和终点，与具体路径无关，则该力属于位势力/保守力。

它可以写成某个标量位势 $\phi$ 的负梯度：

\boxed{ \mathbf F_p=-\nabla\phi }

课堂指出：

地球引力；
惯性离心力；
有效重力；
引潮力

都可以用位势表示。

地球引力位势#

取地球表面位势为零：

\boxed{ \phi_g =-K\frac{M_E}{r}+c = K M_E \left( \frac{1}{R_0}-\frac{1}{r} \right) }

惯性离心位势#

取地轴处位势为零：

\boxed{ \phi_e=-\frac12\Omega^2R^2 }

两者相加即可构成重力位势。

月球引潮势#

课件给出：

\phi_M = -KM_M \left( \frac1L- \frac1D- \frac{r}{D^2}\cos\theta \right)

太阳引潮势形式类似：

\phi_S = -KM_S \left( \frac1{L_S}- \frac1{D_S}- \frac{r}{D_S^2}\cos\theta_S \right)

总天体引潮势：

\boxed{ \phi_T=\phi_M+\phi_S }

对应天体引潮力：

\boxed{ \mathbf F_T=-\nabla\phi_T }

月球、太阳引潮势及总引潮力

位势写法的好处在于：多个保守力可以统一转成标量位势的梯度，后续运动方程会更紧凑。

六、旋转坐标系与科氏力#

1. 惯性坐标系与地球坐标系#

惯性坐标系#

符合牛顿运动定律的参考系称为惯性参考系；固定在惯性参考系上的坐标系称为惯性坐标系。

固定在地球上的坐标系#

地球在自转，因此固定在地球上的坐标系不断旋转，是非惯性坐标系。

要在地球坐标系中继续使用牛顿第二定律，需要把旋转带来的附加惯性效应写入方程。课堂重点出现两类：

惯性离心效应；
科里奥利效应（科氏效应）。

2. 速度变换#

设：

惯性坐标系观察到的绝对速度为 $\mathbf u_a$ ；
地球旋转坐标系观察到的相对速度为 $\mathbf u$ ；
地球角速度为 $\boldsymbol\Omega$ ；
质点位置矢量为 $\mathbf R$ 。

旋转本身给质点附加速度

\mathbf u_e = \boldsymbol\Omega\times\mathbf R

因此：

\boxed{ \mathbf u_a = \mathbf u + \boldsymbol\Omega\times\mathbf R }

惯性坐标系与旋转坐标系中的速度关系

更一般地，对任意向量 $\mathbf A$ ：

\boxed{ \left(\frac{d\mathbf A}{dt}\right)_a = \left(\frac{d\mathbf A}{dt}\right)_r + \boldsymbol\Omega\times\mathbf A }

这里：

下标 $a$ ：惯性系中的绝对变化率；
下标 $r$ ：旋转系中的相对变化率。

为什么会多出 $\boldsymbol\Omega\times\mathbf A$ #

因为旋转坐标系的基向量本身也在转动。即使 $\mathbf A$ 在旋转坐标系中的三个分量暂时不变，其方向在惯性空间中仍会发生变化。

3. 加速度变换#

从速度关系

\mathbf u_a = \mathbf u+\boldsymbol\Omega\times\mathbf R

出发，对惯性系时间求导：

\left(\frac{d\mathbf u_a}{dt}\right)_a = \left(\frac{d}{dt}\right)_a \left( \mathbf u+\boldsymbol\Omega\times\mathbf R \right)

使用向量导数变换：

\left(\frac{d}{dt}\right)_a = \left(\frac{d}{dt}\right)_r + \boldsymbol\Omega\times

因此：

\begin{aligned} \mathbf a_a =&\frac{d\mathbf u}{dt} + \frac{d\boldsymbol\Omega}{dt}\times\mathbf R + \boldsymbol\Omega\times\frac{d\mathbf R}{dt}\\ &+ \boldsymbol\Omega\times\mathbf u + \boldsymbol\Omega\times (\boldsymbol\Omega\times\mathbf R) \end{aligned}

在旋转系中

\frac{d\mathbf R}{dt}=\mathbf u

所以两个相同的交叉项合并：

\boxed{ \mathbf a_a = \frac{d\mathbf u}{dt} + \frac{d\boldsymbol\Omega}{dt}\times\mathbf R + 2\boldsymbol\Omega\times\mathbf u + \boldsymbol\Omega\times (\boldsymbol\Omega\times\mathbf R) }

旋转坐标系中的加速度分解

四项依次对应：

$d\mathbf u/dt$ ：旋转坐标系中看到的相对加速度；
$d\boldsymbol\Omega/dt\times\mathbf R$ ：角速度变化产生的项；
$2\boldsymbol\Omega\times\mathbf u$ ：科氏项；
$\boldsymbol\Omega\times(\boldsymbol\Omega\times\mathbf R)$ ：旋转造成的向心项。

地球自转角速度在本课程尺度下近似恒定，因此：

\frac{d\boldsymbol\Omega}{dt}\approx0

将旋转产生的项移到牛顿第二定律的“力”一侧后，对应的两个虚拟惯性加速度为：

科氏加速度#

\boxed{ \mathbf f_C =-2\boldsymbol\Omega\times\mathbf u }

惯性离心加速度#

\boxed{ \mathbf f_{cf} =-\boldsymbol\Omega\times (\boldsymbol\Omega\times\mathbf R) }

其方向背离地轴。课堂前面已经把惯性离心效应并入有效重力 $\mathbf g$ ，因此后续重点保留科氏项。

4. 科氏力的分量形式#

采用局地直角坐标：

$x$ ：向东；
$y$ ：向北；
$z$ ：向上。

在纬度 $\varphi$ 处：

\boldsymbol\Omega = (0,\Omega\cos\varphi,\Omega\sin\varphi)

海流速度：

\mathbf u=(u,v,w)

单位质量物体所受科氏力为：

\mathbf f_C =-2\boldsymbol\Omega\times\mathbf u

展开行列式：

\boxed{ \mathbf f_C = (2\Omega w\cos\varphi-2\Omega v\sin\varphi)\mathbf i + 2\Omega u\sin\varphi\mathbf j - 2\Omega u\cos\varphi\mathbf k }

科氏力在局地坐标系中的分量与方向

科氏力的方向性质#

因为

\mathbf f_C=-2\boldsymbol\Omega\times\mathbf u

叉乘结果同时垂直于 $\boldsymbol\Omega$ 与 $\mathbf u$ 。

因此科氏力主要改变速度方向。课堂强调：

北半球中，科氏力的水平分量总是指向运动方向的右侧。

5. 海洋中的常用近似#

海洋中通常有：

|w|\ll |u|,|v|

所以 $x$ 方向科氏力中的

2\Omega w\cos\varphi

可以忽略。

同时，垂向科氏项

-2\Omega u\cos\varphi

与重力相比很小，课堂也将其忽略。

于是主要保留水平科氏项：

F_x\approx-2\Omega v\sin\varphi

F_y\approx 2\Omega u\sin\varphi

定义 科氏参数：

\boxed{ f=2\Omega\sin\varphi }

则水平科氏力可写成：

\boxed{ F_x=-fv, \qquad F_y=fu }

这说明科氏效应具有明确的纬度依赖：

赤道附近 $f\approx0$ ；
纬度越高， $|f|$ 越大。

七、本节公式总表#

内容	公式	含义
随体导数	$\displaystyle \frac{D\phi}{Dt}=\frac{\partial\phi}{\partial t}+(\mathbf u\cdot\nabla)\phi$	跟随流体质点看到的真实变化率
连续性方程	$\displaystyle \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf u)=0$	质量守恒
连续性方程随体形式	$\displaystyle \frac{D\rho}{Dt}+\rho\nabla\cdot\mathbf u=0$	密度变化与体积膨胀率联系
不可压缩条件	$\displaystyle \nabla\cdot\mathbf u=0$	微团体积不发生净膨胀/收缩
简化动量方程	$\displaystyle \rho\frac{D\mathbf u}{Dt}=\rho\mathbf g+\nabla\cdot\boldsymbol\tau$	牛顿第二定律的流体形式
压强梯度力	$\displaystyle \mathbf f_p=-\frac1\rho\nabla p$	指向低压方向
分子切应力	$\displaystyle \boldsymbol\tau=\mu\frac{d\mathbf u}{dn}$	分子黏性引起的切向应力
运动黏性系数	$\displaystyle \nu=\frac\mu\rho$	单位 $\mathrm{m^2/s}$
分子黏性力	$\displaystyle \mathbf F_\nu=\nu\nabla^2\mathbf u$	常 $\nu$ 、各向同性情况下
湍流摩擦	$\displaystyle \frac{\boldsymbol\tau}{\rho}=A\frac{d\mathbf u}{dn}$	用涡黏性系数表示湍流动量输运
有效重力	$\displaystyle \mathbf g=\mathbf g_{\rm grav}+\Omega^2\mathbf R$	地球引力与离心效应合成
位势力	$\displaystyle \mathbf F=-\nabla\phi$	保守力的统一表达
速度变换	$\displaystyle \mathbf u_a=\mathbf u+\boldsymbol\Omega\times\mathbf R$	惯性系与旋转系速度关系
向量导数变换	$\displaystyle \left(\frac{d\mathbf A}{dt}\right)_a=\left(\frac{d\mathbf A}{dt}\right)_r+\boldsymbol\Omega\times\mathbf A$	旋转基底引入附加变化
科氏力	$\displaystyle \mathbf f_C=-2\boldsymbol\Omega\times\mathbf u$	旋转坐标系中的惯性力
科氏参数	$\displaystyle f=2\Omega\sin\varphi$	科氏效应随纬度变化
水平科氏分量	$\displaystyle F_x=-fv,\;F_y=fu$	海洋大尺度运动常用形式

八、整节课的逻辑串联#

这节课最容易出现的问题，是公式很多以后失去整体结构。可以按照下面这条路线复习。

第一步：先问“跟着谁看变化？”#

固定空间点使用

\frac{\partial}{\partial t}

跟随流体质点使用

\frac{D}{Dt}

两者通过迁移项连接：

\frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf u\cdot\nabla

第二步：质量不能凭空产生或消失#

因此得到：

\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\mathbf u)=0

对不可压缩海水：

\nabla\cdot\mathbf u=0

第三步：动量改变一定来源于合力#

从

\frac{D\mathbf P}{Dt}=\sum\mathbf F

出发，经移动体积求导和高斯定理，把动量方程转成局地微分形式。

连续性方程在这里再次发挥关键作用：它恰好消去展开后多出来的密度输运项，留下

\rho\frac{D\mathbf u}{Dt}

也就是“质量密度 × 流体质点加速度”。

第四步：把海洋中的各种力一个个放进去#

本节已经整理出：

压强梯度力： $-\nabla p/\rho$ ；
分子/湍流摩擦力；
有效重力；
引潮力；
科氏力。

如果把本节已经得到的各项仅作结构性汇总，可以写成：

\frac{D\mathbf u}{Dt} = -\frac1\rho\nabla p +\mathbf g +\mathbf F_T +\mathbf F_{\rm friction} -2\boldsymbol\Omega\times\mathbf u

其中课堂已经把惯性离心效应并入 $\mathbf g$ ；摩擦项可根据分子黏性或湍流参数化采用不同表达。

TIP
复习第三章时，建议始终把运动方程理解成一句话：

左边描述海水微团怎样加速，右边逐项回答“是谁在推它”。

这样后面再加入静力近似、地转平衡、尺度分析时，每一步都会自然很多。

概述#

目录#

一、预备数学知识#

1. 梯度 Gradient#

2. 散度 Divergence#

3. 旋度 Curl#

4. 高斯散度定理#

5. 斯托克斯定理#

二、随体导数 Material Derivative#

1. 为什么要引入随体导数#

2. 当地导数与迁移导数#

当地导数 local derivative#

迁移导数 / 对流导数 advective derivative#

三、连续性方程：质量守恒#

1. 拉格朗日观点推导#

Step 1：跟随同一团流体#

Step 2：理解微小体积为什么会出现散度#

Step 3：代回质量守恒#

2. 欧拉观点推导#

3. 连续性方程的几种等价形式#

4. 不可压缩流体#

四、动量方程：从牛顿第二定律出发#

1. 系统动量#

2. 动量变化率#

3. 外力：体积力与表面力#

体积力#

表面力#

4. 利用连续性方程化简#

五、作用在海水微团上的外力#

1. 压强梯度力#

定义#

Step 1：左、右表面的压强#

Step 2：把压强乘面积得到压力#

物理意义#

2. 分子黏性力与切应力#

一维例子：只考虑 u(z)u(z)u(z)#

在海洋中的意义#

3. 湍流摩擦力与涡黏性系数#

为什么 AAA 很重要#

4. 重力与惯性离心力#

地球引力#

惯性离心效应#

5. 引潮力#

月球引潮力的来源#

为什么地球两侧都会形成潮隆起#

6. 位势力#

地球引力位势#

惯性离心位势#

月球引潮势#

六、旋转坐标系与科氏力#

1. 惯性坐标系与地球坐标系#

惯性坐标系#

固定在地球上的坐标系#

2. 速度变换#

为什么会多出 Ω×A\boldsymbol\Omega\times\mathbf AΩ×A#

3. 加速度变换#

科氏加速度#

惯性离心加速度#

4. 科氏力的分量形式#

科氏力的方向性质#

5. 海洋中的常用近似#

七、本节公式总表#

八、整节课的逻辑串联#

第一步：先问“跟着谁看变化？”#

第二步：质量不能凭空产生或消失#

第三步：动量改变一定来源于合力#

第四步：把海洋中的各种力一个个放进去#

一维例子：只考虑 $u(z)$ #

为什么 $A$ 很重要#

为什么会多出 $\boldsymbol\Omega\times\mathbf A$ #