1. 从预算集和瓦尔拉斯需求说起#

先回忆前面学过的内容：

• 价格向量：$\mathbf p=(p_1,p_2,\ldots,p_n)$。
• 收入：$m$。
• 预算集（budget set）：

• 瓦尔拉斯需求函数（Walrasian / Marshallian demand）：$\mathbf x(\mathbf p,m)$，表示在给定价格和收入下，消费者最终选择的商品组合。

在价格均为正、偏好局部非饱和的常见情形下，最优消费会用尽预算：

为什么要研究 WARP？ 前面我们用偏好解释选择；现在反过来，利用观察到的选择，检验它们能否来自一套稳定、一致的偏好。

老师强调（00:04:19—00:04:58）：人的“偏好”无法直接观察，商品价格、收入和选择行为却能观察。显示偏好原理在理论假设与经验检验之间搭起桥梁：观察消费者在买得起什么的情况下实际买了什么，进而推断或检验偏好假设。

2. 什么叫“显示偏好”（revealed preference）？#

假设消费者在预算集 $B(\mathbf p,m)$ 中选择了 $A$，但组合 $B$ 当时也买得起。

• 他已经有机会买 $B$；
• 最后却选择了 $A$；
• 因而称 $A$ 被直接显示偏好于 $B$，记为 $A\succeq^R B$。

这里的前提是：$B$ 也在当时的预算集内。如果 $B$ 买不起，就不能通过消费者没有选择 $B$ 来判断其偏好。

课堂类比：足球比赛与“显示出来的信息”（约 00:22）#

老师把显示偏好类比成足球比赛：一支球队打赢另一支球队，双方在这次直接交锋中显示了一个比较结果；若两队从未交手，单凭比赛记录就不能断言哪支更强。循环赛让更多球队两两对阵，提供更多可观察的比较；淘汰赛可能让许多组合根本没有交锋。这个例子说明：被观察到的选择会揭示某些偏好排序，没有直接比较记录时仍存在信息空白。

类比有边界：足球成绩还受到运气、赛制等因素影响，而 WARP 的数学判断建立在特定的理性选择与预算可行性假设之上。

3. WARP 的定义#

**WARP（Weak Axiom of Revealed Preference，显示偏好弱公理）**要求：在偏好保持稳定的前提下，不能出现两个不同的消费组合相互显示偏好、互相推翻的选择记录。

记两次观察为：

如果原先选的 $\mathbf x^0$ 在第二次预算中也买得起：

那么，当 $\mathbf x^0\ne\mathbf x^1$ 时，WARP 要求：

也就是说，第二次选择的 $\mathbf x^1$ 必须在第一次预算集之外。

WARNING

这一形式有一个常被省略的前提：两次选择的消费组合不同。如果 $\mathbf x^0=\mathbf x^1$，消费者两次都买相同组合，自然不会违反 WARP，不能强行套用严格大于号。

4. 为什么这个条件合理？#

反过来想：假设 $\mathbf x^0\ne\mathbf x^1$，同时满足

那么第一次选 $\mathbf x^0$，意味着 $\mathbf x^0\succeq^R\mathbf x^1$；第二次选 $\mathbf x^1$，又意味着 $\mathbf x^1\succeq^R\mathbf x^0$。

两种不同选择相互推翻，说明观察数据不满足显示偏好的弱公理。判断的关键是交叉检查“另一期的消费组合在本期是否买得起”。

5. 图示：三种情况下，哪些违反 WARP？#

图中橙色与绿色分别代表两次预算线，同色圆点表示对应的实际选择：

• 左图：两个选择点各自在对方预算集之外；没有形成循环显示偏好，不违反 WARP。
• 中图：绿色选择点位于两条预算线交点，在橙色预算下买得起；橙色选择点在绿色预算下买不起，不违反 WARP。
• 右图：绿色选择点在橙色预算下买得起，橙色选择点也在绿色预算下买得起；两个不同的选择发生交叉显示偏好，违反 WARP。

TIP

看图时，判断某一点“买不买得起”，看它是否位于另一条预算线上方或下方：在预算线及其下方表示买得起；在线上方表示买不起。点的横坐标或纵坐标单独变大，无法直接决定 WARP。

6. 课堂例题：利用消费数据检验 WARP#

课件给出三次观察（$p_1,p_2$ 是两种商品价格，$x_1,x_2$ 是实际购买量）：

第一步：构造“各期价格 × 各期消费组合”的交叉支出矩阵。 行是价格，列是消费组合：

第二步：两两比较，看是否存在相互买得起的不同组合。

• A 与 B：A 价格下买 B 要 30，超过 A 的收入 28；B 价格下买 A 要 22，小于 B 的收入 24。只有一个方向买得起，不违反 WARP。
• A 与 C：A 价格下买 C 要 27 ≤ 28；C 价格下买 A 也只需 27 ≤ 28。两次均买得起对方最终选择的组合，违反 WARP。
• B 与 C：B 价格下买 C 要 22，小于 24；C 价格下买 B 要 30，大于 28。只有一个方向买得起，不违反 WARP。

结论：A 与 C 构成 WARP 违背，因此整组观察数据不满足 WARP。

老师的判题方法（约 00:15—00:21）：先把“每期价格购买每期消费篮子”的支出写成矩阵。对角线是当期真实支出；每个非对角项与该行对角线比较，就知道对应的另一篮子是否买得起。如果同一对不同行列位置同时满足可负担性，就要检查这对选择是否构成 WARP 冲突。观察达到数十或数百期时，矩阵计算比逐一画预算线更方便。

1. 不加补偿时，收入不变也会改变购买力#

考虑价格由 $\mathbf p$ 变化到 $\mathbf p'$，名义收入仍为 $m$：

消费者的需求由 $\mathbf x(\mathbf p,m)$ 变成 $\mathbf x(\mathbf p',m)$。这段变化同时包含：

1. 相对价格变化：例如商品 1 更贵，消费者有动力用商品 2 替代商品 1。
2. 实际购买力变化：即便银行卡里的收入数字没有变，面对更高的价格，原来的商品组合可能已经买不起。

研究价格影响时，最好把两种渠道拆开。

课堂用两个生活例子解释（约 00:32—00:36）：工资没涨但物价涨了，名义收入原封不动，实际购买力仍会下降；食堂饭菜涨价，学生可能向家长提出增加生活费，以维持原先的消费水平。养老金和最低生活保障标准为什么需要随物价调整，也是同一个购买力补偿问题。统计中的名义 GDP 与实际 GDP同样涉及剔除价格变化的影响。

2. 斯勒茨基补偿的基本思路#

假设消费者原来恰好花完预算，选择了组合 $A=\mathbf x^0$。价格变化后，问：如果我们把消费者收入调到刚好还能买原来的 $A$，需要多少收入？

这对应课件第 8 页提出的“补偿变化”问题。要区分：

• 价格变、名义收入固定：$B(\mathbf p,m)\to B(\mathbf p',m)$。
• 价格变、原组合仍可买：$B(\mathbf p,m)\to B(\mathbf p',m^S)$。

第二种比较就叫 斯勒茨基补偿变化。

1. 定义：维持原消费组合的可负担性#

令初始选择为

价格变化到 $\mathbf p'$ 后，设置补偿收入 $m^S$，使原来的 $\mathbf x^0$ 在新价格下刚好买得起：

因此，**斯勒茨基补偿额（Slutsky compensation）**为：

如果只有第 1 种商品价格变化，则简化为：

直观理解：原本买了 $x_1^0$ 单位商品 1；每单位涨价 $\Delta p_1$，为了继续买到原来那么多，收入就增加 $\Delta p_1\times x_1^0$。

注意：价格上涨时，补偿额可以为正；价格下降时，按这个规则计算的补偿额可以为负（相当于收回部分收入）。

2. 图像：三条预算线分别代表什么？#

以商品 1 涨价、商品 2 价格不变为例：

• 蓝线 $B(\mathbf p,m)$：涨价之前，原选择 $A$ 位于蓝线上。
• 黄线 $B(\mathbf p',m)$：涨价之后但收入不增加。由于商品 1 变贵，预算线围绕商品 2 轴截距向内旋转；原组合 $A$ 可能买不起。
• 绿线 $B(\mathbf p',m^S)$：保持涨价后的斜率，再增加收入，使预算线正好经过原来的消费选择点 $A$。

所以：蓝线 $\to$ 绿线是斯勒茨基补偿变化；蓝线 $\to$ 黄线是不补偿的实际价格变化。

WARNING

斯勒茨基补偿仅保证原有组合仍买得起，不要求消费者保持原效用水平，也不保证补偿后的最优选择仍是 $A$。消费者可以沿新的预算线重新优化，选择另一个组合。课件图中的 $A,B$ 是用于讲解预算变化的示意点；没有无差异曲线时，不能仅凭预算线唯一推出最优点的位置。

课堂反复强调：买得起 ≠ 一定会买（约 00:45—00:47）#

图中，绿线让旧组合 $A$ 恰好可负担。但新的相对价格改变后，消费者可能沿绿线挑选新最优组合 $C$。老师用 WARP 解释：如果 $C$ 落到让旧价格和补偿新价格下都能互相负担、却又分别选择不同篮子的区域，就与 WARP 冲突；因此补偿后的选择受到了方向性约束。这一几何观察正是后文“受补偿需求定律”的起点。仅凭预算线无法确定 $C$ 的唯一位置，只能排除不一致的区域。

3. 为什么“补偿后的新预算线”一定经过旧选择点？#

因为新预算线的方程是

把旧消费组合 $\mathbf x^0$ 代入，就得到

恰好满足方程。补偿收入的定义就是为实现这一几何效果而构造的。

例题 1：两种商品的价格从 $(2,2)$ 变成 $(2,3)$#

课件给出的数据：

原选择为 $\mathbf x^0=(6,6)$，价格变化后实际选择变为 $(6,5)$。

第一步：计算原来的总支出

第二步：在新价格下购买原组合需要多少收入？

第三步：计算斯勒茨基补偿

也可以直接计算：

含义：商品 2 每单位涨价 1 元，原来买 6 单位；为了仍能负担原组合，需要增加 6 元收入。课堂上老师反复说明：要按旧消费篮子计算需要的补偿，补偿之后消费者可以重新选择。

TIP

课件同时给出“实际需求从 $(6,6)$ 变成 $(6,5)$”。它描述的是不补偿、收入保持 24 时的实际结果；补偿后的选择 $\mathbf x(\mathbf p',30)$ 未由这些数据给出，不能直接认定仍为 $(6,6)$ 或 $(6,5)$。

例题 2：已知需求函数 $x=10+\dfrac{m}{5p}$#

题目（原课件第 16、18 页）：某种商品的需求函数为

初始收入 $m=300$ 元，商品价格由 $p=10$ 元上涨到 $p'=12$ 元，求斯勒茨基补偿。

第一步：先算涨价前原本购买多少

第二步：每单位涨价 2 元，所以补偿原有的 16 单位

第三步：补偿后的名义收入

1. 为什么需要拆分？#

观察从 $(\mathbf p,m)$ 到 $(\mathbf p',m)$ 的需求变化，我们希望知道：

• 有多少变化来自价格相对关系的改变；
• 又有多少变化来自涨价后实际购买力下降。

方法是在起点和终点之间插入一个“补偿后的中间状态”。

2. 三个预算集、三个消费组合#

课件给出的变化路径是：

分别定义：

• 第一步（旧价格 $\to$ 新价格，同时调整收入）：$\mathbf x^0\to\mathbf x^S$，对应受补偿的价格效应 / 斯勒茨基替代效应。
• 第二步（价格固定在新价格，收入从 $m^S$ 回到 $m$）：$\mathbf x^S\to\mathbf x^1$，对应收入效应。

3. 代数分解：总变化 = 替代效应 + 收入效应#

因为“加上再减去同一个 $\mathbf x^S$”不会改变结果：

所以：

这里的“替代效应”遵循 Slutsky 的补偿定义。它与“保证效用不变”的希克斯补偿效应有关，但两个补偿标准不同（理解补充）。

4. 用上一个数值例题完成整套分解（理解补充）#

从 $x^0=16$，到 $x^S=233/15$，再到 $x^1=15$：

验证：

这个例子里商品价格上涨，替代效应使需求下降；收入由 332 元回落至 300 元，收入效应又进一步减少了需求。

WARNING

不能把补偿额 $m^S-m$ 直接当作替代效应。 前者是“货币金额”，后者是“消费数量变化”，单位和经济含义均不同。

1. 结论：补偿后，需求与自身价格反向变化#

课件的核心结论是 Law of Compensated Demand（受补偿的需求定律）。

设价格从 $\mathbf p$ 变为 $\mathbf p'$；对原消费组合作斯勒茨基补偿后，消费者从 $\mathbf x^0$ 重新选择 $\mathbf x^S$，那么在 WARP 和预算用尽等适用前提下：

若两期消费组合确实不同，课件给出严格版本：

经济直觉：当一种商品相对价格上升、同时保证原有消费组合仍买得起时，消费者不会因为这个相对涨价而增加对该商品的需求。

老师为何先讲向量夹角和内积？（约 00:25—00:27、01:21）#

“一种商品价格与需求反向变化”只需比较两个数的正负号。面对多种商品时，价格变化 $\Delta\mathbf p$ 与需求变化 $\Delta\mathbf x$ 都是向量，老师转而采用线性代数的内积刻画整体方向：

• 内积 $>0$：夹角小于 $90^\circ$，整体同向。
• 内积 $=0$：两向量正交（也可能有零向量）。
• 内积 $<0$：夹角大于 $90^\circ$，整体反向。

这解释了下面为什么要证明一个向量内积非正的不等式，以及为何当只变动一种商品价格时，能够得到最熟悉的“涨价—受补偿需求减少”的标量结论。

2. 这条不等式从哪来？逐步证明#

第一步：记录旧状态。

原消费 $\mathbf x^0$ 是旧价格和旧收入下的最优消费，并且花完预算：

第二步：构造斯勒茨基补偿状态。

让新预算线经过旧选择点：

补偿后的最优选择 $\mathbf x^S$ 也花完新预算：

第三步：使用 WARP。

在新预算下，$\mathbf x^0$ 明明买得起（第 2 式），消费者却选择了 $\mathbf x^S$。如果两个组合不同，WARP 意味着 $\mathbf x^S$ 在旧预算中买不起：

第四步：整理成课件中的向量内积。

因此得证。若两个消费组合相同，左式为 $0$，所以总体结论写成 $\leq0$ 更完整。

3. 只改变第 1 种商品的价格，会得到什么？#

设其他商品价格不变，仅 $p_1$ 改变，那么刚才的内积中，只有第 1 个分量保留：

情况 A：商品 1 涨价，$p_1'>p_1$，因此 $p_1-p_1'<0$。为了让乘积不大于 0，必须有：

情况 B：商品 1 降价，$p_1'<p_1$，因此 $p_1-p_1'>0$。于是：

两种情况合起来：

单独一种商品涨价，受斯勒茨基补偿的需求不会增加；降价时，受补偿需求不会减少。

4. 为什么强调“受补偿”？#

对于未经补偿的马歇尔需求，价格上涨伴随购买力下降，收入效应可能与替代效应方向相反。

• 正常商品（normal good）：收入下降通常使需求下降，和涨价的替代效应同向。
• 低档商品（inferior good）：收入下降可能使需求上升，收入效应与替代效应方向相反。
• 吉芬商品（Giffen good）：如果反向收入效应足够强，总需求有可能随自身价格上涨而上升。

以上是为理解课件定律适用范围而添加的教材常见概念补充。它说明为什么课件特意证明受补偿的需求定律。

WARNING

适用范围要注意两点：一是这里只能直接推出受补偿需求方向的结论；二是若多种商品价格同时改变，向量内积 $\leq0$ 表示整体价格—数量变动关系，通常不能据此直接断言每一种商品的需求都与各自价格反向变化。

1. 实际问题：养老金应该怎样随物价调整？#

假设养老金领取者原来在基期面对价格 $\mathbf p_0$，选择消费组合 $\mathbf x_0$，总支出为

到报告期，价格变为 $\mathbf p_1$。如果目标是至少能够继续购买原来的消费组合，则需要

因此，维持原消费篮子购买能力的收入倍数为

这就是课件引出的 Laspeyres Price Index（拉斯佩雷斯价格指数，简称拉氏指数）。

课堂约 01:33 与 01:46—01:50 强调其政策意义：如果收入增长倍数恰好等于拉氏价格指数，就可以按报告期价格再次购买原消费篮子；增长倍数更高时，原篮子当然仍买得起。福利不下降的判断还需要消费者偏好稳定、原消费选择合理等前提。

例如 $I=1.08$，意味着按基期消费篮子计算，报告期购买相同篮子的支出比基期高 8%；若按这一规则调整原有养老金，则养老金乘以 $1.08$。

2. 拉氏指数：采用基期数量权重#

对 $n$ 种商品：

• $p_{0i}$：第 $i$ 种商品的基期价格；
• $p_{1i}$：第 $i$ 种商品的报告期价格；
• $x_{0i}$：第 $i$ 种商品的基期购买量。

核心是：固定旧的消费篮子，比较新旧两套价格下，这个篮子的支出有多大差别。

3. 帕氏指数：采用报告期数量权重#

课件同时介绍了 Paasche Price Index（帕氏价格指数）：

这里 $\mathbf x_1$ 是报告期购买量。因此帕氏指数固定新的消费篮子，比较新旧价格下该篮子的支出。

课件补充的历史信息：**Étienne Laspeyres（1834—1913）**于 1864 年提出拉氏指数；**Hermann Paasche（1851—1925）**于 1874 年提出帕氏指数。

WARNING

老师特别说明的一个区别（约 01:50）：如果退休收入只按帕氏价格指数增长，由于帕氏指数固定的是新篮子 $\mathbf x_1$，一般不能据此保证在报告期仍买得起旧篮子 $\mathbf x_0$。斯勒茨基式的原篮子购买力保障直接对应拉氏指数。这两种数量权重必须分清。

课堂补充：数量指数、名义增长和实际增长（约 01:51—01:59）#

价格是向量，数量同样是向量。要衡量经济产出总量变化，也需要选择固定价格作为权重。若用基期价格 $\mathbf p_0$ 加权报告期数量与基期数量，得到拉氏数量指数：

报告期与基期的名义支出/产出价值比为

将中间量 $\mathbf p_0\cdot\mathbf x_1$ 同乘同除：

即名义增长倍数 = 帕氏价格倍数 × 拉氏数量倍数。采用其他权重还会得到另一对相匹配的分解。老师提醒计算“实际增长”时要留意对应的价格/数量权重，不能不加区分地把不同指数直接相减。

TIP

设名义增长率为 $g_N$，价格增长率为 $\pi$，对应权重一致时：

$$1+g_N=(1+g_R)(1+\pi),\qquad \boxed{g_R=\frac{1+g_N}{1+\pi}-1}.$$

“实际增长率 $\approx$ 名义增长率 $-$ 通胀率”是增长率较小时的近似。例如名义增长 15%、价格增长 5%，实际增长率为 $1.15/1.05-1\approx9.52\%$，其近似是 10%。

4. 理解补充：同一组数据算出两个不同指数#

设基期价格 $\mathbf p_0=(2,2)$，报告期价格 $\mathbf p_1=(2,3)$；基期购买量 $\mathbf x_0=(6,6)$，报告期购买量 $\mathbf x_1=(6,5)$。

拉氏指数：

帕氏指数：

因此，按旧篮子衡量物价上升了 25%，按新篮子衡量则约 22.73%。由于消费者会改变购买结构，两种权重可以产生不同结果。

TIP

做指数题先看数量下标：$x_0$ 出现在分子分母中，就是拉氏指数；$x_1$ 出现在分子分母中，就是帕氏指数。价格在两种指标里都比较“报告期 $p_1$ / 基期 $p_0$”。

1. 为什么已经有“偏好”，还要引入“效用函数”？#

老师强调的逻辑（约 02:01—02:04）：假如已经知道消费者对商品组合的完整排序，原则上就可以从预算集里挑出最喜欢的可行组合。但在实际分析时，仅用“更喜欢/不如”来比较，很难便利地计算最优数量、比较约束变化或推导边际关系。引入效用函数，相当于把偏好排序用可计算的函数值表示，从而能够使用微积分与最优化工具。

因此，需要掌握下面的层次：

1. 偏好关系 $\succeq$：关于消费组合如何排序。
2. 效用函数 $u(\mathbf x)$：用实数保持该排序的一个数学表示。
3. 效用最大化：在预算集内找使 $u$ 取得最大值的商品组合。

效用函数是对偏好的数学表征；在合适的表示存在条件下，很多不同形式的效用函数能代表同一套偏好。

2. 序数效用（ordinal utility）：关心次序#

若 $u$ 表示偏好 $\succeq$，应满足

例如 $u(A)=10$、$u(B)=8$，可得到 $A$ 至少与 $B$ 一样受偏好。单凭这两个数，通常无法得出“$A$ 带来的满足感比 $B$ 高 25%”或“消费者甲的 10 单位效用比乙的 8 单位更幸福”等判断。

老师区分了两个概念：

• 基数性质（cardinal）：涉及数值大小差多少、比例是多少等；
• 序数性质（ordinal）：只比较先后次序，$10>8$ 可以换成任何保持顺序的数值。

现代标准消费者偏好理论通常使用序数效用。老师同时提醒：福利的跨人比较等更深入问题需要额外假设，不能直接从普通的序数效用读出结论。

3. 同一偏好可以有不同的效用表示：单调变换#

若 $f$ 是一个严格递增函数，定义 $v(\mathbf x)=f(u(\mathbf x))$，则

因此 $u$ 与 $v$ 表示同一偏好排序。老师课堂例子（约 02:09—02:11）：

取严格递增变换 $f(t)=\ln t$：

两函数数值形式差异很大，但在正商品数量的定义域内，选出哪一个消费组合更受偏好，结论完全一致。

TIP

可做与不可做的变换：$f(t)=t^3$（实数域严格递增）、$f(t)=\ln t$（$t>0$）能保持排序；直接取 $f(t)=-t$ 会将顺序颠倒，通常不能代表相同的偏好。

4. 为什么边际效用会变，边际替代率却不变？#

这正是老师约 02:11—02:12 特别强调的重点。

边际效用（marginal utility）：

若 $v=f(u)$，链式法则给出

因此，改用另一个效用表示，边际效用的数值可能发生变化。但是两商品的**边际替代率（MRS）**为

同样代入 $v=f(u)$：

关键：边际替代率由偏好的无差异曲线斜率决定，对上述单调变换保持不变；具体的边际效用值依赖所选的数值表示。

用 Cobb–Douglas 例子检验：

5. 从偏好选择转成效用最大化问题（UMP）#

给定价格 $\mathbf p$、收入 $m$，在预算集 $B(\mathbf p,m)$ 中选最优篮子：

因为效用函数保留了偏好排序，所以求效用最大值对应的可行消费组合，也就是找最受偏好的可行消费组合。这个问题称为 Utility Maximization Problem（效用最大化问题，UMP）。

6. 先复习：无约束最优化的一阶、二阶条件#

老师约 02:14—02:17 先从一元函数 $f(x)$ 讲起。

• 一阶必要条件（FOC, first-order condition）：若 $x^*$ 是可微函数的内点局部极值，则 $f'(x^*)=0$；
• 二阶判别：若 $f'(x^*)=0$ 且 $f''(x^*)<0$，则 $x^*$ 是严格局部极大值；若 $f''(x^*)>0$，则是严格局部极小值；$f''(x^*)=0$ 时还需要进一步判断。

直观类比：站在光滑山顶，沿左右两个方向稍微移动，海拔的一阶变化为零，二阶曲率朝下。但求出驻点还不能立即宣称找到最大值：也可能得到极小值或鞍点。

7. 多变量函数：梯度为零意味着什么？#

对二元函数 $f(x_1,x_2)$，若有一个任意小位移 $d\mathbf x=(dx_1,dx_2)$，一阶变化近似为全微分：

在无约束的内点局部极值处，不论往哪个方向迈一小步，一阶变化都应为零。因此

只有当梯度零向量时，对任意方向的内积才恒为零：

老师用“站在山顶、山腰和等高线”来帮助理解：在山腰沿一条等高线走，函数值可以一阶不变；但往其他方向走就可能上升或下降。要在所有方向的一阶变化都为零，需要梯度整体消失。

8. 多变量函数：Hessian 与二阶方向导数#

老师约 02:23—02:28 给出二维二阶展开。

设 $f$ 二阶连续可微，Hessian（海森矩阵）是

沿方向 $d\mathbf x=(dx_1,dx_2)^T$ 的二阶变化由二次型给出：

若混合偏导相等，就得到

• 对无约束内点局部极大值，二阶必要条件是 $d\mathbf x^T H_f d\mathbf x\le0$ 对任意方向成立，即 Hessian 半负定；
• 若驻点处 Hessian 负定，它是严格局部极大值的一个充分条件；
• Hessian 仅半负定时，通常还无法保证一定是极大值（可能需要更高阶分析）。

二维对称 Hessian 的负定可用 $f_{11}<0$、$\det H_f>0$ 检查；负半定则可依据特征值或全部相关主子式判断。课堂强调应理解这些矩阵条件来自“沿任意方向都要向下弯”的想法。

WARNING

这里讨论的是无约束内点的二阶判别。对有约束的效用最大化，二阶条件应针对满足约束的一阶可行方向，或检查相应的约化/加边界 Hessian。仅凭 $H_u$ 在整个空间负半定，通常不足以覆盖所有受约束的情况。

9. 带预算约束：为什么引入拉格朗日乘子？#

约束 $\mathbf p\cdot\mathbf x\le m$ 使我们只能在预算集内找最优点，最大值可能恰好在预算边界，此时 $\nabla u=\mathbf0$ 往往不成立。

在偏好局部非饱和、最优选择花完预算的常见情况下，先将约束写成等式，然后构造

• $u(\mathbf x)$：优化目标；
• $m-\mathbf p\cdot\mathbf x$：剩余预算；
• $\lambda$：拉格朗日乘子，引入后把预算限制纳入求导条件。

课堂约 02:18—02:20 专门谈到正负号：写 $u-\lambda(\mathbf p\cdot\mathbf x-m)$ 与上式等价；采用不同的约束符号约定，需要一致地处理乘子的正负。对于标准最大化与非负剩余预算形式，常取 $\lambda\ge0$；在适当条件下它具有收入增加 1 元带来的最优效用增量这一影子价格解释（其数值仍依赖效用表示）。

10. 内点最优的一阶条件逐步推导#

对每一种商品 $x_i$ 求偏导：

对 $\lambda$ 求导：

整理得到课堂课件中的条件：

因此对所有内点购买商品：

经济含义：最优时，每多花一元在不同商品上所获得的边际效用相同，否则还可以调整支出构成改善效用。对两种商品，可得到切点条件：

即无差异曲线的边际替代率等于预算线价格比。

WARNING

严格说，上述写法需要可微、内点、预算用尽、适当的约束资格条件。角点解需要互补松弛或 KKT 不等式；一阶条件未必能直接验证全局最大值。效用函数若（严格）准凹且偏好、可行集满足相应条件，进一步的最优性验证会更方便。

11. 本段课堂需要掌握到什么程度？#

老师收尾时强调：平时算题常主要用一阶条件，但应理解为何要有二阶条件，防止把极小值或鞍点误判为效用最大值。线上课程已经介绍过效用函数的基本知识；本堂把它们连到消费者有约束的最大化选择，并说明“偏好—效用—微积分—需求分析”之间的联系。

1. 本课的逻辑链条#

从选择到理论检验：

实际购买记录 $\longrightarrow$ 判断哪些消费组合当时买得起 $\longrightarrow$ 用 WARP 检查选择一致性。

从价格变化到需求定律：

价格变化 $\longrightarrow$ 原组合可能买不起 $\longrightarrow$ 设定斯勒茨基补偿 $\longrightarrow$ 分解替代效应与收入效应 $\longrightarrow$ 用 WARP 证明受补偿需求定律。

从序数偏好到可计算的需求：

偏好排序 $\longrightarrow$ 用效用函数表示同一排序 $\longrightarrow$ 构建带预算约束的 UMP $\longrightarrow$ 拉格朗日内点 FOC 与二阶条件。

从个人需求到宏观统计应用：

保持原购买篮子可负担 $\longrightarrow$ 比较两期所需支出 $\longrightarrow$ 拉氏价格指数；若固定报告期篮子，则得到帕氏价格指数。

2. 必记公式#

3. 容易混淆的四个问题#

1. WARP 要检查的是“另一组合在当前预算内是否可行”；只比较价格或最终数量，信息不足。
2. 斯勒茨基补偿保持原组合可负担；补偿后的最优选择仍可能发生变化。
3. 替代效应是需求量的变化，斯勒茨基补偿额是调整收入的货币数量。
4. 受补偿需求有方向性限制；不补偿的总需求会受到收入效应影响。
5. 序数效用只需保持排序；单调变换可改变效用和边际效用数值，MRS 的值在适用条件下不变。
6. 驻点不自动等于最大值；若要判断最大值，需要注意 Hessian 的曲率条件与预算约束的可行方向。

4. 课程材料与图像来源#

• 课堂：浙江大学《中级微观经济学》，叶建亮，2026-10-12，第 6–8 节。
• 课件：用户提供《上课PPT4.pptx》，共 51 张课堂画面；其中部分为切换软件、重复演示或教室设备画面，不涉及新的经济学知识点。笔记中使用了原课件中与知识理解相关的图表。
• 录音文档：用户提供《上课录音4.docx》及再次上传的相同文件。两份文件经散列校验内容一致，含约 2 小时 36 分钟的机器语音转写正文、时间戳与课堂截图。常规文本提取因文件含不规范嵌套的 DOCX 标记而失败；本笔记改用 OOXML 提取恢复老师讲话内容，结合时间戳校对。
• 课堂讲解范围：WARP 的经验检验与球赛类比、内积与补偿思路、32 元/60 元的课堂争议、拉氏与帕氏价格指数、价格—数量指数分解，以及后半段序数效用和受约束最优化的数学推导。
• 排版参考：用户提供《Chapter6(5).md》，沿用 YAML frontmatter、分层标题、数学公式、表格及 :::TIP / :::WARNING / :::EXAMPLE 提示块等形式。
• 内容界限：依据课件与课堂机器转写组织；对明显识别错误的术语已按课件和上下文规范化。标注“理解补充”或超出课件计算的段落用于自学，避免与老师逐字原话混淆。