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23 分钟
Chapter1：误差
2026-05-29
课程笔记
计算方法

概述#

这一章的核心是：

数值计算得到的通常是近似解。学习误差，就是要知道误差从哪里来、如何度量、如何传播，以及怎样设计更可靠的计算过程。

计算链条可以概括为：

实际问题  →  抽象、简化  →  数学模型  →  数值计算  →  问题近似解

在这条链条中，误差不可避免。常见来源包括：

  • 模型误差：实际问题被抽象、简化为数学模型时产生。
  • 观测误差：原始数据来自测量，测量值本身不可能绝对精确。
  • 截断误差 / 方法误差：用有限步骤近似无限过程，或用较易求解的问题近似原问题。
  • 舍入误差：计算机只能保留有限位数字，必须对数值进行舍入。

本章重点讨论：截断误差与舍入误差如何影响计算结果。

目录#

误差的来源#

数值计算方法研究的是：怎样用计算过程求数学问题的近似解。

现实问题通常不能直接交给计算机求解，需要经历：

  1. 把现实问题抽象成数学模型；
  2. 用数值算法求数学模型的近似解；
  3. 在计算机中用有限精度完成计算。

每一步都会引入误差。

模型误差#

实际问题的解与数学模型的解之间的差，称为模型误差。

例如实际海域、建筑、流场、圆形边界等对象是连续的、复杂的。为了计算，往往要把区域离散成网格，把复杂条件简化为可处理的边界条件。这样得到的数学模型已经是现实问题的近似。

课堂中用“圆在网格上表示”的例子说明这一点：连续圆形边界落到离散网格上时，圆边界会被网格单元近似，几何形状本身已经发生误差。

观测误差#

数学问题中的参数常由实验或观测得到。观测值无法绝对准确，因此由观测数据带来的误差称为观测误差。

例如长度、速度、温度、流量等物理量来自仪器测量。仪器精度有限，读数本身就带有误差。

截断误差#

许多数学对象本身含有无限过程。计算时只能截取有限项或有限步，因此会产生截断误差，也称方法误差。

典型例子是用泰勒级数近似函数：

cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+⋯+(−1)nx2n(2n)!+⋯\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}+\cdots

当 ∣x∣|x| 很小时，可以用

cos⁡x≈1−x22\cos x\approx 1-\frac{x^2}{2}

作为近似。由交错级数的莱布尼茨判别法可知，截断误差的绝对值不超过下一项：

∣R∣≤x424.|R|\le \frac{x^4}{24}.

所以截断误差来自“无限过程被有限化”。

舍入误差#

计算机不能保存所有实数。无穷小数、位数很多的数都要舍入成有限位数字，由此产生舍入误差。

课堂一开始提到的数制转换也说明了这一点：十进制整数可以转成二进制整数，例如

1310=11012,13_{10}=1101_2,

但许多十进制小数在二进制中会成为无限循环小数。计算机只能截断或舍入到有限位，于是出现舍入误差。

TIP

数值计算中最常见的危险不是“有误差”，而是误差在后续运算中被放大。所以后面要讨论误差传播、条件数和算法稳定性。

绝对误差、相对误差与有效数字#

绝对误差#

设 xx 为准确值，x∗x^* 为 xx 的一个近似值，则近似值 x∗x^* 的绝对误差为

e(x∗)=x−x∗.e(x^*)=x-x^*.

准确值 xx 往往未知，所以绝对误差的准确值通常也未知。实际中常估计一个正数 ε\varepsilon，使

∣e(x∗)∣=∣x−x∗∣≤ε.|e(x^*)|=|x-x^*|\le \varepsilon.

这个 ε\varepsilon 称为 x∗x^* 的绝对误差限，简称误差限。

于是准确值 xx 必在区间

x∗−ε≤x≤x∗+εx^*-\varepsilon\le x\le x^*+\varepsilon

中，也可以写作

x=x∗±ε.x=x^*\pm \varepsilon.

例：圆周率近似#

若取

π≈3.14,\pi\approx 3.14,

由于 3.143.14 是四舍五入到小数点后两位的结果，所以误差不超过最后保留位的半个单位：

∣π−3.14∣≤0.0016<12×10−2.|\pi-3.14|\le 0.0016<\frac12\times 10^{-2}.

若取

π≈3.142,\pi\approx 3.142,

则

∣π−3.142∣≤0.00041<12×10−3.|\pi-3.142|\le 0.00041<\frac12\times 10^{-3}.

这里可以看出：误差限与保留位数有关，但它不能完全反映近似值本身的精确程度。

相对误差#

绝对误差要结合数量级才有意义。比如同样误差 0.10.1，对测量 10001000 米来说很小，对测量 0.20.2 米来说很大。

设 x≠0x\ne 0，近似值 x∗x^* 的相对误差定义为

er(x∗)=e(x∗)x=x−x∗x.e_r(x^*)=\frac{e(x^*)}{x}=\frac{x-x^*}{x}.

由于准确值 xx 通常未知，实际常用

er(x∗)≈e(x∗)x∗e_r(x^*)\approx \frac{e(x^*)}{x^*}

估计相对误差。

若存在正数 εr\varepsilon_r，使

∣er(x∗)∣=∣e(x∗)x∗∣≤εr,|e_r(x^*)|=\left|\frac{e(x^*)}{x^*}\right|\le \varepsilon_r,

则称 εr\varepsilon_r 为 x∗x^* 的相对误差限。

例：光速测量#

若实验测得光速

c∗=2.997925×105 km/s,c^*=2.997925\times 10^5\ \text{km/s},

其绝对误差限为 0.1 km/s0.1\ \text{km/s}，则相对误差限为

0.12.997925×105<4×10−7.\frac{0.1}{2.997925\times 10^5}<4\times 10^{-7}.

所以 4×10−74\times 10^{-7} 可作为该近似值的相对误差限。

TIP

绝对误差回答“差了多少”；相对误差回答“相对于原数差了多大比例”。数值计算中判断精度时，相对误差通常更有可比性。

有效数字#

有效数字既能表示近似值的大小，也能表示近似值的精确程度。

在计算中，常按四舍五入原则取近似值。若近似值 x∗x^* 的误差限为

12×10−n,\frac12\times 10^{-n},

则称 x∗x^* 准确到小数点后第 nn 位。

从第一个非零数字到该精确位之间的所有数字，都称为有效数字。

例：2\sqrt2 的近似值#

2=1.414213562⋯\sqrt2=1.414213562\cdots

若取四位小数：

x∗=1.414,x^*=1.414,

则

∣2−1.414∣≤12×10−3,|\sqrt2-1.414|\le \frac12\times 10^{-3},

所以 1.4141.414 有 44 位有效数字。

若取八位小数：

x∗=1.4142136,x^*=1.4142136,

则

∣2−1.4142136∣≤12×10−7,|\sqrt2-1.4142136|\le \frac12\times 10^{-7},

所以它有 88 位有效数字。

例：小数前有零时的有效数字#

若

x=0.003400±12×10−5,x=0.003400\pm \frac12\times 10^{-5},

则该近似值准确到小数点后第 55 位。从第一个非零数字 33 到这一位共有

3, 4, 0

所以 0.0034000.003400 有 33 位有效数字。前面的零只起定位作用，不计入有效数字。

例：整数部分较大时#

若

x∗=1452.046x^*=1452.046

有 77 位有效数字，则误差限为

12×10−3.\frac12\times 10^{-3}.

若

x∗=1452.0x^*=1452.0

有 55 位有效数字，则误差限为

12×10−1.\frac12\times 10^{-1}.

注意：末尾的 00 若位于有效位范围内，也应计为有效数字。

有效数字与相对误差的关系#

若近似值的规格化形式为

x∗=±0.a1a2⋯an×10m,a1≠0,x^*=\pm 0.a_1a_2\cdots a_n\times 10^m,\qquad a_1\ne 0,

并且 x∗x^* 有 nn 位有效数字，则其相对误差限可取

εr=12a1×10−n+1.\varepsilon_r=\frac{1}{2a_1}\times 10^{-n+1}.

反过来，如果相对误差限满足

εr≤12(a1+1)×10−n+1,\varepsilon_r\le \frac{1}{2(a_1+1)}\times 10^{-n+1},

则 x∗x^* 至少有 nn 位有效数字。

例：ee 的近似值#

若

e≈2.72,e\approx 2.72,

这里 a1=2a_1=2，且有 33 位有效数字，所以相对误差限为

εr=12×2×10−3+1=0.25×10−2.\varepsilon_r=\frac{1}{2\times 2}\times 10^{-3+1}=0.25\times 10^{-2}.

数值计算中误差的传播#

误差进入计算过程后，会通过函数运算继续传播。

一般函数的误差传播#

设数值计算问题为

y=f(x1,x2,⋯ ,xn),y=f(x_1,x_2,\cdots,x_n),

参数 x1,x2,⋯ ,xnx_1,x_2,\cdots,x_n 的近似值分别为

x1∗,x2∗,⋯ ,xn∗.x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*.

对应的近似结果为

y∗=f(x1∗,x2∗,⋯ ,xn∗).y^*=f(x_1^*,x_2^*,\cdots,x_n^*).

当数据误差较小时，由多元函数的一阶泰勒展开，有

e(y∗)=y−y∗≈∑i=1n∂f(x1∗,⋯ ,xn∗)∂xi e(xi∗).e(y^*)=y-y^* \approx \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f(x_1^*,\cdots,x_n^*)}{\partial x_i}\,e(x_i^*).

这说明：

输出误差大约等于各输入误差经过偏导数加权后的和。

其相对误差为

er(y∗)=e(y∗)y∗≈∑i=1n∂f(x1∗,⋯ ,xn∗)∂xixi∗f(x1∗,⋯ ,xn∗)er(xi∗).e_r(y^*)=\frac{e(y^*)}{y^*} \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f(x_1^*,\cdots,x_n^*)}{\partial x_i} \frac{x_i^*}{f(x_1^*,\cdots,x_n^*)} e_r(x_i^*).

其中

∂f∂xixi∗f\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{x_i^*}{f}

反映了第 ii 个输入相对误差对输出相对误差的放大程度。

四则运算的误差传播#

由一般公式可推出四则运算中的误差传播规律。

和、差#

e(x1±x2)=e(x1)±e(x2),e(x_1\pm x_2)=e(x_1)\pm e(x_2),er(x1±x2)=x1x1±x2er(x1)±x2x1±x2er(x2).e_r(x_1\pm x_2)=\frac{x_1}{x_1\pm x_2}e_r(x_1)\pm \frac{x_2}{x_1\pm x_2}e_r(x_2).

由此可得误差限估计：

∣e(x1±x2)∣≤∣e(x1)∣+∣e(x2)∣.|e(x_1\pm x_2)|\le |e(x_1)|+|e(x_2)|.

结论：和差的绝对误差限不超过各数绝对误差限之和。

积#

e(x1x2)≈x2e(x1)+x1e(x2),e(x_1x_2)\approx x_2e(x_1)+x_1e(x_2),er(x1x2)≈er(x1)+er(x2).e_r(x_1x_2)\approx e_r(x_1)+e_r(x_2).

结论：乘积的相对误差近似等于各因子相对误差之和。

商#

e(x1x2)≈1x2e(x1)−x1x22e(x2),e\left(\frac{x_1}{x_2}\right)\approx \frac{1}{x_2}e(x_1)-\frac{x_1}{x_2^2}e(x_2),er(x1x2)≈er(x1)−er(x2).e_r\left(\frac{x_1}{x_2}\right)\approx e_r(x_1)-e_r(x_2).

误差限估计为

∣er(x1x2)∣≤∣er(x1)∣+∣er(x2)∣.\left|e_r\left(\frac{x_1}{x_2}\right)\right| \le |e_r(x_1)|+|e_r(x_2)|.

例：y=xny=x^n#

令

y=xn.y=x^n.

由相对误差公式：

er(y)=d(ln⁡xn)=n d(ln⁡x)=ner(x).e_r(y)=d(\ln x^n)=n\,d(\ln x)=n e_r(x).

所以

er(xn)≈ner(x).e_r(x^n)\approx n e_r(x).

特别地，若

y=x=x1/2,y=\sqrt{x}=x^{1/2},

则

er(y)≈12er(x).e_r(y)\approx \frac12 e_r(x).

也就是说，开平方会把输入相对误差约缩小一半；取 nn 次幂会把相对误差约放大 nn 倍。

例：计算 x∗=1.21×3.65−9.81x^*=1.21\times 3.65-9.81#

假定参与运算的数据都准确到两位小数，则每个输入的绝对误差限均为

12×10−2.\frac12\times 10^{-2}.

设

f(a,b,c)=ab−c,f(a,b,c)=ab-c,

其中 a=1.21,b=3.65,c=9.81a=1.21,b=3.65,c=9.81。由误差传播公式，

e(f)≈be(a)+ae(b)−e(c).e(f)\approx b e(a)+a e(b)-e(c).

于是绝对误差限满足

∣e(f)∣≤(3.65+1.21+1)×12×10−2=0.0293.|e(f)|\le (3.65+1.21+1)\times \frac12\times 10^{-2}=0.0293.

近似结果为

f∗=1.21×3.65−9.81=−5.3935.f^*=1.21\times 3.65-9.81=-5.3935.

相对误差限可估计为

∣e(f)∣∣f∗∣≤0.02935.3935≈0.0054.\frac{|e(f)|}{|f^*|}\le \frac{0.0293}{5.3935}\approx 0.0054.

因此该计算结果大约有两位有效数字。

线性方程组中的误差放大：条件数#

课堂还补充了线性方程组中误差放大的问题。

考虑

Ax=b.Ax=b.

如果右端项 bb 有扰动 δb\delta b，对应解的扰动为 δx\delta x，则

A(x+δx)=b+δb.A(x+\delta x)=b+\delta b.

由 Ax=bAx=b 得

Aδx=δb,A\delta x=\delta b,

从而

δx=A−1δb.\delta x=A^{-1}\delta b.

取范数，有

∥δx∥≤∥A−1∥ ∥δb∥.\|\delta x\|\le \|A^{-1}\|\,\|\delta b\|.

另一方面，

∥b∥=∥Ax∥≤∥A∥ ∥x∥.\|b\|=\|Ax\|\le \|A\|\,\|x\|.

于是得到相对误差估计：

∥δx∥∥x∥≤∥A∥ ∥A−1∥∥δb∥∥b∥.\frac{\|\delta x\|}{\|x\|} \le \|A\|\,\|A^{-1}\|\frac{\|\delta b\|}{\|b\|}.

定义矩阵 AA 的条件数为

cond⁡(A)=∥A∥ ∥A−1∥.\operatorname{cond}(A)=\|A\|\,\|A^{-1}\|.

因此

∥δx∥∥x∥≤cond⁡(A)∥δb∥∥b∥.\frac{\|\delta x\|}{\|x\|} \le \operatorname{cond}(A)\frac{\|\delta b\|}{\|b\|}.
TIP

条件数衡量的是问题本身对扰动的敏感程度。

  • cond⁡(A)\operatorname{cond}(A) 小：右端项小扰动通常只导致解的小扰动。
  • cond⁡(A)\operatorname{cond}(A) 大：右端项很小的误差也可能被严重放大。

这种问题称为病态问题或病态线性方程组。

例：Hilbert 矩阵#

课堂用 Hilbert 矩阵演示病态性。Hilbert 矩阵定义为

Hij=1i+j−1,1≤i,j≤n.H_{ij}=\frac{1}{i+j-1},\qquad 1\le i,j\le n.

例如

H3=[11213121314131415].H_3= \begin{bmatrix} 1 & \frac12 & \frac13\\ \frac12 & \frac13 & \frac14\\ \frac13 & \frac14 & \frac15 \end{bmatrix}.

课堂中用软件计算得到：

cond(hilb(4))

结果约为

1.55×104.1.55\times 10^4.

继续增大阶数：

cond(hilb(10))

结果约为

1.60×1013.1.60\times 10^{13}.

这说明 Hilbert 矩阵随阶数增大迅速变得极度病态。即使输入数据只产生很小扰动，解也可能出现明显误差。

算法的数值稳定性#

什么是数值稳定性#

同一个数学问题可以有多种算法。数学上等价的算法，在有限精度计算中效果可能差别很大。

如果计算过程中产生的舍入误差不会持续放大，这类算法称为数值稳定；如果误差在递推或迭代中不断被放大，则称为数值不稳定。

WARNING

要区分两个概念：

  • 问题病态性：问题本身对输入扰动敏感，常用条件数衡量。
  • 算法稳定性：算法在计算过程中是否放大舍入误差。

病态问题即使用稳定算法也很难算准；良态问题若选了不稳定算法，也可能算坏。

例：递推计算积分#

考虑积分

In=∫01xnx+5 dx,n=0,1,2,⋯I_n=\int_0^1\frac{x^n}{x+5}\,dx,\qquad n=0,1,2,\cdots

由

xnx+5+5xn−1x+5=xn−1\frac{x^n}{x+5}+5\frac{x^{n-1}}{x+5}=x^{n-1}

可得递推关系

In+5In−1=∫01xn−1 dx=1n.I_n+5I_{n-1}=\int_0^1 x^{n-1}\,dx=\frac1n.

另外，由于 0≤x≤10\le x\le 1 时

5≤x+5≤6,5\le x+5\le 6,

所以有估计

16(n+1)<In<15(n+1).\frac{1}{6(n+1)}<I_n<\frac{1}{5(n+1)}.

这给出了 InI_n 的正性和大致范围。

算法 I：正向递推#

先算

I0=∫011x+5 dx=ln⁡65=ln⁡1.2.I_0=\int_0^1\frac{1}{x+5}\,dx=\ln\frac65=\ln 1.2.

再由

In=1n−5In−1,n=1,2,⋯I_n=\frac1n-5I_{n-1},\qquad n=1,2,\cdots

依次计算 I1,I2,⋯I_1,I_2,\cdots。

课堂演示代码可以写成：

I = zeros(30, 1);
I(1) = log(1.2);
for n = 1:29
    I(n + 1) = 1/n - 5 * I(n);
end
I(1:15)

问题在于：若 I0I_0 有误差 e0e_0，且递推中不再产生新的舍入误差，则

en=In−In∗=−5en−1.e_n=I_n-I_n^*=-5e_{n-1}.

因此

en=(−5)ne0.e_n=(-5)^n e_0.

也就是说，每向前递推一步，误差约放大 55 倍。正向递推是数值不稳定的。

算法 II：反向递推#

先取一个较大的 nn，用上下界给出 InI_n 的粗略近似。例如取

I14∗=12(16×15+15×15)≈0.01222222.I_{14}^*=\frac12\left(\frac{1}{6\times 15}+\frac{1}{5\times 15}\right)\approx 0.01222222.

再由递推式改写为

Ik−1=15(1k−Ik),k=n,n−1,⋯ ,1.I_{k-1}=\frac15\left(\frac1k-I_k\right),\qquad k=n,n-1,\cdots,1.

从 I14I_{14} 反推 I13,I12,⋯ ,I0I_{13},I_{12},\cdots,I_0。

课堂演示代码可以写成：

I = zeros(15, 1);
I(15) = 0.5 * (1/(6*15) + 1/(5*15));
for k = 14:-1:1
    I(k) = (1/k - I(k + 1)) / 5;
end
I

误差满足

ek−1=−15ek.e_{k-1}=-\frac15 e_k.

所以反向递推时，误差每一步约缩小为原来的 1/51/5。反向递推是数值稳定的。

两种算法结果对比#

nn算法 I 正向递推算法 II 反向递推
00.182321550.18232155
10.088392250.08839222
20.058038750.05803892
30.043139580.04313873
40.034302080.03430633
50.028489580.02846835
60.024187500.02432491
70.021763900.02123260
80.016183050.01883699
90.030195880.01692617
10-0.050979410.01536914
110.345806120.01406339
12-0.645697600.01301636
138.305409380.01184127
14-41.456183100.01222222

由积分定义可知 In>0I_n>0。正向递推到后面甚至得到负数，明显错误；反向递推得到的结果保持合理。

TIP

这个例子说明：算法不能只看数学等价性，还要看误差在计算过程中的传播方式。

数值计算中应注意的问题#

由于误差会传播和放大，数值计算中要尽量避免下列现象。

避免两个相近数相减#

两个相近数相减时，结果很小，而相对误差可能很大。

由差的相对误差公式，若

u=x−y,u=x-y,

则

er(u)=e(x)−e(y)x−y.e_r(u)=\frac{e(x)-e(y)}{x-y}.

当 x≈yx\approx y 时，分母 x−yx-y 很小，误差会被放大，有效数字会严重损失。这种现象称为相消误差。

例：计算 1+10−7−1\sqrt{1+10^{-7}}-1#

如果直接计算

x=1+10−7−1,x=\sqrt{1+10^{-7}}-1,

由于 1+10−7≈1\sqrt{1+10^{-7}}\approx 1，两个相近数相减会丢失有效数字。

可做代数变形：

1+10−7−1=10−71+10−7+1.\sqrt{1+10^{-7}}-1 = \frac{10^{-7}}{\sqrt{1+10^{-7}}+1}.

这样避免了相近数直接相减。

例：计算 1−cos⁡2∘1-\cos 2^\circ#

利用四位数学表，

cos⁡2∘≈0.9994.\cos 2^\circ\approx 0.9994.

若直接计算

1−cos⁡2∘≈1−0.9994=0.0006,1-\cos2^\circ\approx 1-0.9994=0.0006,

该近似值只有一位有效数字。

若改用恒等式

1−cos⁡2∘=2sin⁡21∘,1-\cos2^\circ=2\sin^21^\circ,

查表得

sin⁡1∘≈0.0175,\sin1^\circ\approx 0.0175,

于是

1−cos⁡2∘≈2(0.0175)2=0.6125×10−3.1-\cos2^\circ\approx 2(0.0175)^2=0.6125\times 10^{-3}.

这时至少有两位有效数字。

常用的避免相消变形包括：

1−cos⁡x=2sin⁡2x2,1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2},\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+cos x},x+1−x=1x+1+x,\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}},1x−1x+1=1x(x+1).\frac1x-\frac1{x+1}=\frac{1}{x(x+1)}.

避免大数吃小数#

计算机有限位运算中，若一个很大的数与一个很小的数相加，小数部分可能被舍去。

例如

a=109+1.a=10^9+1.

为了使两项数量级相同，可写成

a=0.1×1010+0.0000000001×1010.a=0.1\times 10^{10}+0.0000000001\times 10^{10}.

如果计算机只能保留 88 位小数，则第二项会被舍去，得到

a≈0.1×1010=109.a\approx 0.1\times 10^{10}=10^9.

这就是“大数吃小数”。

例：二次方程求根#

求方程

x2−(109+1)x+109=0x^2-(10^9+1)x+10^9=0

的根。

容易看出两个根为

x1=109,x2=1.x_1=10^9, \qquad x_2=1.

若直接使用求根公式，

x=109+1±(109+1)2−4×1092,x=\frac{10^9+1\pm \sqrt{(10^9+1)^2-4\times 10^9}}{2},

在计算较小根时会出现两个相近大数相减，可能得到错误结果。

对于较小根，应该用等价公式

x2=2×109109+1+(109+1)2−4×109.x_2=\frac{2\times 10^9}{10^9+1+\sqrt{(10^9+1)^2-4\times 10^9}}.

这样避免了大数相减，能得到

x2≈1.x_2\approx 1.

避免除数绝对值远小于被除数#

由商的绝对误差传播公式：

e(xy)=ye(x)−xe(y)y2.e\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{y e(x)-x e(y)}{y^2}.

当 ∣y∣≪∣x∣|y|\ll |x| 时，分母 y2y^2 很小，误差会被显著放大。

所以在数值计算中，应尽量避免把很小的数放到分母里，特别是在小分母本身还有误差时。

简化计算，减少运算次数#

运算次数越多，舍入误差累计的机会越多。选择合适公式可以同时减少计算量和误差积累。

例：计算 ln⁡2\ln 2#

若用交错级数

ln⁡2=1−12+13−14+⋯+(−1)n−1n+⋯\ln2=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}+\cdots

取前 nn 项时，截断误差约不超过

1n+1.\frac{1}{n+1}.

若要求误差小于 10−510^{-5}，需要

n≥105.n\ge 10^5.

这意味着要计算十万项，效率很低，而且舍入误差也会累积。

利用级数

ln⁡1+x1−x=2(x+x33+x55+⋯+x2n+12n+1+⋯ ),\ln\frac{1+x}{1-x}=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\cdots\right),

取

x=13,x=\frac13,

则

ln⁡2=23[1+13×9+15×92+⋯+1(2n+1)9n+⋯ ].\ln2=\frac23\left[1+\frac{1}{3\times 9}+\frac{1}{5\times 9^2}+\cdots+\frac{1}{(2n+1)9^n}+\cdots\right].

若只取前 55 项，截断误差满足

e<23⋅111×95(1+19+192+⋯ )=112×11×94<10−5.e<\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{11\times 9^5}\left(1+\frac19+\frac{1}{9^2}+\cdots\right) = \frac{1}{12\times 11\times 9^4}<10^{-5}.

显然，第二种算法效率更高。

例：多项式求值与秦九韶算法#

设

Pn(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0.P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0.

若直接按定义计算，需要约

n(n+1)2\frac{n(n+1)}2

次乘法和 nn 次加法。

利用秦九韶算法，将多项式写成

Pn(x)=a0+x{a1+x[a2+⋯+x(an−1+anx)]}.P_n(x)=a_0+x\{a_1+x[a_2+\cdots+x(a_{n-1}+a_nx)]\}.

递推形式为

{un=an,uk=xuk+1+ak,k=n−1,n−2,⋯ ,0,Pn(x)=u0.\begin{cases} u_n=a_n,\\ u_k=xu_{k+1}+a_k,\qquad k=n-1,n-2,\cdots,0,\\ P_n(x)=u_0. \end{cases}

这样只需 nn 次乘法和 nn 次加法。

选用数值稳定性好的算法#

算法的数学形式可能等价，但数值效果可能相差很大。

选择算法时应优先考虑：

  • 是否会导致相近数相减；
  • 是否会让小误差在递推中持续放大；
  • 是否会出现大数吃小数；
  • 是否可通过变形减少运算次数；
  • 问题本身是否病态。

前面的积分递推例子表明：同一递推关系正向计算不稳定，反向计算稳定。

本章小结#

这一章可以抓住四条主线。

第一，误差来源：

模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差

本章重点关注截断误差和舍入误差。

第二，误差度量：

e(x∗)=x−x∗,∣e(x∗)∣≤ε,e(x^*)=x-x^*, \qquad |e(x^*)|\le \varepsilon,er(x∗)≈e(x∗)x∗,∣er(x∗)∣≤εr.e_r(x^*)\approx \frac{e(x^*)}{x^*}, \qquad |e_r(x^*)|\le \varepsilon_r.

有效数字用来同时描述近似值的大小和精度。若

x∗=±0.a1a2⋯an×10m,x^*=\pm 0.a_1a_2\cdots a_n\times 10^m,

且有 nn 位有效数字，则

εr=12a1×10−n+1\varepsilon_r=\frac{1}{2a_1}\times 10^{-n+1}

可作为相对误差限。

第三，误差传播：

e(y∗)≈∑i=1n∂f∂xie(xi∗),e(y^*)\approx \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_i}e(x_i^*),

相对误差传播由

∂f∂xixi∗f\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{x_i^*}{f}

决定放大倍数。

四则运算中：

  • 和差主要看绝对误差；
  • 积商主要看相对误差；
  • 相近数相减最容易丢失有效数字。

第四，算法选择：

  • 避免相消；
  • 避免大数吃小数；
  • 避免小分母放大误差；
  • 简化计算、减少运算次数；
  • 选数值稳定的算法；
  • 对线性方程组，还要关注条件数。

本章最重要的思想是：

数值计算不仅要算出一个答案，还要知道这个答案是否可靠，以及为什么可靠。

Chapter1：误差
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作者
Sleepyfish
发布于
2026-05-29
许可协议
CC BY-NC-SA 4.0
Chapter2：解线性方程组的直接方法
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