本节考核与课程说明#

WARNING

课堂签到码：7230。

老师明确说明：上一讲的绪论 / 建模部分很重要，但历年考试分值通常只有约 1–2 分。

假设检验部分，老师强调考试中重点掌握临界值法；实际论文研究通常更多使用 p-value 法。

“相关分析与回归分析的区别”老师提到过去曾作为简答题考过，建议掌握概念和典型例子。

本节未听到布置课后作业或测试。

概述#

本节课可以分成三块：

绪论回顾：计量经济模型是怎样建出来的
- 变量怎么选
- 函数形式怎么定
- 参数应当满足什么经济学预期
- 数据需要满足什么质量要求
- 模型估计后如何检验与应用
计量经济学预备知识：概率论与数理统计
- 随机试验、条件概率、随机变量
- 分布函数、期望、方差、协方差、相关系数、矩
- 正态分布、 $\chi^2$ 分布、 $t$ 分布、 $F$ 分布
- Chebyshev 不等式、大数定律、中心极限定理
- 样本、统计量、点估计、区间估计、假设检验
第二章开头：一元线性回归模型 §2.1 回归分析概述
- 确定性关系与统计依赖关系
- 相关分析与回归分析
- 条件分布、条件期望
- 总体回归线与总体回归函数（PRF）

本节最后停在：

E(Y\mid X)=f(X)

若进一步假定总体回归函数为线性：

E(Y\mid X)=\beta_0+\beta_1X

样本回归函数（SRF）留到下一节课。

一、绪论回顾：计量经济模型怎么建立#

本节前约 28 分钟，老师重新梳理了上一讲的建模思想。

最核心的逻辑是：

经济理论提出关系 → 选择变量 → 确定函数形式 → 对参数提出经济学预期 → 找到可用数据 → 选择估计方法 → 对模型进行检验 → 用模型分析与预测。

1. 从经济学理论确定变量#

老师继续使用 居民消费行为 作为例子。

根据凯恩斯消费理论，居民消费支出会受到可支配收入影响，因此最基本的变量是：

$Y$ ：消费支出
$X$ ：可支配收入

最简单的一元模型可写为：

Y=\beta_0+\beta_1X+\mu

其中，可支配收入是消费支出的一个主要解释因素。

但现实中消费还可能受到价格等因素影响，因此进一步可能写成多元模型：

Y=f(X,\text{Price},\cdots)

TIP
建模第一问始终是：

哪些变量应进入模型？

答案应当优先来自经济学理论，而不能只看数据里“谁和谁相关”。

2. 确定变量之间的函数形式#

经济理论往往只能告诉我们变量之间“有关系”，却未必直接给出精确函数形式。

常见方法：

先根据理论提出候选形式；
画散点图观察关系形态；
比较不同函数形式对历史数据的拟合效果。

例：消费与收入#

如果随着收入上升，消费大体单调上升，可以先尝试：

Y=\beta_0+\beta_1X+\mu

例：税率与税收收入#

老师举了一个典型的非线性例子：

税率从较低水平上升时，政府税收收入可能增加；
税率过高后，生产和经营激励下降，税基可能缩小；
因此税率与税收收入可能呈现“先升后降”的关系。

可用二次函数近似：

Y=\beta_0+\beta_1X+\beta_2X^2+\mu,\qquad \beta_2<0

这时散点图会比单纯的线性模型更能帮助判断函数形式。

TIP
建模第二问：

进入模型的变量之间，以什么函数形式发生关系？

3. 对参数形成经济学预期#

参数估计前就应当根据经济理论形成预期。

老师把这种预期分成三类：

（1）符号#

消费模型中：

\beta_1>0

因为收入增加通常会带来消费支出增加。

（2）大小#

若 $\beta_1$ 表示边际消费倾向，则通常预期：

0<\beta_1<1

收入每增加 1 单位，消费增加量应当为正，同时一般低于新增收入本身。

（3）参数之间的关系#

以 Cobb-Douglas 生产函数为例：

Y=AK^\alpha L^\beta

若假设规模报酬不变，则：

\alpha+\beta=1

这里检验的已经不仅是单个参数，还包括参数之间的约束关系。

4. 模型随研究环境变化#

老师反复强调：

同一种经济行为，在不同时间、地区、行业和市场环境下，合适的模型可能不同。

例：生产函数与市场环境#

在产品供不应求时，企业生产更受内部投入约束，传统生产函数可能较适用。

当市场转为明显的买方市场、供过于求时：

市场需求
产品销售
外部竞争环境

会成为不可忽略的因素。

因此，即使研究的都是“生产”，模型设定也应随环境改变。

5. 变量必须能够被测度#

理论上重要的变量，如果没有可获得的数据，实际建模会遇到困难。

例：企业创新#

创新可以从不同角度测度：

投入端

R&D 经费
研发人员数量

产出端

专利数量
新产品销售额 / 新产品销售占比

例：企业管理水平#

管理水平显然会影响企业效率，但它难以直接量化。

这类变量的难点在于：

经济含义明确；
需要找到能够真正代表这一概念的可观测指标。

WARNING
变量的“可测度性”不能只理解成“有一个数字”。
这个数字还必须与模型中该变量的经济含义一致。

6. 数据类型与数据质量#

老师复习了三类数据：

横截面数据 Cross-sectional Data#

同一时期，不同个体的数据。

例：

2025 年中国各省 GDP。

时间序列数据 Time-series Data#

同一个体或总体，在不同时间点的数据。

例：

2000–2025 年中国 GDP。

面板数据 Panel Data#

同时具有横截面和时间两个维度。

例：

2000–2025 年中国各省 GDP。

数据质量主要从以下方面判断：

（1）完整性#

例如研究 2000–2025 年的时间序列，中间年份不能无故缺失。

（2）准确性#

老师讲了两个层面：

狭义准确性

数据本身真实、记录正确。

经济含义上的准确性

数据指标应当真正对应模型中的概念。

例如研究“管理水平”，简单拿“职工人数”代替，经济含义很可能不匹配。

（3）可比性#

比较对象需要处在可比较口径下。

时间序列尤其要注意：

名义价格
不变价格 / 可比价格
统计口径变化

（4）一致性#

$X$ 与 $Y$ 应来自同一研究对象、相同统计范围。

例如研究大学生消费行为：

收入变量应来自大学生；
消费支出变量也应来自大学生。

7. 估计、检验与应用#

有了模型和数据后，进入参数估计。

老师列举了后续课程会接触的方法：

普通最小二乘法 OLS
极大似然法 MLE
两阶段最小二乘法 2SLS
广义矩估计 GMM

估计结束后，需要检验模型。

结合上一讲与教材的框架，可以概括为：

经济意义检验
统计检验
计量经济学检验
模型预测检验

模型通过检验后，可用于：

弹性分析
边际分析
比较静态分析
预测

二、概率论基础#

样本空间和随机事件

1. 样本空间与随机事件#

随机试验#

一个试验称为随机试验，课堂上给出的三个条件是：

在相同条件下可以重复进行；
所有可能结果事先已知；
每一次试验前无法确定究竟出现哪一个结果。

例：掷一次骰子#

可能结果：

\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}

其中：

每一个结果称为样本点 / 基本事件；
所有可能结果构成的集合称为样本空间 $\Omega$ 。

随机事件#

样本空间的一个子集就是事件。

例如：

A=\{2,4,6\}

可以表示“掷出偶数”。

2. 概率、条件概率与独立性#

概率和条件概率

条件概率#

在事件 $A$ 已经发生的条件下，事件 $B$ 发生的概率：

P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},\qquad P(A)>0

直观理解：

原来的样本空间被缩小到 $A$ ，然后在 $A$ 内看同时属于 $B$ 的部分占多大比例。

独立事件#

若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则：

P(A\cap B)=P(A)P(B)

于是：

P(B\mid A)=P(B)

含义是：

是否知道 $A$ 已经发生，不改变 $B$ 的发生概率。

3. 随机变量与概率分布#

随机变量和概率分布

随机变量#

随机变量 $X$ 把随机试验的结果映射成实数。

严格写法：

X:\Omega\rightarrow\mathbb R

例：掷骰子#

$X$ 可以定义为“朝上的点数”，于是：

X\in\{1,2,3,4,5,6\}

由于取值是离散的，因此它是离散型随机变量。

离散型与连续型#

离散型随机变量#

只能取有限个或可数个值。

例：

骰子点数
某一天顾客人数

概率分布可写成：

P(X=x_i)=p_i,\qquad p_i\ge 0,\qquad \sum_i p_i=1

连续型随机变量#

可以在某一区间连续取值。

老师用身高举例：

实际身高可写成很多位小数；
日常测量显示为 1.72 m 等，是测量精度和四舍五入的结果；
理论上身高可作为连续型变量处理。

分布函数 CDF#

课堂 PPT 写为：

F(x)=P(X<x)

更常用的标准定义是：

F(x)=P(X\le x)

WARNING
对连续型随机变量， $P(X=x)=0$ ，所以 $P(X<x)=P(X\le x)$ 。
对离散型随机变量，两者一般不同。因此正式写笔记时建议使用：
$F(x)=P(X\le x)$

掷骰子例： $x=2.5$ #

F(2.5)=P(X\le2.5)=P(X=1)+P(X=2)

公平骰子下：

F(2.5)=\frac16+\frac16=\frac13

如果 $x$ 很大，例如 $x=10000$ ：

F(10000)=1

若 $x=0$ ：

F(0)=0

连续型随机变量的密度函数#

若存在概率密度函数 $f(x)$ ，则：

F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt

并且：

P(a<X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx

多维随机变量#

一颗骰子可形成一维随机变量。

两颗骰子同时投掷，可得到二维随机变量：

(X,Y)

三颗骰子对应三维随机变量。

4. 随机变量的数字特征#

老师反复强调：

期望、方差描述的是随机变量的分布特征。

4.1 期望 Expectation#

离散型：

E(X)=\sum_i x_iP(X=x_i)

连续型：

E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,dx

骰子例#

公平骰子：

E(X) =\frac16(1+2+3+4+5+6) =3.5

期望的性质#

E(c)=c

E(cX)=cE(X)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

E(X-Y)=E(X)-E(Y)

若 $X,Y$ 独立：

E(XY)=E(X)E(Y)

老师对 $E(c)=c$ 的解释#

可以把常数 $c$ 看成一个退化随机变量：

P(X=c)=1

例如把骰子六个面全部写成 1，不论怎样掷，结果都为 1，因此：

E(X)=1

4.2 方差 Variance#

设：

\mu=E(X)

则：

\operatorname{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]

离散型：

\operatorname{Var}(X) = \sum_i(x_i-\mu)^2P(X=x_i)

连续型：

\operatorname{Var}(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2f(x)\,dx

方差衡量随机变量围绕均值的离散程度。

常用恒等式：

\operatorname{Var}(X) = E(X^2)-[E(X)]^2

性质：

\operatorname{Var}(c)=0

\operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X)

\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)

一般地：

\operatorname{Var}(X+Y) = \operatorname{Var}(X) +\operatorname{Var}(Y) +2\operatorname{Cov}(X,Y)

\operatorname{Var}(X-Y) = \operatorname{Var}(X) +\operatorname{Var}(Y) -2\operatorname{Cov}(X,Y)

若 $X,Y$ 独立，且方差存在，则：

\operatorname{Cov}(X,Y)=0

因此：

\operatorname{Var}(X\pm Y) = \operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)

4.3 协方差 Covariance#

协方差和相关系数

定义：

\operatorname{Cov}(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]

也可以写为：

\operatorname{Cov}(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y)

协方差的符号反映两个变量的共同变动方向：

$\operatorname{Cov}(X,Y)>0$ ：总体上同向变化；
$\operatorname{Cov}(X,Y)<0$ ：总体上反向变化；
$\operatorname{Cov}(X,Y)=0$ ：线性共同变动部分为 0。

老师从散点图四个象限解释：

$X-\bar X$ 与 $Y-\bar Y$ 同号的点较多，乘积偏正；
异号的点较多，乘积偏负。

4.4 相关系数 Correlation Coefficient#

对协方差进行标准化：

\rho_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)} {\sqrt{\operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)}}

其中：

-1\le \rho_{XY}\le 1

$\rho=1$ ：完全正线性相关；
$\rho=-1$ ：完全负线性相关；
$\rho=0$ ：无线性相关。

WARNING
课堂 PPT 中把下列若干命题写成“等价”，并在讲解中将“协方差为 0”与“独立”联系起来。
严格来说：
$X,Y\text{ 独立} \Rightarrow \operatorname{Cov}(X,Y)=0$
在一般情形下，反方向不成立。
同样：
$\rho_{XY}=0$
只说明无线性相关，两个变量仍可能存在明显的非线性依赖关系。

4.5 矩 Moment#

$k$ 阶原点矩：

A_k=\frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i^k

总体对应形式为：

E(X^k)

$k$ 阶中心矩：

B_k=\frac1n\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^k

总体对应形式为：

E[(X-E(X))^k]

特别地：

一阶原点矩对应均值；
二阶中心矩对应方差。

5. 四个重要概率分布#

5.1 正态分布 Normal Distribution#

正态分布

若：

X\sim N(\mu,\sigma^2)

其密度函数：

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left[ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right]

其中：

$E(X)=\mu$
$\operatorname{Var}(X)=\sigma^2$
$\sigma$ 是标准差

标准化：

Z=\frac{X-\mu}{\sigma}

则：

Z\sim N(0,1)

正态分布特点：

关于 $\mu$ 对称；
由 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 完全确定；
正态变量的线性组合仍服从正态分布；
经验法则：

P(|X-\mu|\le\sigma)\approx 68\%

P(|X-\mu|\le2\sigma)\approx 95\%

P(|X-\mu|\le3\sigma)\approx 99.7\%

WARNING
PPT 上有一处表述容易混淆： $\sigma$ 应理解为标准差， $\sigma^2$ 才是方差。

上分位数#

若：

Z\sim N(0,1)

定义上 $\alpha$ 分位数 $z_\alpha$ ：

P(Z>z_\alpha)=\alpha

显著性检验和置信区间中会频繁使用。

5.2 $\chi^2$ 分布#

卡方分布

若：

Z_1,Z_2,\cdots,Z_n \overset{i.i.d.}{\sim}N(0,1)

则：

Q=\sum_{i=1}^{n}Z_i^2 \sim\chi^2(n)

其中 $n$ 为自由度。

重要性质：

E(Q)=n

\operatorname{Var}(Q)=2n

$\chi^2$ 分布：

取值非负；
一般右偏；
自由度增大时逐渐更接近对称。

自由度#

老师特别强调自由度概念。

直观理解：

如果 $n$ 个量之间存在 1 个独立的线性约束，能够自由变化的维数会少 1。

例如：

Z_1+\cdots+Z_n=0

只需自由确定其中 $n-1$ 个，最后一个由约束决定，因此自由度为 $n-1$ 。

5.3 $t$ 分布#

t分布

若：

Z\sim N(0,1)

Q\sim\chi^2(n)

且 $Z$ 与 $Q$ 独立，则：

T=\frac{Z}{\sqrt{Q/n}} \sim t(n)

特点：

关于 0 对称；
尾部比标准正态分布更厚；
当 $n\to\infty$ ：

t(n)\Rightarrow N(0,1)

当 $n>2$ 时：

E(T)=0,\qquad \operatorname{Var}(T)=\frac{n}{n-2}

5.4 $F$ 分布#

F分布

若：

Q_1\sim\chi^2(k_1),\qquad Q_2\sim\chi^2(k_2)

相互独立，则：

F = \frac{Q_1/k_1}{Q_2/k_2} \sim F(k_1,k_2)

$F$ 分布：

取值非负；
通常右偏；
由两个自由度参数决定。

后续多元回归的总体显著性检验会大量使用 $F$ 分布。

6. Chebyshev 不等式、大数定律与中心极限定理#

6.1 Chebyshev 不等式#

Chebyshev不等式

若：

E(X)=\mu,\qquad \operatorname{Var}(X)=\sigma^2<\infty

则对任意 $\varepsilon>0$ ：

P(|X-\mu|\ge\varepsilon) \le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}

等价地：

P(|X-\mu|<\varepsilon) \ge 1-\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}

若取：

\varepsilon=k\sigma

则：

P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le\frac1{k^2}

例如 $k=3$ ：

P(|X-\mu|\ge3\sigma)\le\frac19

Chebyshev 不等式的重要之处在于：

不要求事先知道随机变量究竟服从哪一种具体分布。

只要均值和方差存在，就能给出偏离均值的概率上界。

6.2 大数定律 Law of Large Numbers#

大数定律

若：

X_1,X_2,\cdots

相互独立，且：

E(X_i)=\mu,\qquad \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2

则：

\bar X_n = \frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i

满足：

\bar X_n\xrightarrow{p}\mu

即：

\forall \varepsilon>0,\qquad \lim_{n\to\infty} P(|\bar X_n-\mu|\ge\varepsilon)=0

直观含义：

样本越来越大时，样本平均值会越来越集中到总体均值附近。

老师特别提醒：

“大数”指大量重复试验 / 大样本，而非“某个数值很大”。

Bernoulli大数定理

对于重复 Bernoulli 试验，事件发生频率会随着试验次数增加趋近于其真实概率，这解释了为什么可以用长期频率估计概率。

6.3 中心极限定理 Central Limit Theorem#

中心极限定理

若：

X_1,\cdots,X_n

相互独立同分布，且：

E(X_i)=\mu,\qquad \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2<\infty

则标准化后的样本和：

\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sigma\sqrt n}

在 $n\to\infty$ 时趋近标准正态分布：

\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sigma\sqrt n} \Rightarrow N(0,1)

等价地：

\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n} \Rightarrow N(0,1)

也就是：

\bar X \approx N\left( \mu,\frac{\sigma^2}{n} \right)

当样本量足够大时，原总体即使不服从正态分布，样本均值的抽样分布也常可近似为正态。

TIP
大数定律主要回答：

样本均值会不会靠近总体均值？

中心极限定理主要回答：

样本均值在大样本下呈现怎样的概率分布？

这是后续参数估计和统计检验的数学基础。

与时间序列的联系#

老师在这里提前联系到后面的时间序列：

大数定律和中心极限定理通常依赖独立性 / 弱依赖、稳定矩等条件；
许多经济时间序列存在趋势，均值或方差可能随时间变化；
因而第五章要专门讨论平稳性以及非平稳时间序列。

三、数理统计基础#

1. 总体、样本与简单随机样本#

总体与样本

总体 Population#

研究对象全部个体构成总体。

总体可能：

有限；
无限。

老师举例：

某一时点全国大学生：有限总体；
持续营业的麦当劳未来顾客流：可视作无限总体；
持续运行的流水线产品：可视作无限总体。

样本 Sample#

从总体中抽取的：

X_1,X_2,\cdots,X_n

称为样本， $n$ 为样本容量。

简单随机样本#

满足：

每个 $X_i$ 与总体 $X$ 同分布；
$X_1,\cdots,X_n$ 相互独立。

即：

X_1,\cdots,X_n \overset{i.i.d.}{\sim}F

如果总体有密度 $f(x)$ ，联合密度为：

f(x_1,\cdots,x_n) = \prod_{i=1}^{n}f(x_i)

样本的二重性#

抽样前：

X_i

是随机变量。

抽样后，得到具体数值：

x_i

这就是一次已经实现的样本观测值。

为什么要抽样？#

目的：

用较小样本推断总体特征，显著降低调查成本。

老师举例：

总体可能有数千万人；
只随机抽取 1 万人，就可能较好地估计总体平均身高、平均体重等。

2. 统计量与常用样本统计量#

常用样本统计量

统计量 Statistic#

统计量是：

样本的函数，并且不含未知总体参数。

常用统计量：

样本均值#

\bar X = \frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i

样本方差#

S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2

其中 $n-1$ 与无偏性有关。

样本标准差#

S=\sqrt{S^2}

样本矩#

$k$ 阶原点矩：

A_k = \frac1n \sum_{i=1}^{n}X_i^k

$k$ 阶中心矩：

B_k = \frac1n \sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^k

3. 样本均值的抽样分布#

样本均值的抽样分布

若总体：

X\sim N(\mu,\sigma^2)

则任意样本容量 $n$ 下：

\bar X \sim N\left( \mu,\frac{\sigma^2}{n} \right)

即：

E(\bar X)=\mu

\operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}

若总体并非正态，只要满足中心极限定理所需条件，当 $n$ 足够大时：

\bar X \approx N\left( \mu,\frac{\sigma^2}{n} \right)

WARNING
PPT 使用了“如 $N>30$ ”这一经验规则。
$n>30$ 只是课堂常用的粗略经验，并非中心极限定理的严格统一阈值。实际近似质量还取决于总体分布的偏度、厚尾程度等。

4. 参数的点估计#

参数点估计

假设总体分布中含未知参数 $\theta$ 。

从样本构造统计量：

\hat\theta = g(X_1,X_2,\cdots,X_n)

称为 $\theta$ 的估计量 estimator。

抽到具体样本后得到：

\hat\theta = g(x_1,x_2,\cdots,x_n)

其具体数值称为估计值 estimate。

课堂例子：估计总体均值#

可以构造：

算术平均#

\hat\mu_1 = \bar X = \frac1n\sum_{i=1}^{n}X_i

几何平均#

\hat\mu_2 = \sqrt[n]{X_1X_2\cdots X_n}

两者都可以形成统计量，但作为“总体均值”的估计量，其统计性质并不相同。

极大似然估计 MLE#

老师简要提到：

一般点估计可以直接构造统计量；
极大似然法需要先给定总体的概率分布族 $f(x;\theta)$ ；
再根据样本选择使似然函数最大的参数值。

后续多元回归章节会正式学习。

5. 点估计量的优良性质#

点估计量的统计性质

5.1 小样本性质#

无偏性#

E(\hat\theta)=\theta

含义：

重复抽样时，估计量的平均值等于真实参数。

有效性#

若 $\hat\theta_1,\hat\theta_2$ 都是 $\theta$ 的无偏估计量，且：

\operatorname{Var}(\hat\theta_1) \le \operatorname{Var}(\hat\theta_2)

则 $\hat\theta_1$ 更有效。

直观上：

两个估计量都“平均不偏”，方差更小的那个更稳定。

BLUE#

如果估计量：

是样本观测值的线性函数；
无偏；
在线性无偏估计量中具有最小方差；

则称为：

Best Linear Unbiased Estimator，最佳线性无偏估计量（BLUE）。

后续 Gauss-Markov 定理会把这个概念用于 OLS。

5.2 大样本性质#

渐近无偏性#

\lim_{n\to\infty}E(\hat\theta_n)=\theta

一致性 Consistency#

\hat\theta_n\xrightarrow{p}\theta

即：

\operatorname{plim}_{n\to\infty}\hat\theta_n=\theta

一致性强调：

样本量越来越大时，估计量越来越集中到真实参数附近。

6. 区间估计#

区间估计

若：

X\sim N(\mu,\sigma^2)

且 $\sigma$ 已知，则：

\bar X \sim N\left( \mu,\frac{\sigma^2}{n} \right)

因此：

Z = \frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n} \sim N(0,1)

给定显著性水平 $\alpha$ ：

P\left( -z_{\alpha/2} \le \frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n} \le z_{\alpha/2} \right) = 1-\alpha

整理：

P\left( \bar X-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \le \mu \le \bar X+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} \right) = 1-\alpha

所以 $\mu$ 的 $(1-\alpha)$ 置信区间为：

\boxed{ \bar X \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} }

95% 置信区间#

z_{0.025}=1.96

因此：

\boxed{ \bar X \pm 1.96\frac{\sigma}{\sqrt n} }

99% 置信区间#

z_{0.005}\approx2.58

因此：

\boxed{ \bar X \pm 2.58\frac{\sigma}{\sqrt n} }

TIP
置信水平 $1-\alpha$ 越高，区间通常越宽。
样本量 $n$ 越大：
$\frac{\sigma}{\sqrt n}$
越小，因此区间越窄，估计精度提高。

7. 假设检验#

假设检验逻辑

7.1 基本思想：小概率事件#

假设检验基于：

在原假设成立的条件下，小概率事件在一次抽样中通常不应出现。

若实际样本落入原假设下非常罕见的区域，就有理由拒绝原假设。

老师把它类比为反证法。

常用显著性水平：

\alpha=5\%

也常用：

\alpha=1\%,10\%

7.2 老师要求记牢的“三句话”#

老师明确强调，做任何假设检验都先回答：

零假设 $H_0$ 是什么？
统计量是什么？
结论是什么？

假设检验基本步骤

完整步骤：

提出零假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$ ；
构造在 $H_0$ 下分布已知的检验统计量；
给定显著性水平 $\alpha$ ；
确定临界值 / 拒绝域；
用样本计算统计量；
判断是否拒绝 $H_0$ ；
写出经济学或统计学结论。

7.3 两种判别方法#

方法一：临界值法#

将统计量与临界值比较。

双侧检验例：

|Z|>z_{\alpha/2}

则拒绝 $H_0$ 。

双侧假设检验

老师强调：

考试重点使用临界值法。

方法二：p-value 法#

计算：

在 $H_0$ 成立时，得到当前样本结果或更极端结果的概率。

若：

p<\alpha

则拒绝 $H_0$ 。

老师指出：

实际研究和论文中更常使用 p-value 法。

WARNING
统计学上更规范的表述是：

“拒绝 $H_0$ ”

“未能拒绝 $H_0$ ”

通常避免把“未拒绝”直接说成“证明 $H_0$ 正确”。

8. 两类错误#

第一类和第二类错误

第一类错误 Type I Error#

$H_0$ 实际为真，却被拒绝。

P(\text{Type I Error})=\alpha

课堂概括：

以真为假。

第二类错误 Type II Error#

$H_0$ 实际为假，却未被拒绝。

P(\text{Type II Error})=\beta

课堂概括：

以假为真。

检验功效 Power#

1-\beta

表示：

当 $H_0$ 的确为假时，正确拒绝 $H_0$ 的概率。

四、第二章 §2.1 回归分析概述#

TIP
PPT 与第五版教材的章节编号有一处版本差异#
课堂 PPT 的章目录仍写为：

§2.1 回归分析概述

§2.2 参数估计

§2.3 统计检验

§2.4 预测

§2.5 实例：时间序列问题

你提供的《计量经济学（第五版）》目录则为：

§2.1 回归分析概述

§2.2 一元线性回归模型的参数估计

§2.3 基本假设与 OLS 估计量的统计性质

§2.4 一元线性回归模型的统计检验

§2.5 一元线性回归分析的应用：预测问题

§2.6 建模实例

本节实际讲授内容与第五版教材 §2.1 高度对应。

一元线性回归模型章节目录

回归分析概述目录

1. 变量之间的两类关系#

变量间的关系及回归分析基本概念

1.1 确定性关系 / 函数关系#

变量之间存在完全确定的函数映射。

例：圆面积与半径#

S=\pi r^2

一旦 $r$ 确定， $S$ 唯一确定。

1.2 统计依赖关系#

一个变量确定后，另一个变量仍然存在随机波动。

例：农作物产量#

产量可能受到：

温度
降雨量
阳光
施肥量
其他不可观测因素

影响。

即使把温度、降水、日照、施肥等因素给定，也很难唯一确定下一年的粮食产量。

因此：

Y=f(X_1,X_2,\cdots)+\text{随机因素}

更符合经济现象。

2. 相关关系的分类#

按变量个数#

简单相关：两个变量
多重相关 / 复相关：三个及以上变量

按关系形式#

线性相关
非线性相关 / 曲线相关

按方向#

正相关
负相关
不相关（无线性相关）

3. 相关分析与回归分析#

3.1 样本相关系数#

总体和样本相关系数

样本线性相关系数：

r_{XY} = \frac{ \sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y) }{ \sqrt{ \sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2 \sum_{i=1}^{n}(Y_i-\bar Y)^2 } }

3.2 相关分析#

关注：

两个变量在统计上是否存在联系，以及线性联系有多强。

$X$ 和 $Y$ 的地位通常是对称的。

3.3 回归分析#

课堂中的表述重点在于：

研究具有明确解释方向的统计依赖关系，即解释变量变化时，被解释变量的条件平均水平如何变化。

课堂例子：鞋码与知识水平#

儿童长大时：

鞋码变大；
知识水平也增加。

所以二者可能具有正相关关系。

但鞋码变大并不会直接导致知识增加。

共同原因更可能是：

年龄增长；
接受教育时间增加。

因此：

相关关系本身不能自动推出因果关系。

消费例子#

可支配收入上升通常会带来消费支出增加。

课堂将：

可支配收入 $X$ 作为解释变量；
消费支出 $Y$ 作为被解释变量。

WARNING
老师在课堂上将回归分析与“因果关系”紧密联系。
进一步做实证研究时需要多加一层判断：

一条回归关系能否解释为因果效应，还取决于外生性、遗漏变量、反向因果、研究设计等识别条件。

单纯跑出回归系数，并不足以单独证明因果关系。

4. 家庭收入—消费支出案例#

这一部分是本节进入回归分析的核心案例，也对应第五版教材 §2.1。

研究对象：

某社区家庭每月可支配收入 $X$ 与每月消费支出 $Y$ 的关系。

课堂设定把社区内家庭视为研究总体。

调查每户家庭：

家庭信息；
月可支配收入；
月消费支出。

得到原始成对数据：

(X_i,Y_i)

按收入分组#

老师按照教材中的收入水平进行分组：

800,\ 1100,\ 1400,\ 1700,\ 2000,\ 2300,\ 2600,\ 2900,\ 3200,\ 3500

组距基本为 300 元。

家庭可支配收入与消费支出统计表

老师重点展开： $X=800$ 这一组#

该组有 4 户家庭，消费支出分别为：

561,\ 594,\ 627,\ 638

虽然收入组相同，消费支出仍有差异。

这说明：

给定 $X=800$ 后， $Y$ 仍是随机变量。

同理：

给定 $X=1100$ ， $Y$ 仍有多个可能值；
给定 $X=1400$ ， $Y$ 仍有多个可能值；
……
给定任意 $X=x_i$ ，对应的 $Y$ 都形成一个条件分布。

5. 条件分布与条件期望#

条件分布与条件期望

条件分布#

固定解释变量：

X=x

后，被解释变量仍具有概率分布：

Y\mid X=x

称为 $Y$ 在给定 $X=x$ 条件下的条件分布。

条件期望#

对每一个 $X=x$ ，都有：

E(Y\mid X=x)

表示：

给定收入水平 $x$ 时，家庭消费支出的平均水平。

教材案例各收入组的条件均值为：

每月可支配收入 $X$	组内户数	条件均值 $E(Y\mid X)$
800	4	605
1100	6	825
1400	11	1045
1700	13	1265
2000	13	1485
2300	14	1705
2600	13	1925
2900	10	2145
3200	9	2365
3500	6	2585

例如：

E(Y\mid X=800) = \frac{561+594+627+638}{4} = 605

这里要抓住：

同一个 $X$ 下，具体 $Y$ 是随机的；
但该条件分布的平均值 $E(Y\mid X)$ 是确定的。

6. 总体回归线与总体回归函数 PRF#

回归线

对不同的 $X$ ：

x_1,x_2,\cdots

分别求：

E(Y\mid X=x_1),\quad E(Y\mid X=x_2),\quad\cdots

把这些条件期望点连起来，就得到：

总体回归线 Population Regression Line

更一般地，它可能是一条曲线，因此也称总体回归曲线。

总体回归函数

对应函数：

\boxed{ E(Y\mid X)=f(X) }

称为：

总体回归函数 Population Regression Function, PRF

它描述：

被解释变量 $Y$ 的总体条件平均水平如何随解释变量 $X$ 系统变化。

线性总体回归函数#

若进一步假定：

f(X)

为线性函数，则：

\boxed{ E(Y\mid X)=\beta_0+\beta_1X }

其中：

$\beta_0$ ：截距；
$\beta_1$ ：斜率 / 回归系数。

在消费模型中：

\beta_1

表示可支配收入增加 1 单位时，平均消费支出变化多少。

TIP
这一点是理解回归分析最关键的地方：
回归线研究的是：
$E(Y\mid X)$
即条件平均关系。
它没有要求每一个观测点都严格落在一条直线上。

本节截止位置#

教材 §2.1 后续还包括：

随机误差项
样本回归函数 SRF

但老师本节课在讲完线性 PRF：

E(Y\mid X)=\beta_0+\beta_1X

后结束，明确说明：

样本回归函数下一节课再讲。

因此本份 Lesson 2 笔记也停在这里。

五、本节易错点与知识链#

1. 最容易混淆的几个概念#

随机变量 vs 一个具体数值#

$X$ ：抽样前的随机变量；
$x$ ：随机变量实现后的一个具体值。

总体参数 vs 估计量 vs 估计值#

$\theta$ ：未知总体参数；
$\hat\theta$ ：由样本随机变量构成的估计量；
得到具体样本后， $\hat\theta$ 计算出来的数字是估计值。

方差 vs 标准差#

\operatorname{Var}(X)=\sigma^2

SD(X)=\sigma

独立 vs 不相关#

独立通常可以推出不相关：

X\perp Y \Rightarrow \operatorname{Cov}(X,Y)=0

反过来一般不能成立。

大数定律 vs 中心极限定理#

大数定律：

\bar X\xrightarrow{p}\mu

告诉我们“样本均值会靠近谁”。

中心极限定理：

\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n} \Rightarrow N(0,1)

告诉我们“样本均值怎样随机波动”。

条件分布 vs 条件期望#

给定：

X=x

后， $Y$ 仍有一整个条件分布。

其中的平均值：

E(Y\mid X=x)

只是这个分布的一个数字特征。

回归线#

总体回归线由：

\left(x,E(Y\mid X=x)\right)

这些点形成。

一句话：

回归分析的核心对象是条件期望函数。

2. 本节完整知识链#

1
经济理论
2
   ↓
3
确定变量、函数形式、参数经济预期
4
   ↓
5
获取高质量数据
6
   ↓
7
随机变量与概率分布
8
   ↓
9
期望、方差、协方差、相关系数
10
   ↓
11
大数定律 + 中心极限定理
12
   ↓
13
总体 → 随机抽样 → 样本
14
   ↓
15
统计量
16
   ↓
17
点估计 / 区间估计 / 假设检验
18
   ↓
19
变量的统计依赖关系
20
   ↓
21
给定 X，研究 Y 的条件分布
22
   ↓
23
条件期望 E(Y|X)
24
   ↓
25
总体回归线 / 总体回归函数 PRF
26
   ↓
27
线性 PRF：E(Y|X)=β₀+β₁X

资料来源#

孔伟杰：《计量经济学》课堂 PPT 与课堂讲授，2026-09-20。
李子奈、潘文卿：《计量经济学（第五版）》，高等教育出版社，2020。重点对应教材第一章建模部分与第二章 §2.1“回归分析概述”。

本节考核与课程说明#

概述#

目录#

一、绪论回顾：计量经济模型怎么建立#

1. 从经济学理论确定变量#

2. 确定变量之间的函数形式#

例：消费与收入#

例：税率与税收收入#

3. 对参数形成经济学预期#

（1）符号#

（2）大小#

（3）参数之间的关系#

4. 模型随研究环境变化#

例：生产函数与市场环境#

5. 变量必须能够被测度#

例：企业创新#

例：企业管理水平#

6. 数据类型与数据质量#

横截面数据 Cross-sectional Data#

时间序列数据 Time-series Data#

面板数据 Panel Data#

（1）完整性#

（2）准确性#

（3）可比性#

（4）一致性#

7. 估计、检验与应用#

二、概率论基础#

1. 样本空间与随机事件#

随机试验#

例：掷一次骰子#

随机事件#

2. 概率、条件概率与独立性#

条件概率#

独立事件#

3. 随机变量与概率分布#

随机变量#

例：掷骰子#

离散型与连续型#

离散型随机变量#

连续型随机变量#

分布函数 CDF#

掷骰子例：x=2.5x=2.5x=2.5#

连续型随机变量的密度函数#

多维随机变量#

4. 随机变量的数字特征#

4.1 期望 Expectation#

骰子例#

期望的性质#

老师对 E(c)=cE(c)=cE(c)=c 的解释#

4.2 方差 Variance#

4.3 协方差 Covariance#

4.4 相关系数 Correlation Coefficient#

4.5 矩 Moment#

5. 四个重要概率分布#

5.1 正态分布 Normal Distribution#

上分位数#

5.2 χ2\chi^2χ2 分布#

自由度#

5.3 ttt 分布#

5.4 FFF 分布#

6. Chebyshev 不等式、大数定律与中心极限定理#

6.1 Chebyshev 不等式#

6.2 大数定律 Law of Large Numbers#

6.3 中心极限定理 Central Limit Theorem#

与时间序列的联系#

三、数理统计基础#

1. 总体、样本与简单随机样本#

总体 Population#

样本 Sample#

简单随机样本#

样本的二重性#

为什么要抽样？#

2. 统计量与常用样本统计量#

统计量 Statistic#

样本均值#

样本方差#

样本标准差#

样本矩#

3. 样本均值的抽样分布#

4. 参数的点估计#

掷骰子例： $x=2.5$ #

老师对 $E(c)=c$ 的解释#

5.2 $\chi^2$ 分布#

5.3 $t$ 分布#

5.4 $F$ 分布#

老师重点展开： $X=800$ 这一组#